497
правок
Изменения
→Постановка задачи
Локально взвешенное сглаживание(англ. ''LOcally WEighted Scatter plot Smoothing'', ''LOWESS'')<ref>[http://www.aliquote.org/cours/2012_biomed/biblio/Cleveland1979.pdf Локально взвешенное сглаживание]</ref>. Данная методика была предложена Кливлендом(Cleveland) в 1979 году для моделирования и сглаживания двумерных данных <math>X^m={(x_i, y_i)}_{i=1}^m</math>. Эта техника предоставляет общий и гибкий подход для приближения двумерных данных. Локально-линейная модель может быть записана в виде: <math>y_t=\alpha_t+\beta_t x_t + \varepsilon_t</math>. Эта модель может быть расширена на случай локально-квадратичной зависимости и на модель с бо‘льшим числом независимых переменных. Параметры <math>\alpha_t</math> и <math>\beta_t</math> локально линейной модели оцениваются с помощью локально взвешенной регрессии, которая присваивает объекту тем больший вес, чем более близок он к объекту t. Степень сглаживания определяется параметром сглаживания <math>f</math>, который выбирает пользователь. Параметр <math>f</math> указывает, какая доля (fraction) данных используется в процедуре. Если <math>f = 0.5</math>, то только половина данных используется для оценки и влияет на результат, и тогда мы получим умеренное сглаживание. С другой стороны, если <math>f = 0.8</math>, то используются восемьдесят процентов данных, и сглаживание намного сильнее. Во всех случаях веса данных тем больше, чем они ближе к объекту <math>t</math>.
====Постановка задачи====
Пусть задано пространство объектов $X $ и множество возможных ответов <math>Y = \mathbb{R}</math>. Существует неизвестная зависимость <math>y^*\colon X \to Y</math>, значения которой известны только на объектах обучающией выборки <math>X^l = (x_i\ ,\ y_i)^l_{i=1},\ y_i = y^*(x_i)</math>. Требуется построить алгоритм <math>a\colon X\to Y</math>, аппроксимирующий неизвестную зависимость <math>y^*</math>. Предполагается, что на множестве $X $ задана метрика <math>\rho(x,x')</math>. <br>
Также стоит определить следующее. Для вычисления <math>a(x) = \alpha</math> при <math>\forall x \in X</math>, воспользуемся методом наименьших квадратов:
<math>Q(\alpha;X^l) = \sum_{i=1}^l \omega_i(x)(\alpha-y_i)^2 \rightarrow \underset{\alpha \in \mathbb{R}}{min}</math>, где <math>\omega_i</math> - это вес $i$-ого объекта. Веса <math>\omega_i</math> разумно задать так, чтобы они убывали по мере увеличения расстояния <math>\rho(x,x_i)</math>. Для этого можно ввести невозрастающую, гладкую, ограниченную функцию <math>K:[0, \infty) \rightarrow [0, \infty)</math>, называемую ядром, и представить <math>\omega_i</math> в следующем виде :<math>\omega_i(x) = K\left(\frac{\rho(x,x_i)}{h} \right )</math>, где $h $ — ширина окна.
Приравняв нулю производную <math>\frac{\partial Q}{\partial \alpha} = 0</math>, и, выразив <math>\alpha</math>,получаем ''формулу Надарая-Ватсона''<ref>[http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9E%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B0_%D0%9D%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%80%D0%B0%D1%8F-%D0%92%D0%B0%D1%82%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 Формула Надарая-Ватсона]</ref> :
<math>a_h(x;X^l) = \frac{\sum_{i=1}^{l} y_i\omega_i(x)}{\sum_{i=1}^{l} \omega_i(x)} = \frac{\sum_{i=1}^{l} y_iK\left(\frac{\rho(x,x_i)}{h} \right )}{\sum_{i=1}^{l} K\left(\frac{\rho(x,x_i)}{h} \right )}</math>
