693
правки
Изменения
→Многочлены Бернулли
[[File:Pascal_triangle_3.png|thumb|320px|right|Рис.<tex>2</tex>]]
Второй способ соответствует нумерации элементов треугольника числом отрезков каждого типа на путях, ведущих в соответствующую точку (рис.<tex>2</tex>) <tex>C_{n,m} = c_{n+m, n} = \binomdbinom{n+m}{m}</tex>. Тогда производящая функция будет иметь вид
<tex>\displaystyle\sum\limits_{n,m = 0}^{\infty} C_{n, m} x^n y^m = \sum\limits_{n,m = 0}^{\infty} \binom{n+m}{m} x^n y^m = \sum\limits_{k = 0}^{\infty}</tex><tex> \Big(\sum\limits_{n + m = k} \binom{n+m}{n}
{{Определение
|definition=
'''Производящие экспоненциальные функции''' (англ. ''exponential generating function'') {{---}} функции, соответсвующие соответствующие последовательности <tex>\{ \alpha_n \} = \dfrac{1}{n!}</tex>.
}}
Чем отличаются экспоненциальные производящие функции от обычных? Посмотрим на поведение экспоненциальных производящих функций при выполнении операции над ними. Сумма ведет себя обычным образом:
<tex>\displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{\infty} \dfrac{a_n}{n!}s^n + \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \dfrac{b_n}{n!}s^n = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \dfrac{(a_n + b_n)}{n!} s^n</tex>
а с произведением по-другому:
Теперь можно выписать экспоненциальную производящую функцию для треугольника Паскаля:
<tex>\displaystyle\sum\limits_{n, m = 0}^{\infty} \dfrac{1}{(n + m)!} \begindbinom{pmatrix} n + m \\ }{m \end{pmatrix} x^n y^m = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \dfrac{(x + y)^n}{n!} = e^{x + y}</tex>
==Многочлены Бернулли==
Для начала введен введём операцию ''усреднения'', положив
<tex>A(f(x)) = \int\limits_{x}^{x+1}f(t)dt</tex>.
Экспоненциальная производящая функция для многочленов Бернулли имеет вид:
<tex>\mathcal{B}(x, s) = \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}B_n(x)\dfrac{s^n}{n!} = \dfrac{s}{e^s - 1}e^{sx}</tex>.
| proof =
Для доказательства теоремы достаточно применить операцию усреднения к левой и правой частям равенства. С одной стороны, мы имеем:
<tex>A(B(x, s)) = \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}A(B_n(x))\dfrac{s^n}{n!} = \sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n\dfrac{s^n}{n!} = e^{xs}</tex>.
С другой стороны, имеем:
Доказанная теорема позволяет нам легко выписать экспоненциальную производящую функцию для чисел Бернулли. Для этого достаточно подставить в экспоненциальную производящую функцию для многочленов Бернулли значение <tex>x = 0</tex>:
<tex>\displaystyle\sum\limits_{n=0} B_n\dfrac{s^n}{n!} = \dfrac{s}{e^s - 1}</tex>.
==См. также==
