Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Level Ancestor problem

2141 байт добавлено, 4 июнь
Нет описания правки
'''Задача о уровне предка''' (англ. "Level Ancestor problem") является задачей о превращении данного корневого подвешенного дерева <tex>T</tex> в структуру данных, которая сможет определить предка любого узла на заданном расстоянии от корня дереваэтого узла.
{{Задача
|definition = Дано корневое подвешенное дерево <tex>T</tex> c <tex>n</tex> вершинами. Поступают запросы вида <tex>LA(v, k)</tex>, для каждого из которых необходимо
найти предка вершины <tex>v</tex>, который находится на расстоянии <tex>k</tex> от корня дерева <tex>T</tex>.
}}
== Наивная реализация и двоичные подъемы Использование Heavy-light декомпозиции ==
[[Файл:LevelAncestor.png|200px|thumb|right]]
Используя обход в глубину посчитаем глубину каждой вершины дерева (это можно сделать за <tex>O(n)</tex>), после чего можем из вершины <tex>v</tex> подняться до необходимой глубины вершины <tex>k</tex>,
что так же в худшем случае работает за <tex>O(n)</tex>.
Получили алгоритм за < <tex>O(n), O(n)</tex> > времени и <tex>O(n)</tex> памяти, где время ответа на
запрос можно улучшить до <tex>O(\log n)</tex> c помощью [[Метод двоичного подъёма | предподсчета двоичных подъемов]] ,
но тогда и время предподсчета в наивной реализации (посчитать подъемы для всех вершин) ухудшится до < <tex>O(n \log n),
O(\log n)</tex> > времени и <tex>O(n \log n)</tex> памяти. Альтернативой данным двум алгоритмам является полный предподсчет всех возможных запросов, что соответственно дает нам асимптотику < <tex>O(n^2), O(1)</tex> > времени и <tex>O(n^2)</tex> памяти.
 
В данном примере поступает запрос <tex>LA(v, 2)</tex>, на который алгоритм должен дать ответ <tex>h</tex>.
 
== Использование Heavy-light декомпозиции ==
Этот алгоритм базируется на различных способах [[Heavy-light декомпозиция | декомпозиции дерева]] (выберем heavy-light декомпозицию), из свойств этого разбиения следует,
что подняться на любую высоту из вершины <tex>v</tex> мы можем за время <tex>O(\log n)</tex>.
Данное разбиение можно строить за <tex>O(n)</tex>, что дает нам алгоритм за < <tex>\langle O(n), O(\log n)\rangle</tex> >. В данном примере поступает запрос LA(v, 2), на который алгоритм должен дать ответ h.
== Алгоритм лестниц ==
=== Longest path decomposition <ref>[https://www.mi.fu-berlin.de/en/inf/groups/abi/teaching/lectures/lectures_past/WS0910/V____Discrete_Mathematics_for_Bioinformatics__P1/material/scripts/treedecomposition1.pdf Longest path decomposition]</ref>===Разобьем все Это декомпозиция дерева, которая разбивает его на множество вершинно-непересекающихся путей, идущих из каждой вершины на пути в ее ребенка с самым глубоким поддеревом.Сделаем ее следующим образом. Обойдем : обойдем дерево с помощью обхода в глубину, пусть мы стоим в вершине
<tex>v</tex>, обойдем всех ее детей, добавив <tex>v</tex> в путь, идущий в самое глубокое поддерево,
т.е. в котором находится вершина с самой большой глубиной.
Для каждой вершины сохраним номер пути в который она входит.
 
=== Ladder decomposition ===
Увеличим Это улучшение Longest-path декомпозиции, позволяющее, как мы потом докажем, подниматься на любую высоту за <tex>O(1)</tex>. Выполним его следующим образом: увеличим каждый путь в два раза вверх, для каждого нового пути сохраним все входящие в него вершины,
а для каждой вершины сохраним ее номер в пути, в который она входит. Построение обычной longest-path декомпозиции займет у
нас <tex>O(n)</tex> времени (обход в глубину), соответственно удлиннение каждого пути ухудшит асимптотику до <tex>O(n \log n)</tex>.
=== Псевдокод ===
Пусть после этого нам пришел запрос <tex>LA(v, k). *<tex>p[i] [v]</tex> — <tex>i</tex>-тый двоичный подъем в предка вершины <tex>v</tex>*<tex>way[v]</tex> — путь, проходящий через данную вершину*<tex>num[v]</tex> — номер данной вершины на пути*<tex>ladder[p][i]</tex>.— возвращает <tex>i</tex>-тую вершину на пути <tex>p</tex> 
'''function''' LA('''int''' v,'''int''' k):
'''int''' n = h(v); ''<font color="green">// получаем глубину вершины <tex>v</tex></font>''
n = n - k; ''<font color="green">// на столько необходимо подняться до ответа</font>''
i = <tex>\log lfloor \log_2 n\rfloor</tex>; v = p_ip[i][v] ''<font color="green">// делаем максимально большой прыжок вверх</font>'' i = n - i; ''<font color="green">// на столько осталось еще подняться</font>'' '''return''' ladder[way[num_on_wayv]][num[v] - i]; ''<font color="green">// так как теперь <tex>v</tex> и ответ находятся на одном пути</font>''
=== Доказательство корректности ===
Рассмотрим путь, на котором лежит вершина <tex>v</tex> до удвоения. Он длины хотя бы <tex>2^i</tex>, так как мы точно знаем, что существует вершина потомок <tex>v</tex>, расстояние до которого ровно <tex>2^i</tex> (это вершина, из которой мы только что пришли). Значит, после удвоения этот путь стал длины хотя бы <tex>2^{i + 1}</tex>, причем хотя бы <tex>2^i</tex> вершин в нем - предки <tex>v</tex>. Это означает, что вершина, которую мы ищем, находится на этом пути (иначе бы мы могли до этого прыгнуть еще на <tex>2^i</tex> вверх). Так как мы знаем позицию <tex>v</tex> в этом пути, то нужную вершину мы можем найти за <tex>O(1)</tex>. Таким образом, наш алгоритм работает за <tex>\langle O(n\log n), O(1)\rangle </tex> времени и за <tex>O(n\log n)</tex> памяти. Методом четырех русских данный метод можно улучшить до <tex>\langle O(n), O(1)\rangle </tex> с помощью оптимизации предподсчета.
Таким образом, наш алгоритм работает за < <tex>O(n\log n), O(1)</tex> > времени и за <tex>O(n\log n)</tex> памяти. Методом четырех русских данный метод можно улучшить до < <tex>O(n), O(1)</tex> > с помощью оптимизации предподсчета.
== The Macro-Micro-Tree Algorithm ==
В данном разделе мы докажем, что предподсчет предыдущего алгоритма можно улучшить до <tex>O(n)</tex>.
Для начала рассмотрим алгоритм < <tex>\langle O(L\log n + n), O(1)\rangle </tex> >, где <tex>L</tex> это количество листьев.*С помощью обхода в глубину запомним по одному листу в ее поддереве для каждой вершины
*Воспользуемся алгоритмом лестниц, но будем выполнять предподсчет только для листьев.
Рассмотрим как можно улучшить данный алгоритм:
*Зададим некую функцию <tex>S(n) = \dfrac{1}{4} \log log_2 n</tex>
*Посчитаем размер поддерева для каждой вершины с помощью обхода в глубину, после чего удалим все вершины размер поддерева которых меньше чем <tex>S(n)</tex>.
*Забудем на время про удаленные поддеревья, для оставшегося дерева наш алгоритм работает за < <tex>\langle O(\dfrac{n}{S(n)} \log n + n), O(1)\rangle </tex> >. Получаем алгоритм < <tex>\langle O(n), O(1) \rangle </tex> >. Для удаленных поддеревьев же выполним полный предподсчет: таких деревьев не более чем <tex>2^{2S(n)}</tex>, что дает асимптотику предподсчета <tex>O(\sqrt{n} \log^2{n}) = o(n) = O(n)</tex>. В итоге полученный алгоритм действительно работает за <tex>\langle O(n), O(1)\rangle </tex> времени и за <tex>O(n)</tex> памяти. == Сравнение с другими реализациями ==Используя DFS посчитаем глубину каждой вершины дерева (это можно сделать за <tex>O(n)</tex>), после чего можем из вершины <tex>v</tex> подняться до необходимой глубины вершины <tex>k</tex>,что так же в худшем случае работает за <tex>O(n)</tex>.Получили алгоритм за <tex>\langle O(n), O(n) \rangle</tex> времени и <tex>O(n)</tex> памяти, где время ответа назапрос можно улучшить до <tex>O(\log n)</tex> c помощью [[Метод двоичного подъёма | предподсчета двоичных подъемов]] ,но тогда и время предподсчета в наивной реализации (посчитать подъемы для всех вершин) ухудшится до <tex>\langle O(n \log n),O(\log n)\rangle </tex> времени и <tex>O(n \log n)</tex> памяти. Также альтернативой данным двум алгоритмам является полный предподсчет всех возможных запросов, что соответственно дает нам асимптотику <tex>\langle O(n^2), O(1)\rangle </tex>времени и <tex>O(n^2)</tex> памяти.
В итоге полученный алгоритм действительно работает за Сравнение различных асимптотик из данной статьи:{| class="wikitable" style="clear:right;" cellpadding="10"|+|-align="center"!| Предподсчет| Ответ на запрос| Память|-align="center"!Обычный подъем до нужного уровня|< tex>O(n)</tex>||<tex>O(n)</tex>||<tex>O(n)</tex>|-align="center"!Полный предподсчет|<tex>O(n^2)</tex>||<tex>O(1)</tex>||<tex>O(n^2)</tex>|-align="center"!Двоичные подъемы|<tex>O(n \log n)</tex>||<tex>O(\log n)</tex>||<tex>O(n \log n)</tex>|-align="center"!Декомпозиция|<tex>O(n)</tex>||<tex>O(\log n)</tex>||<tex>O(n), </tex>|-align="center"!Алгоритм лестниц|<tex>O(n \log n)</tex>||<tex>O(1)</tex> ||<tex>O(n \log n)</tex>|-align="center"!Macro-Micro-Tree Algorithm|<tex>O(n)</tex>||<tex>O(1)</tex> времени и за ||<tex>O(n)</tex> памяти.|}
== См. также ==
*[[Метод двоичного подъёма]]
*[[Heavy-light декомпозиция]]
== Примечания ==
<references/>
== Источники информации ==
*[https://www.cadmo.ethz.ch/education/lectures/HS18/SAADS/reports/5.pdf Level Ancestor problem simplified Cai Qi]
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Level_ancestor_problem Wikipedia: LA]
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
Анонимный участник

Навигация