8
правок
Изменения
submit
== Специализация алгоритма для генерации следующего разбиения на подмножества ==
Рассмотрим множество первых n натуральных чисел:<tex>N_n = \{1, 2, ..., n\}</tex>
Упорядочим все разбиения на множества <tex>N_n</tex> лексикографически. Для этого, во-первых, в каждом разбиении упорядочим множества лексикографически. Будем говорить, что подмножество <tex> A \subset N_n </tex> лексикографически меньше подмножества <tex> B \subset N_n </tex> , если верно одно из следующих условий:
*существует <tex>i</tex> такое, что <tex>i \in A</tex> , <tex>i \notin B</tex>, для всех <tex>j < i: j \in A</tex> если и только если <tex>j \in B</tex> , и существует <tex>k > i</tex> такое что <tex>k \in B</tex>;
* <tex> A \subset B </tex> и <tex>i < j</tex> для всех <tex>i \in A</tex> и <tex>j \in B</tex> \ <tex> A </tex>.
Разбиения упорядочены лексикографически следующим образом. Разбиение <tex>N_n = A_1 \cup A_2 \cup . . . \cup A_k</tex> лексикографически меньше разбиения <tex>N_n = B_1 \cup B_2 \cup . . . \cup B_l</tex> если существует такое <tex>i</tex>, что <tex>A_1 = B_1, A_2 = B_2, . . . ,A_{i - 1} = B_{i - 1}, A_i < B_i</tex>.
'''Рассмотрим алгоритм нахождения лексикографически следующего разбиения на подмножества:'''
*Будем хранить подмножества в списке списков, например, разбиение <tex> \{1, 2, 3\}~ \{4, 5\}</tex> будет выглядеть так:
{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3
|-
|4||5||
|}
* Будем поддерживать массив "удалённых" элементов {{---}} элементы которые затем нужно будет вернуть в разбиение.
* Двигаясь снизу вверх будем рассматривать подмножества.
** Если мы можем дописать в текущее подмножество минимальный элемент из удалённых, то мы нашли следующее разбиение и идти дальше вверх не нужно.
** Если дописать не можем, значит, либо нужно укоротить и заменить какой то элемент в текущем подмножестве, либо перейти к следующему подмножеству. Будем идти справа налево и рассамтривать элементы:
*** Если мы можем заменить текущий элемент минимальным удалённым {{---}} мы нашли следующее разбиение, завершаем оба прохода. Стоит отметить, что нельзя перезаписывать последний элемент в подмножестве, иначе мы не сможем дописать минимальный хвост после этого подмножества {{---}} в удалённых будет элемент меньше текущего и мы не сможем дописать правильный хвост.
*** Если заменить не можем, то его нужно удалить.
* Допишем лексикографически минимальный хвост подмножеств из оставшихся удалённых элементов.
'''list<list<int>>''' nextSetPartition('''list<list<int>>''' a):
used = '''list<int>'''
<font color=green>// a {{---}} список, содержащий подмножества</font>
<font color=green>// used {{---}} список, в котором мы храним удаленные элементы</font>
fl = ''false''
'''for''' i = a.size - 1 '''downto''' 0
'''if''' (used.size != 0) '''and''' (max(used) > a[i][-1]) <font color=green>// в удалённых есть хотя бы один элемент, который мы можем добавить в конец.</font>
m = '''минимум из''' used '''строго больше''' a[i][-1]
a[i].add(m) <font color=green>//добавляем</font>
used.remove(m)
'''break'''
'''for''' j = a[i].size - 1 '''downto''' 0
'''if''' (used.size != 0) '''and''' (j != 0) '''and''' (max(used) > a[i][j]) <font color=green>//если можем заменить элемент, другим элементом из списка used и он не последний</font>
m = '''минимум из''' used '''строго больше''' a[i][-1]
a[i][j] = m <font color=green>//заменяем</font>
used.remove(m)
fl = ''true''
'''break'''
'''else'''
used.add(a[i][-1])
a[i].pop()
'''if''' a[i].size == 0
a.pop()
'''if''' fl
'''break'''
<font color=green>//далее выведем все удалённые, которые не выбрали</font>
sort(used)
'''for''' i = 0 '''to''' used.size - 1
a.add('''list<int>'''(used[i])) <font color=green>//добавляем лексикографически минимальных хвост</font>
'''return''' a
=== Пример работы ===
'''Рассмотрим следующее разбиение:'''
{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3
|-
|4||5||
|}
'''1 Шаг:'''
{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||
|-
|4||style="background:#FFCC00"|5||||
|-
| ||^|| ||Удалили элемент 5.
|-
| || || ||used
|}
'''2 Шаг:'''
{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||
|-
|style="background:#FFCC00"|4|| ||||
|-
|^|| || ||Удалили элемент 4. Так как он является последним в подмножестве, то мы не можем заменить его на другой.
|-
|5|| || ||used
|}
'''3 Шаг:'''
{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||style="background:#FFCC00"|4||
|-
| || || ||^||Дополнили первое подмножество элементом 4
|-
|5|| || || ||used
|}
'''4 Шаг:'''
{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||4||
|-
|style="background:#FFCC00"|5|| || || ||Дописали лексикографически минимальный хвост
|-
| || || || ||used
|}
Рассмотрим множество первых n натуральных чисел:<tex>N_n = \{1, 2, ..., n\}</tex>
Упорядочим все разбиения на множества <tex>N_n</tex> лексикографически. Для этого, во-первых, в каждом разбиении упорядочим множества лексикографически. Будем говорить, что подмножество <tex> A \subset N_n </tex> лексикографически меньше подмножества <tex> B \subset N_n </tex> , если верно одно из следующих условий:
*существует <tex>i</tex> такое, что <tex>i \in A</tex> , <tex>i \notin B</tex>, для всех <tex>j < i: j \in A</tex> если и только если <tex>j \in B</tex> , и существует <tex>k > i</tex> такое что <tex>k \in B</tex>;
* <tex> A \subset B </tex> и <tex>i < j</tex> для всех <tex>i \in A</tex> и <tex>j \in B</tex> \ <tex> A </tex>.
Разбиения упорядочены лексикографически следующим образом. Разбиение <tex>N_n = A_1 \cup A_2 \cup . . . \cup A_k</tex> лексикографически меньше разбиения <tex>N_n = B_1 \cup B_2 \cup . . . \cup B_l</tex> если существует такое <tex>i</tex>, что <tex>A_1 = B_1, A_2 = B_2, . . . ,A_{i - 1} = B_{i - 1}, A_i < B_i</tex>.
'''Рассмотрим алгоритм нахождения лексикографически следующего разбиения на подмножества:'''
*Будем хранить подмножества в списке списков, например, разбиение <tex> \{1, 2, 3\}~ \{4, 5\}</tex> будет выглядеть так:
{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3
|-
|4||5||
|}
* Будем поддерживать массив "удалённых" элементов {{---}} элементы которые затем нужно будет вернуть в разбиение.
* Двигаясь снизу вверх будем рассматривать подмножества.
** Если мы можем дописать в текущее подмножество минимальный элемент из удалённых, то мы нашли следующее разбиение и идти дальше вверх не нужно.
** Если дописать не можем, значит, либо нужно укоротить и заменить какой то элемент в текущем подмножестве, либо перейти к следующему подмножеству. Будем идти справа налево и рассамтривать элементы:
*** Если мы можем заменить текущий элемент минимальным удалённым {{---}} мы нашли следующее разбиение, завершаем оба прохода. Стоит отметить, что нельзя перезаписывать последний элемент в подмножестве, иначе мы не сможем дописать минимальный хвост после этого подмножества {{---}} в удалённых будет элемент меньше текущего и мы не сможем дописать правильный хвост.
*** Если заменить не можем, то его нужно удалить.
* Допишем лексикографически минимальный хвост подмножеств из оставшихся удалённых элементов.
'''list<list<int>>''' nextSetPartition('''list<list<int>>''' a):
used = '''list<int>'''
<font color=green>// a {{---}} список, содержащий подмножества</font>
<font color=green>// used {{---}} список, в котором мы храним удаленные элементы</font>
fl = ''false''
'''for''' i = a.size - 1 '''downto''' 0
'''if''' (used.size != 0) '''and''' (max(used) > a[i][-1]) <font color=green>// в удалённых есть хотя бы один элемент, который мы можем добавить в конец.</font>
m = '''минимум из''' used '''строго больше''' a[i][-1]
a[i].add(m) <font color=green>//добавляем</font>
used.remove(m)
'''break'''
'''for''' j = a[i].size - 1 '''downto''' 0
'''if''' (used.size != 0) '''and''' (j != 0) '''and''' (max(used) > a[i][j]) <font color=green>//если можем заменить элемент, другим элементом из списка used и он не последний</font>
m = '''минимум из''' used '''строго больше''' a[i][-1]
a[i][j] = m <font color=green>//заменяем</font>
used.remove(m)
fl = ''true''
'''break'''
'''else'''
used.add(a[i][-1])
a[i].pop()
'''if''' a[i].size == 0
a.pop()
'''if''' fl
'''break'''
<font color=green>//далее выведем все удалённые, которые не выбрали</font>
sort(used)
'''for''' i = 0 '''to''' used.size - 1
a.add('''list<int>'''(used[i])) <font color=green>//добавляем лексикографически минимальных хвост</font>
'''return''' a
=== Пример работы ===
'''Рассмотрим следующее разбиение:'''
{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3
|-
|4||5||
|}
'''1 Шаг:'''
{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||
|-
|4||style="background:#FFCC00"|5||||
|-
| ||^|| ||Удалили элемент 5.
|-
| || || ||used
|}
'''2 Шаг:'''
{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||
|-
|style="background:#FFCC00"|4|| ||||
|-
|^|| || ||Удалили элемент 4. Так как он является последним в подмножестве, то мы не можем заменить его на другой.
|-
|5|| || ||used
|}
'''3 Шаг:'''
{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||style="background:#FFCC00"|4||
|-
| || || ||^||Дополнили первое подмножество элементом 4
|-
|5|| || || ||used
|}
'''4 Шаг:'''
{| class="wikitable" border = 1
|1||2||3||4||
|-
|style="background:#FFCC00"|5|| || || ||Дописали лексикографически минимальный хвост
|-
| || || || ||used
|}
