Изменения
→Формула Бине
Формула $Бине$ выражает в явном виде значение $F_{n}$ как функцию от $n$:
$F_n=\dfrac{\phi^n - (-\phi)^{-n}}{2\phi - 1}$,где <br>$\phi=\dfrac{\sqrt5 + 1}{2}$ - золотое сечение
===Доказательство===
:$\psi=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}=-\dfrac{1}{\phi}$
Докажем формулу по индукции. Для этого нужно доказать равенство $\phi^n - \psi^n + \phi^{n+1} - \psi^{n+1}= \psi^{n+2} - \phi^{n+2}$,
которое после преобразования превращается в $\phi^n(1 - \phi - \phi^2) = \psi^n(1 - \psi - \psi^2)$. Осталось заметить, что оба числа, $\phi$ и $\psi$, служат корнями многочлена $1 - a - a^2$, так что выражения в скобках в обеих частях равенства обращаются в ноль одновременно. Вот и доказан индуктивный переход. Что же касается базы индукции, то она совершенно очевидна при n=0 и n=1.
==Тождества==
