Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Теория Рамсея

90 байт убрано, 08:36, 1 декабря 2018
Числа Рамсея больших размерностей
Рассмотрим <tex>(p+1)</tex>-элементное множество <tex>M</tex> и выделим в нём элемент <tex>a</tex>. Пусть <tex>M_0=M \setminus \{ a \}</tex>. Пусть <tex>\rho:M^m\rightarrow \{1, 2 \} </tex> — произвольная раскраска в два цвета. Рассмотрим раскраску <tex>\rho': M_0^{m-1} \rightarrow \{1, 2\} </tex> , определённую следующим образом: для каждого множества <tex>B \in M_0^{m-1}</tex> пусть <tex>\rho'( B ) = \rho(B \cup \{ a \})</tex>.
Так как <tex>|M_0|=p</tex>, либо существует <tex>r_m(n_1 — 1,n_2)</tex>-элементное подмножество <tex>M_i \subset M_0</tex>, для которого <tex>\rho'(В)=1</tex> на всех <tex>B \in M_1^{m-1}</tex>, либо существует <tex>r_m(n_1,n_2-1)</tex>-элементное подмножество <tex>M_2 \subset M_0</tex>, для которого <tex>\rho'(B)=2</tex> на всех <tex>B \in M_2^{m-1}</tex>. Случаи аналогичны, рассмотрим первый случай и множество <tex>M_1</tex>.По индукционному предположен из <tex>|M_1|=r_m(n_1-1,n_2)</tex> следует, что либо существует <tex>n_1-1</tex>-элементное подмножество <tex>N_1 \subset M_1</tex>, для которого <tex>\rho(A)=1</tex> на всех <tex>A \in N^m_1</tex>, либо существует <tex>n_2</tex>-элементное подмножество <tex>N_2 \subset M_1</tex>, для которого <tex>\rho(A)=2</tex> на всех <tex>A \in N_2^m</tex>. Во втором случае искомое подмножество найдено (это <tex>N_2</tex>), рассмотрим первый случай и множество <tex>N=N_1 \cup \{a\}</tex>. Пусть <tex>A \in N^m</tex>. Если <tex>A \not\ni a</tex>, то <tex>A \in N_1^m</tex> и следовательно <tex>\rho(A)=1</tex>. Если же <tex>A \ni a</tex>, то множество <tex>A \setminus \{a\} \in N_1^{m-1} \subset M_1^{m-1}</tex> и поэтому <tex>\rho(A)=\rho'(A \setminus \{a \})=1</tex>. Учитывая, что <tex>|N|=n_1</tex>, мы нашли искомое подмножество и в этом случае.
<tex>2)</tex> При <tex>k>2</tex> будем вести индукцию по <tex>k</tex> с доказанной выше базой <tex>k=2</tex>. При <tex>k>2</tex> мы докажем неравенство.
Анонимный участник

Навигация