Изменения
→Литература
{{Лемма
|about=
о разности потоков
|statement=
Пусть <tex> f </tex> и <tex> g </tex> {{---}} потоки равной величины в сети <tex> G </tex>. Тогда <tex> g </tex> можно представить как сумму <tex> f </tex> и нескольких циклов в остаточной сети <tex> G_f </tex>, т.е. <tex>g = f + \sum_{i} C_i </tex>.
|proof=
Рассмотрим разность потоков <tex> g - f </tex>, <tex> |g - f| = 0 </tex>. Построим ее [[теорема о декомпозиции|декомпозицию]]. В декомпозиции могут быть только циклы, т.к. наличие путей <tex> s \leadsto t</tex> противоречило бы нулевой величине потока. Таким образом, получили разбиение разности потоков на циклы. Заметим, что <tex> g(u,v) - f(u,v) \leqslant c(u, v) - f(u, v) = c_f(u, v)</tex>, т.е. все циклы принадлежат <tex>G_f</tex>.
}}
{{Лемма
|about=
об эквивалентности свойства потока быть минимальной стоимости и отсутствии отрицательных циклов в остаточной сети
|statement=
|proof=
*<mathtex>\Rightarrow </mathtex>От противного. Пусть существует <mathtex> C </mathtex> {{---}} цикл отрицательного веса отрицательной стоимости в <mathtex> G_f </mathtex>,<mathtex> c_m </mathtex> {{---}} наименьшая остаточная пропускная способность среди рёбер <mathtex> C </mathtex>.
Пустим по <mathtex> C </mathtex> поток <mathtex> f_+ = c_m </mathtex>. Так как сумма весов стоимостей по циклу отрицательна и поток по каждому ребру одинаков, то <mathtex> \sum_{(u,v ) \in VE} p(u,v) \cdot f_+(u,v) < 0</mathtex>
<mathtex>\Rightarrow </mathtex> <mathtex>\sum_{(u,v ) \in VE} p(u,v) \cdot (f + f_+)(u,v) < \sum_{(u,v ) \in VE} p(u,v) \cdot f(u, v)</mathtex> <mathtex>\Rightarrow f </mathtex> {{---}} не минимальный. Противоречие.*<tex>\Leftarrow </tex>Рассмотрим поток <tex> f </tex>, такой что в <tex> G_f </tex> нет циклов отрицательной стоимости. Рассмотрим <tex> f' </tex> {{---}} поток величины <tex> |f| </tex> и минимальной стоимости, т. е. <tex> p(f') \leqslant p(f) </tex>. По лемме представим <tex>f' = f + \sum_{i} C_i </tex>. По условию стоимости всех циклов неотрицательны. Получаем <tex> p(f') \geqslant p(f) \Rightarrow p(f') = p(f)</tex>.
}}
== Источники информации ==
* Ravindra Ahuja, Thomas Magnanti, James Orlin. Network flows (1993)
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Задача о потоке минимальной стоимости]]
