Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Группы. Действие группы на множестве

597 байт добавлено, 00:18, 27 декабря 2018
Орбита и стабилизатор
|definition=Пусть группа <tex>G</tex> действует на множество <tex>X</tex>. Тогда '''стабилизатором''' (англ. ''stabilizer'') элемента <tex>g \in G</tex> называется множество его неподвижных точек: <tex>St(g) = \{x \in X \mid g \cdot x = x\}</tex>
}}
 
{{Утверждение
|id=stab
|statement=<tex>Orb(x) \cap Orb(y) \neq \varnothing \Rightarrow Orb(x) = Orb(y)</tex>
|proof=<tex>Orb(x) \cap Orb(y) \neq \varnothing \Rightarrow \exists g_1, g_2 \in G : g_1 \cdot x = g_2 \cdot y \Rightarrow x = g_1^{-1} \cdot (g_2 \cdot y) = (g_1^{-1} \cdot g_2) \cdot y \Rightarrow x \in Orb(y)</tex>
 
Заметим, что <tex>\forall g \in G: g \cdot x \in Orb(y) \Rightarrow Orb(x) \subseteq Orb(y)</tex>
 
Аналогично доказывается, что <tex>Orb(y) \subseteq Orb(x)</tex>
 
Таким образом, <tex>Orb(x) = Orb(y)</tex>
}}
 
{{Утверждение
45
правок

Навигация