Изменения
Нет описания правки
==Числа Фибоначчи и золотое сечение==
[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%B5_%D1%81%D0%B5%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5| Золотое сечение] может быть выражено, с помощью чисел Фибоначчи: $$\Phi=\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{F_{n+1}/}{F_n}$$
==Формула БиннеБине==
Формула $Бине$ выражает в явном виде значение $F_{n}$ как функцию от $n$:
$F_n=\dfrac{\phi^n - (-\phi)^{-n}}{2\phi - 1}$,где $$\phi=\dfrac{\sqrt5 + 1}{2} - золотое\quad сечение$$
==ТоржестваТождества==* {{Теорема|statement=$\displaystyle\sum_{i=1}^{n} F_i=F_{n+2} - 1$|Hiden|proof===Доказательство===<p style="text-align:justify;">
Будем доказывать по индукции
'''База'''<br>
:$\displaystyle\sum_{i=1}^{n} F_i + F_{n+1}=F_{n + 1} + F_{n+2} -1$<br>
упрощая получается
:$\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1} F_i = F_{n+3} - 1$<br>ч.т.д}}</p> {{Теорема|statement=$\displaystyle F_{1}+F_{3}+F_{5}+\dots +F_{2n-1}=F_{2n}$|proof=}} {{Теорема|statement=$\displaystyle F_{2}+F_{4}+F_{6}+\dots +F_{2n}=F_{2n+1}-1$|proof=}} {{Теорема|statement=$\displaystyle\sum_{i=1}^{2n -1} F_i^2=F_{n}F_{n+1}$|proof=}} {{Теорема|statement=$F_n^2 + F_{n+1}^2=F_{2n+1}$|proof=}}
{{Теорема
|statement=$\displaystyle F_{2n}=F_{n+1}^{2}-F_{n-1}^{2}$
|proof=
}}
:Из этой формулы следует, что сумма биномиальный коэффициентов на диагонали<br>треугольника паскаля есть число Фибоначчи<br>
==Фибоначева Система Исчисления==
'''Фибоначчева Система исчесления'''- позиционная система исчесления для целых чисел на основе чисел Фибоначчи.===Представление натуральных чисел===Любое неотрицательное целое число $\displaystyle a$ можно единственным образом представить последовательностью битов $…ε_k…ε_4ε_3ε_2$ $\varepsilon _{k}\in \{0, в которой вес 1\}$nтак, что $-ного разряда равен \displaystyle a=\sum _{k}\varepsilon _{k}F_{k}$, причём последовательность $F_n{ε_k}$содержит лишь конечное число единиц, и не имеет пар соседних единиц::'''1010''' $\displaystyle \forall k\geq 2\colon (\varepsilon _{k}= 0*F_0 1)\Rightarrow (\varepsilon _{k+ 1*F_1 + }=0*F_2 + 1*F_3)$. За исключением последнего свойства, данное представление аналогично двоичной системе счисления.
{{Теорема
||statement=Любое натуральное число можно единственным образом представить в виде суммы одного или нескольких различных чисел Фибоначчи так, чтобы в этом представлении не оказалось двух соседних чисел из последовательности Фибоначчи.
|proof='''Докажем существование представления'''
:Можно доказать по индукции. Для $n$ = 1, 2, 3 утверждение очевидно верно (поскольку это числа Фибоначчи), для n = 4 имеем 4 = 3 + 1. Предположим, всякое натуральное $n ⩽ k$ имеет представление. Если $k + 1$ — число Фибоначчи, то утверждение доказано; если нет, то существует такое $j$, что $F_j < k + 1 < F_j + 1$. Рассмотрим $a = k + 1 − F_j$. Поскольку $a ⩽ k$, оно имеет представление (по предположению индукции). При этом $F_j + a < F_j + 1$, и поскольку $F_j + 1 = F_j + F_j − 1$ (по определению чисел Фибоначчи), $a < F_j − 1$, так что представление $a$ не содержит $F_j − 1$ . Таким образом, $k + 1$ может быть представлено в виде суммы $F_j$ и представления a<br>
'''Докажем воинственность единственность представления'''
:Вторая часть теоремы требует для доказательства следующую лемму:
