Изменения

Перейти к: навигация, поиск
fixed structure
|definition =
Функция $p_0(n)$ называется '''пороговой''' для монотонного свойства $\mathcal{A}$ (англ. ''threshold''), если для любой функции вероятности $p(n)$ выполнено:
* $P(G(n,p(n))\in\mathcal{A})\xrightarrow[n \to \infty]{} 0$, если $p(n)/p_0(n)\xrightarrow[n \to \infty]{} 0$* $P(G(n,p(n))\in\mathcal{A})\xrightarrow[n \to \infty]{} 1$, если $p(n)/p_0(n)\xrightarrow[n \to \infty]{} \infty$
}}
Мы уже знакомы с некоторыми [[Случайные графы | пороговыми функциями]].
|proof=
Сначала найдем эту пороговую функцию. Зафиксируем $n$.
* Заметим, что функция $f(p)=P(G(n,p)\in\mathcal{A})$ непрерывна. На самом деле это многочлен, у которого степень оценивается как количество ребер в полном графе. :* Вероятность получить конкретный граф равна $p^\alpha\cdot(1-p)^\beta$, где $\alpha$ и $\beta${{---}} количество присутствующих и отсутствующих ребер соответственно ($\alpha+\beta=C_n^2$). :* Чтобы получить $f(p)$, нужно просуммировать такие многочлены по всем графам из $\mathcal{A}$.
* $f(0)=0$, $f(1)=1$, так как свойство нетривиальное и монотонное (то есть пустой граф точно не удовлетворяет ему, тогда как полный должен удовлетворять).
* По теореме Больцано-Коши найдется такое $p_0$, что $P(G(n,p_0)\in\mathcal{A})=1/2$.
* Мы по $n$ научились находить такую вероятность $p_0$, что $P(G(n,p_0)\in\mathcal{A})=1/2$. Теперь проделаем это для каждого $n\in\mathbb{N}$ и получим функцию $p_0(n)$. Она окажется пороговой для свойства $\mathcal{A}$.
<br>
Докажем это.
Пусть $\dfrac{p(n)}{p_0(n)}\xrightarrow[n \to \infty]{} \infty$. Докажем, что $P(G(n,p(n))\in\mathcal{A})\xrightarrow[n \to \infty]{} 1$.
'''вот тут идёт стена текста<br>Докажем, проструктурируй чуть лучше что неравенство $P(G(n,p(n))\in\mathcal{A})>P(G(n,1-(1-p_0(n))^m)\in\mathcal{A})$ верно при достаточно больших $n$.* Для этого по лемме о монотонности вероятности достаточно установить: $p(n)>1-(1-p_0(n))^m$.:* $p(n)>m p_0(n)$. Неравенство верно с некоторого момента, так как $p\gg p_0$ по строкам предположению.:* $m p_0(n)\geqslant 1-(1-p_0(n))^m$. Это неравенство Бернулли. Оно верно при $(-p_0(n))>-1$ и абзацам'''$m\notin[0,1]$. Первое ограничение соблюдено, далее выберем $m$ с учетом второго ограничения.
<br>Выберем $m$ графов из $G(n,p_0)$ графы $G_1,\ldots,G_m$ и рассмотрим $H=G_1\cup G_2\cup\ldots\cup G_m$.В нем фиксированного ребра не будет тогда, когда ни в одном из $G_i$ нет ребра, то есть $P(\text{в }H\text{ нет ребра})=1-(1-p_0)^m$, то есть $H\in G(n,1-(1-p_0)^m)$.* $P(G(n,p)\in\mathcal{A})>P(G(n,1-(1-p_0)^m)\in\mathcal{A})$. Для этого сравним $p$ и $1-(1-p_0)^m$: $p>m p_0\geqslant 1-(1-p_0)^m$. Первое неравенство верно с некоторого момента, так как $p\gg p_0$, второе {{---}} неравенство Бернулли. Оно верно при $(-p_0)>-1$ и рассмотрим $m\notin[0,1]$. Первое ограничение соблюдено, потом выберем $m$ с учетом этого ограничения.* $P(G(n,1-(1-p_0)^m)\in\mathcal{A})=P(H\in\mathcal{A})\geqslant 1-(1-P(G(n,p_0)\in\mathcal{A}))^m=1-1/2^m$. Про первое равенство уже поняли, про последнее {{---}} так выбрали $p_0$.Для доказательства неравенства достаточно понять, что если $HG_1\notincup G_2\mathcal{A}$, то все $G_icup\notinldots\mathcal{A}$ (действительно, ведь $P(H\in\mathcal{A})=1-P(H\notin\mathcal{A})cup G_m$, перенесем, уберем по единице). А это верно в силу монотонности свойства $\mathcal{A}$.* $1-1/2^m>1-\varepsilon$. Это равносильно $m\geqslant \log_2{1/\varepsilon}$. Положим $m=\log_2{1/\varepsilon}+2$. Тогда исходное неравенство верно, а также ограничение для неравенства Бернулли выполнено.
Мы зафиксировали $\varepsilon$ и доказалиОказывается, что $P(G(n,p_p1-(1-p_0(n))^m)\in\mathcal{A})>1-=P(H\in\varepsilonmathcal{A})$ верно .* Действительно, посмотрим, с некоторого моментакакой вероятностью в $H$ не окажется фиксированного ребра. Это и значит будет тогда, когда во всех графах $G_i$ не будет его, то есть $P(G(n,p)\intext{в }H\mathcaltext{Aнет ребра})=(1-p_0(n))^m$. Тогда в $H$ будет ребро с вероятностью $1-(1-p_0(n))^m$. Мы получили даже, что $H\xrightarrow[in G(n \to \infty]{} ,1-(1-p_0(n))^m)$.
Теперь пусть <br>Оценим вероятность принадлежности $H$ свойству $\mathcal{A}$: $P(H\dfracin\mathcal{pA})\geqslant 1-(1-P(G(n)}{,p_0(n)}\xrightarrow[n )\to in\infty]mathcal{A} 0))^m$.Зафиксируем * Перепишем неравенство с учетом $P(H\varepsilon$. Так как $in\mathcal{A})=1-P(H\varepsilon<1notin\mathcal{A})$, то найдется такое натуральное $m$, что : $(1-P(G(n,p_0(n))\in\varepsilonmathcal{A}))^m<1/2\geqslant P(H\notin\mathcal{A})$.Так как * Если мы покажем, что из правого события следует левое, то тогда докажем само неравенство.* Справа {{---}} вероятность того, что граф $H$ не попал в $\mathcal{A}$. Тогда (в силу монотонности свойства) и все его подграфы (в том числе и $G_i$) тоже не попали в $p\ll p_0mathcal{A}$.* А слева как раз и есть вероятность того, то с некоторого момента что все графы $p m<p_0G_i$, тогда не попали в $p_0>m p\geqslant 1-(1-p)^mmathcal{A}$.
<br>По построению $p_0(n)$ правую часть последнего неравенства можно легко посчитать: $1-(1-P(G(n,p_0(n))\in\mathcal{A}))^m=1-(1-1/2)^m=1-1/2^m$ <br>Совершим последнюю оценку: $1-1/2^m>1-\varepsilon$.* Это равносильно $m\geqslant \log_2{1/\varepsilon}$. Положим $m=\log_2{1/\varepsilon}+2$. Тогда исходное неравенство верно, а также ограничение для неравенства Бернулли выполнено. <br>За несколько шагов мы показали, что неравенство $P(G(n,p(n))\in\mathcal{A})>1-\varepsilon$ выполняется с некоторого момента. Это и значит $P(G(n,p(n))\in\mathcal{A})\xrightarrow[n \to \infty]{} 1$ <br>Теперь пусть $\dfrac{p(n)}{p_0(n)}\xrightarrow[n \to \infty]{} 0$. Докажем, что $P(G(n,p(n))\in\mathcal{A})\xrightarrow[n \to \infty]{} 0$. <br>Зафиксируем $\varepsilon>0$.* (1) Так как $1-\varepsilon<1$, то найдется такое натуральное $m$, что $(1-\varepsilon)^m<1/2$.* (2) Так как $p\ll p_0$, то с некоторого момента $p(n) m<p_0(n)$, тогда $p_0(n)>m p(n)\geqslant 1-(1-p(n))^m$. <br>Выберем $m$ графов из $G(n,p(n))$ $G_1,\ldots,G_m$ и рассмотрим $H=G_1\cup G_2\cup\ldots\cup G_m$. Как мы уже знаем, $H\in G(n,1-(1-p(n))^m)$. <br>* $(1-P(G(n,p(n))\in\mathcal{A}))^m=P(\forall\,i\colon G_i\notin\mathcal{A})\geqslant P(H\notin\mathcal{A})\geqslant1/2$. * Из нового только последнее неравенство, остальное уже доказано. * Оно следует из $P(H\in\mathcal{A})=P(G(n,1-(1-p(n))^m)\in\mathcal{A})<P(G(n,p_0(n))\in\mathcal{A})=1/2$. В последнем неравенстве мы пользуемся леммой о монотонности вероятности и (2). <br>* $1/2>(1-\varepsilon)^m$. Из-за выбора $m$по (1). Тогда $(1-P(G(n,p(n))\in\mathcal{A}))^m>(1-\varepsilon)^m\Rightarrow P(G(n,p(n))\in\mathcal{A})<\varepsilon$Мы по $\varepsilon$ научились понимать, что $P(G(n,p_0(n))\in\mathcal{A})<\varepsilon$ верно с некоторого момента, что и означает сходимость.
}}
54
правки

Навигация