Изменения
удалены ссылки на фикбук
Есть два способа определения суммы двух натуральных чисел <tex>a\ и\ b</tex>. Если натуральные числа определяют через мощность множества с конечным числом элементов (мощность множества — это количество элементов в нём), тогда целесообразно дать следующее определение суммы:
Пусть <tex>N(S) \ — </tex> мощность множества <tex>S</tex>. Возьмём два не пересекающихся множества <tex>A\</tex> и <tex>B,\</tex> причём <tex>N(A) = a</tex> и <tex>N(B) = b</tex>.
Тогда <tex>a + b</tex> можно определить как: <tex>N ( A ∪ B )</tex>.
Здесь, <tex>A ∪ B \ — </tex> это объединение множеств <tex>A\ и B\</tex>. В альтернативной версии этого определения множества <tex>A\ и\ B</tex> перекрываются и тогда в качестве суммы берётся их дизъюнктное объединение, механизм, который позволяет отделять общие элементы, вследствие чего эти элементы учитываются дважды.
Другое известное определение рекурсивно:
Пусть <tex>n+ \ — </tex> следующее за <tex>n</tex> натуральное число, например <tex>0+ = 1, 1+ = 2.\ </tex> Пусть <tex>a + 0 = a</tex>. Тогда общая сумма определяется рекурсивно: <tex>a + (b+) = (a + b)+</tex>. Отсюда <tex>1 + 1 = 1 + 0+ = (1 + 0)+ = 1+ = 2</tex>.
===Умножение===
Воспользуемся определением натуральных чисел <tex>\mathbb{N}</tex> как классов эквивалентности конечных множеств. Обозначим классы эквивалентности конечных множеств <tex>C,\A,\B\</tex> порождённых биекциями, с помощью скобок: <tex>[C], [A], [B].</tex>. Тогда арифметическая операция '''умножение''' определяется следующим образом:<tex>[C] = [A] \cdot [B] = [A \times B];\</tex>где: <tex>A \times B={(a,\ b) \mid a∈Aa \in A,\ b∈Bb \in B}\</tex> прямое произведение множеств — множество <tex>C,</tex> элементами которого являются упорядоченные пары <tex>(a,\ b)</tex> для всевозможных <tex>a∈Aa \in A,\ b∈Bb \in B</tex>. Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.
===Вычитание===
Воспользуемся определением натуральных чисел <tex>\mathbb{N}</tex> как классов эквивалентности конечных множеств. Обозначим классы эквивалентности конечных множеств <tex>C , A , B </tex> порождённых биекциями, с помощью скобок: <tex>[ C ] , \ [ A ] , \ [ B ]. </tex> Тогда арифметическая операция «вычитание» '''вычитание''' определяется следующим образом:<tex>[ C ] = [ A ] − [ B ] = [ A \ backslash B ];\</tex>где <tex>A \ backslash B = \{ C ∈ \in A \mid C ∉ \notin B \mid B ⊂ \subset A \} — \ </tex>разность множеств. Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.
==Деление чисел с остатком==
