3622
правки
Изменения
м
{{В разработке}}
1. <tex>\Longrightarrow</tex> Пусть <tex>K</tex> {{---}} компакт.
Тогда найдётся И так далее. Получаем набор точек <tex>x_3:\ \rho(x_3x_1, x_j)x_2, j = \overline{1, 2}ldots</tex>. Если бы такого <tex>x_3</tex> не было, то у <tex>K</tex> была бы <tex>\varepsilon</tex>-сеть <tex>forall i \ne j: \ \{x_1rho(x_i, x_2x_j) \geqslant \}varepsilon_0</tex>.
И так далее. Получаем набор точек Так как <tex>x_1, x_2, \ldotsK</tex>{{---}} компакт, <tex>\forall i \ne j: \ \rho(x_iто из этой последовательности можно выделить сходящуюся. Но по построению последовательности это невозможно, x_j) > \varepsilon_0</tex>получили противоречие.
Так как <tex>K\Longleftarrow</tex> {{---}} компакт, то из этой последовательности можно выделить сходящуюся. Но увы.
2. <tex>K</tex> {{---}} замкнутое и вполне ограниченно.
В этои неравенстве <tex>p</tex> {{---}} произвольное. Тогда так Так как <tex>\varepsilon_n \to 0</tex>, последовательность сходится к в себе, значитто, по полноте<tex> X </tex>, у неё есть предел.{{TODO|t=казалось бы, причём здесь компакт?}}
→Теорема Хаусдорфа
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
== Некоторые определения ==
Пусть <tex>X</tex> {{---}} метрическое пространство. Тогда принимая критерий Коши существования предела числовой последовательности
|author=Хаусдорф
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} полное метрическое пространство, <tex>K \subset X</tex>, <tex>K</tex> {{---}} замкнуто.
Тогда <tex>K</tex> {{---}} компакт <tex>\iff</tex> <tex>K</tex> {{---}} вполне ограниченно.
|proof=
Предположим, что <tex>K</tex> {{---}} не вполне ограниченно.
Тогда <tex>\exists \varepsilon_0 > 0\ \forall x_1 \in K\ \exists x_2 \in K: \ \rho(x_1, x_2) > \ge \varepsilon_0</tex>. Если такого <tex>x_2</tex> нет, то <tex>K</tex> имеет <tex>\varepsilonvarepsilon_0</tex>-сеть <tex>\{x_1\}</tex>. Тогда найдётся <tex>x_3:\ \rho(x_3, x_j) \ge \varepsilon_0, j = \overline{1, 2}</tex>. Если бы такого <tex>x_3</tex> не было, то у <tex>K</tex> была бы <tex>\varepsilon_0</tex>-сеть <tex>\{x_1, x_2\}</tex>.
Рассмотрим любую последовательность <tex>x_n</tex> в <tex>K</tex>. Докажем, что из неё можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Так как множество вполне ограничено, то <tex>\forall \varepsilon</tex> оно будет содержаться в конечном числе объединении шаров радиуса <tex>\varepsilon</tex>.
Рассмотрим последовательность <tex>\ \varepsilon_n = \frac1n</tex>. Она сходится к нулю.
Так как <tex>K</tex> {{---}} вполне ограниченна, то можно найти точки <tex>y_1, y_2, \ldots, y_p</tex> {{---}} <tex>\varepsilon</tex>-сеть для <tex>K</tex>.
<tex>K = \bigcup\limits_{k = 1}^p V_{\varepsilonvarepsilon_1}(y_k)</tex>
Шаров конечное число. Значит, среди них есть тот, который содержит бесконечное числоэлементов последовательности.
<tex>\exists i:\ V_{\varepsilon_1}(y_i) \ni </tex> бесконечно много элементов из <tex>x_n</tex>.
Обозначим это <tex>V_{\varepsilon_1}(y_i)\ </tex> за как <tex>\overline{V_{\varepsilon_1}} </tex>.
Пусть <tex>K_1 = \overline{V_{\varepsilon_1}} \cap K</tex> {{---}} замкнутое и вполне ограниченно. Покроем его конечной системой шаров радиуса <tex>\varepsilon_2</tex>. Среди них выберем тот, в котором бесконечно много элементов <tex>x_n</tex>. И так далее<tex>\ldots</tex> ...
В результате выстраивается следующая бесконечная таблица:
$\varepsilon_3$ & $x_{3, 1}$ & $x_{3, 2}$ & $x_{3, 3}$ & \ldots \\
\hline
$\hdotsvdots$ & $\hdotsvdots$ & $\hdotsvdots$ & $\hdotsvdots$ & $\ddots$ \\
\end{tabular}
</tex>
Рассмотрим последовательность точек <tex>x_{1, 1}, x_{2, 2}, x_{3, 3}, \ldots</tex>(''диагональ Кантора'')
Очевидно, это подпоследовательность исходной последовательности. Если доказать, что она сходится к в себе, то, так как <tex>KX</tex> {{---}} полное, у неё будет предел.
Так как <tex>K</tex> {{---}} замкнутое, то предел этой последовательности принадлежит ей.
Так как <tex>x_{n + p, n + p}</tex> есть в <tex>n</tex>-й строке, то <tex>\rho \leq 2\varepsilon_n</tex>.
}}
