Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Теорема Фишера-Линча-Патерсона (FLP)

11 611 байт добавлено, 4 июнь
Нет описания правки
[[Категория:Параллельное программирование]]Теорема Фишера, Линча и Патерсона (FLP, 1985 год) : невозможно достичь даже необоснованного [[Консенсус в распределённой системе|консенсуса]] $N>2$ процессами даже на одном бите при следующих условиях:
* Алгоритм должен завершиться за конечное время.
* Один из узлов [[Иерархия ошибок в распределённых системах|может отказать]]
* Алгоритм должен быть детерминирован.
Если разрешаем незавершаемость в случае отказов, есть [[Paxos]] и [[Raft]].
Если отказов нет, есть [[Консенсус в распределённой системе#Решение при отсутствии отказов|простой алгоритм]].
Если система синхронна, то есть [[консенсус в синхронных системах]].
Если разрешаем недетерминизм, то есть [[алгоритм Бен-Ора]].
 
При этом даже если разрешить одновременную посылку сообщения сразу нескольким процессам (как в [[Общий порядок сообщений|общем порядке сообщений]]) и тем самым запретить процессу падать при массовой рассылке сообщений, лучше не станет: нет гарантии, в каком порядке и как скоро эти сообщения будут получены и обработаны получателями.
А вот если какую-нибудь гарантию дадим, то получаем [[Переформулировки консенсуса в распределённой системе#Terminating Reliable Broadcast (TRB)|TLB]], из которого сразу выводится консенсус.
== Доказательство ==
Из презентации Р. Елизарова.
От противного: пусть есть такой алгоритм, тогда мы проанализируем варианты его исполнения, подстроим порядок доставки сообщений (без откладывания сообщений бесконечно далеко) , получим бесконечную цепочку выполнения и получим противоречие с нетривиальностью консенсусаконечностью алгоритма.
=== Модель ===
{{Определение
|definition=
Конфигурация называется '''$i$-валентной''' и '''одновалентной''', если все цепочки шагов из неё приводят к решению $i$.
Таким образом, бывают 0-валентные и 1-валентные конфигурации.
Если же из конфигурации есть цепочки, приводящие к каждому из решений, то такая конфигурация называется '''бивалентной'''.
}}
'''Наблюдение''': пусть из конфигурации $X$ есть цепочка шагов, обрабатывающая сообщения из $X$ в подмножестве процессов $A$, за которой идёт цепочка процессов, обрабатывающая сообщения из $X$ в подмножестве процессов $B$, и в конце мы получили конфигурацию $Y$. Тогда эти цепочки коммутируют: можно сначала обработать сообщения подмножеством процессов $B$, а потом — $A$ (так как мы обрабатываем только сообщения из $X$, а не новые). '''Наблюдение''': за $i$-валентной конфигурацией могут следовать только $i$-валентные.
=== Начальная бивалентная конфигурация ===
'''Лемма''': существует бивалентная начальная конфигурация.
 
Доказательство от противного: пусть все начальные конфигурации одновалентны.
Из нетривиальности консенсуса мы знаем, что есть как 0-, так и 1-валентные начальные конфигурации.
Тогда можно найти две начальные конфигурации разной валентности, которые отличаются только состоянием одного процесса:
взяли две произвольные начальные конфигурации разной валентности, начали переводить одну в другую копированием исходных состояний процессов, по одному процессу за шаг.
 
А раз есть две такие конфигурации разной валентности, то пусть в каждой из них этот процесс (где они отличаются) откажет с самого начала, до отправки и приёма любых сообщений.
Тогда мы всё ещё получим консенсус, но решение будет одинаковым, потому что внешняя система никак не может выявить состояние отказавшего процесса.
А они исходно были разной валентности, противоречие.
=== Цепочка бивалентных конфигураций ===
'''Лемма''': для любой бивалентной конфигурации можно найти следующую за ней бивалентную.
 
'''Следствие''': если лемма верна, то мы можем построить бесконечную цепочку бивалентных конфигураций и тем самым получим противоречие и докажем FLP: есть бесконечная цепочка, в которой не принято решение.
 
'''Доказательство''': от противного.
Пусть все конфигурации после некотороый бивалентной конфигурации $G$ одновалентны.
Введём определения:
* $e$ — какое-то событие в $G$, скармливающее сообщение $m$ процессу $p$. Такое есть, иначе у нас в конфигурации ничего не происходит, она бивалентна, а решение должно быть детерминированным, противоречие.
* $C$ — множество конфигураций, достижимых из $G$ без использования $e$. В частности, в $C$ по предположению отсутствуют бивалентные конфигурации.
* $D=e(C)$, то есть все конфигурации, достижимые из $G$, где $e$ — последнее обработанное событие. В частности, в $D$ по предположению отсутствуют бивалентные конфигурации.
Теперь докажем, что $D$ содержит бивалентную конфигурацию.
То есть мы выбрали, насколько сильно отложить обработку произвольного события $e$ и показали, что это не порушит бивалентность.
Надо ещё аккуратно, чтобы это не порушило конечность обработки каждого сообщения.
Например, их можно обрабатывать по очереди, начиная с самых старых.
Тогда каждое событие рано или поздно попадёт в наш шаг и будет обработано.
 
[[Файл:distributed-flp-proof-cd.png|500px]]
 
==== Шаг 1: существование $i$-валентных конфигураций в $D$ ====
'''Подлемма''': для любого $i$ в $D$ существует $i$-валентная конфигурация.
 
В самом деле: так как $G$ бивалентна, то по какой-то цепочке шагов из неё можно дойти до $i$-валентной конфигурации $E_i$.
Дальше разбором случаев находим искомую конфигурацию в $D$:
* Если $E_i \in D$, то мы доказали подлемму.
* Если $E_i \in C$, то $e(E_i) \in D$, у $e(E_i)$ такая же валентность и мы снова доказали подлемму.
* Иначе ребро $e$ применялось в цепочке шагов для достижения $E_i$ из $G$. Найдём конфигурацию $F_i \in D$, которая была в этой цепочке шагов сразу после применения $e$. Так как в $D$ нет бивалентных конфигураций, то $F_i$ является $i$-валентной, что и требовалось.
 
==== Шаг 2: существование соседних разновалентных конфигураций ====
 
Теперь мы хотим найти такие две соседние конфигурации $C_0, C_1 \in C$ (отличающиеся переходом $e'(C_0)=C_1$), что $D_0=e(C_0) \in D$ является 0-валентной, а $D_1=e(C_1)$ — 1-валентной (или наоборот).
Это можно сделать, если взять в $D$ конфигурацию $e(C_1)$, отличающуюся от валентности $e(G)$, а дальше посмотреть на цепочку конфигураций между $G$ и $e(C_1)$ и найти момент смены валентности.
 
Начнём искать, более строго. Не теряя общности можем сказать, что $e(G)\in D$ является 0-валентной (иначе повторим доказательство шага).
По предыдущему шагу найдём в $D$ 1-валентную конфигурацию $D_1=e(C_1)\in D$.
Конфигурация $C_1$ получена какой-то конечной непустой цепочкой сообщений $x_1, x_2, \dots, x_k$.
Будем по очереди убирать по одному сообщения с конца и смотреть на валентность конфигураций $e(x_{k-1}(\dots(x_1(G))\dots))$, $e(x_{k-2}(\dots(x_1(G))\dots))$, \dots — в какой-то момент она сменится с единицы на ноль (например, при пустой цепочке, т.е. при рассмотрении $e(G)\in D$).
Тогда мы как раз нашли искомую пару соседей $C_0$ и $C_1$ таких, что $e(C_0)$ и $e(C_1)$ разной валентности.
 
==== Шаг 3: разбор случаев ====
Теперь у нас, помимо конфигурации $C$ и события $e$, есть некоторое событие $e'$ и конфигурации $C_0$ и $C_1$, причём:
* $e(C_0)=D_0$ является 0-валентной, а $e(C_1)=D_1$ является 1-валентной (или наоборот, повторим доказательство)
* $e'(C_0)=C_1$
 
Разберём два случая, в зависимости от того, одному процессу приходят $e$ и $e'$ или разным.
 
===== Разным =====
Пусть $proc(e)\neq proc(e')$ (т.е. эти события в разных процессах).
Тогда нам всё равно, в каком порядке их обрабатывать, т.е. $e'(e(C_0))=e(e'(C_0))=e(C_1)=D_1$:
 
[[Файл:Distributed-flp-proof-case1.png|300px]]
 
Мы знаем, что $D_1$ является 1-валентной. Но так как они достижима из $D_0$, то она также является и 0-валентной, противоречие.
 
===== Одному =====
Пусть $proc(e) = proc(e') = p$ (т.е. это два сообщения одному и тому же процессу).
Тогда рассмотрим цепочку шагов $\sigma$ от состояния $C_0$, в которой процесс $p$ вообще отказал вместо обработки сообщений.
Тогда остальные процессы в этой цепочке пришли к какому-то решению в конфигурации $A=\sigma(C_0)$.
Тогда эта конфигурация должна быть либо 0-, либо 1-валентной (в ней уже принято решение).
 
[[Файл:Distributed-flp-proof-case2.png|400px]]
 
Но теперь мы можем сказать, что процесс $p$ не отказал, а просто очень долго работал и теперь получает событие $e$.
Так как $\sigma$ не обращается к $p$, то $E_0=e(\sigma(C_0)=\sigma(e(C_0))=\sigma(D_0)$ — конфигурация, достижимая из 0-валентной, т.е. тоже 0-валентная.
 
С другой стороны, можно аналогично сказать, что процесс $p$ теперь получает сообщение $e'$, а за ним — сообщение $e$.
Тогда получается $E_1=e(e'(\sigma(C_0))$.
Из-за коммутативности получаем $E_1=\sigma(e(e'(C_0)))=\sigma(e(C_1))=\sigma(D_1)$ — конфигурация, достижимая из 1-валентной, т.е. тоже 1-валентная.
 
Таким образом получаем, что из $A$ достижимы и 0-валентная, и 1-валентная конфигурация, противоречие.
== Ссылки ==
* http://bailonga.es/tpmtp/lecture09.pdf
* https://github.com/volhovm/study-notes/blob/master/parallel_programming/parallel_programming.org
292
правки

Навигация