Изменения

|id=lemma1

|statement=Пусть последовательность <tex>a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n \ldots</tex> порождается производящей функцией <tex>A(t) = a_0 + a_1 \cdot t + a_2 \cdot t^2 + \ldots + a_n \cdot t^n + \ldots = \sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_n \cdot t^n</tex>. Тогда последовательность <tex>a_0, a_0 + a_1, a_0 + a_1 + a_2, \ldots, \sum\limits_{i = 0}^{n}a_i, \ldots</tex> порождается производящей функцией <tex>\dfrac{A(t)}{1 - t} = \dfrac{\sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_n \cdot t^n}{1 - t}</tex>

Рассмотрим производящую функцию <tex>\dfrac{A(t)}{1 - t} = A(t) \cdot \dfrac{1}{1 - t} = (\sum\limits_{n = 0}^{\infty}a_n \cdot t^n) \cdot (\sum\limits_{n = 0}^{\infty}1 \cdot t^n) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty}t^n \cdot (\sum\limits_{k = 0}^{n} a_k \cdot 1) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty}t^n \cdot (\sum\limits_{k = 0}^{n} a_k)</tex>

{{Задача

}}