Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Алгоритм Ахо-Корасик

14 195 байт добавлено, 19 январь
Пример автомата Ахо-Корасик: Replace back to tex, to the same style as in the beginning of the article
== {{Задача алгоритма |definition ==Найти для каждого образца из заданного множества образцов все его вхождения Дан набор строк в текст за время алфавите размера <tex>O(m+n+a)k</tex>, где суммарной длины <tex>m</tex> - суммарная длина образцов, <tex>n</tex> - длина текста, <tex>a</tex> - размер ответа (количество пар). В худшем случае <tex>a=nk</tex>, но он случается редкоНеобходимо найти для каждой строки все ее вхождения в текст.}}
==Алгоритм===== Шаг 1 . Построение бора ===Строим бор из образцов. См. [[Бор|бор]]из строк.<br />Построение выполняется за время <tex>O(m)</tex>, где <tex>m</tex> {{--- }} суммарная длина образцовстрок.
==== Пример построенного бора ====Бор для набора образцов строк <tex> \{ \textbf{he}, \ \textbf{she}, \ \textbf{his}, \ \textbf{hers}\} </tex>:<br />[[Файл:Aho-corasick1Бор.jpg‎]]
=== Шаг 2 . Преобразование бора ===Превращаем бор Обозначим за <tex>[u]</tex> слово, приводящее в вершину <tex>u</tex> в автоматборе.<br />Узлы бора становятся состояниями можно понимать как состояния [[Детерминированные_конечные_автоматы | автомата; ]], а корень - как начальное состояние.<br />Узлы бора, в которых заканчиваются образцыстроки, становятся терминаламитерминальными.<br /><br />
Для переходов по автомату заведём в узлах несколько функций:<br />
1) *<tex>\mathrm{parent}(u)</tex> {{- --}} возвращает родителя вершины <tex>u</tex>;<br />2) *<tex>\pi(u) = \delta(\pi(\mathrm{parent}(u)), c)</tex> {{- --}} '''суффиксная ссылка; здесь ''', и существует переход из <tex>\mathrm{parent}(u)</tex> - сын в <tex>parent(u)</tex> по символу <tex>c</tex>;<br />3) *<tex>\delta(u, c) =
\begin{cases}
v, &\text{, if $v$ is son by symbol $c$ in trie;}\\ root, &\text{if $u$ is root and $u$ has no child by symbol $c$ in trie}\\ \delta(\pi(u), c), &\text{, else.} \end{cases}</tex> {{--- }} функция перехода.Мы можем понимать рёбра бора как переходы в автомате по соответствующей букве. Однако одними только рёбрами бора нельзя ограничиваться. Если мы пытаемся выполнить переход по какой-либо букве, а соответствующего ребра в боре нет, то мы тем не менее должны перейти в какое-то состояние. Для этого нам и нужны суффиксные ссылки.<br /><br />Суффиксная ссылка <tex>\pi(u) = v</tex>, если <tex>[v]</tex> {{--- }} максимальный суффикс <tex>[u]</tex>, <tex>[v]\neq[u]</tex>. ОбозначениеФункции перехода и суффиксные ссылки можно найти либо алгоритмом [[Обход в глубину, цвета вершин | обхода в глубину]] с ленивыми вычислениями, либо с помощью алгоритма [[Обход в ширину | обхода в ширину]]. Из определений выше можно заметить два следующих факта: * функция перехода определена через суффиксную ссылку, а суффиксная ссылка {{---}} через функию переходов;* для построения суффиксных ссылок небходимо знать информацию только выше по бору от текущей вершины до корня.Это позволяет реализовать функции поиска переходов по символу и суффиксных ссылок ленивым образом при помощи взаимной рекурсии. ==== Пример автомата Ахо-Корасик ====[[Файл:axo.jpg]]<br />Пунктиром обозначены суффиксные ссылки. Из вершин, для которых они не показаны, суффиксные ссылки идут в корень. Суффиксная ссылка для каждой вершины <tex>[u]</tex> - слово— это вершина, приводящее в вершину которой оканчивается наидлиннейший собственный суффикс строки, соответствующей вершине <tex>u</tex> . Единственный особый случай — корень бора: для удобства суффиксную ссылку из него проведём в себя же. Например, для вершины <tex>5</tex> с соответствующей ей строкой <tex>\textbf{she}</tex> максимальным подходящим суффиксом является строка <tex>\textbf{he}</tex>. Видим, что такая строка заканчивается в боревершине <tex>2</tex>.Следовательно суффиксной ссылкой вершины для <tex>5</tex> является вершина <tex>2<br /tex>. Функции перехода ===Шаг 3. Построение сжатых суффиксных ссылок ===При построении автомата может возникнуть такая ситуация, что ветвление есть не на каждом символе. Тогда можно маленький бамбук заменить одним ребром. Для этого и используются сжатые суффиксные ссылки можно найти либо алгоритмом обхода в глубину с ленивыми вычислениями, либо с помощью алгоритма обхода в ширину.
== Шаг 3 ==
Построение сжатых суффиксных ссылок.<br />
<tex>up(u) =
\begin{cases}
\pi(u), &\text{, if $\pi(u)$ is terminal;}\\ \emptysetvarnothing,&\text{, if $\pi(u)$ is root;}\\ up(\pi(u)), &\text{, else.} \end{cases}</tex>  где <tex>up</tex> {{--- }} сжатая суффиксная ссылка, т.е. ближайшее допускающее состояние (терминал) перехода по суффиксным ссылкам.<br /><br />Сжатые Аналогично обычным суффиксным ссылкам сжатые суффиксные ссылки могут отыскиваться быть найдены при помощи ленивой рекурсии.
== Использование автомата ==
Теперь нужно сказать немного слов о том, как мы будем использовать наш автомат. По очереди просматриваем символы текста. Для очередного символа <tex>c</tex> переходим из текущего состояния <tex>u</tex> в состояние, которое вернёт функция <tex>\delta(u, c)</tex>. Оказавшись в новом состоянии, отмечаем по сжатым суффиксным ссылкам образцыстроки, которые нам встретились и их позицию (если требуется). Если новое состояние является терминалом, то соответствующие ему образцы строки тоже отмечаем.<br /> == Пример реализации ==Ниже представлена реализация некоторых функций (используется ленивая рекурсия).<br /><tex>k</tex> {{---}} размер алфавита. '''Структура вершины:''' '''struct''' Node: '''Node''' son[k] <font color=green>// массив сыновей</font> '''Node''' go[k] <font color=green>// массив переходов (запоминаем переходы в ленивой рекурсии), используемый для вычисления суффиксных ссылок</font> '''Node''' parent <font color=green>// вершина родитель</font> '''Node''' suffLink <font color=green>// суффиксная ссылка (вычисляем в ленивой рекурсии)</font> '''Node''' up <font color=green>// сжатая суффиксная ссылка</font> '''char''' charToParent <font color=green>// символ, ведущий к родителю</font> '''bool''' isLeaf <font color=green>// флаг, является ли вершина терминалом</font> '''vector<int>''' leafPatternNumber <font color=green>// номера строк, за которые отвечает терминал</font> '''Функция для вычисления суффиксной ссылки:''' '''Node''' getSuffLink('''Node''' v): '''if''' v.suffLink == ''null'' <font color=green>// если суффиксная ссылка ещё не вычислена</font> '''if''' v == root '''or''' v.parent == root v.suffLink = root '''else''' v.suffLink = getLink(getSuffLink(v.parent), v.charToParent) '''return''' v.suffLink '''Функция для вычисления перехода:''' '''Node''' getLink('''Node''' v, '''char''' c): ''Примечание'if''' v.go[c] == ''null'' Если <font color=green>// если переход по символу c ещё не вычислен</font> '''if''' v.son[c] v.go[c] = v.son[c] '''else''' '''if''' v == root v.go[c] = root '''else''' v.go[c] = getLink(getSuffLink(v), c) '''return''' v.go[c] '''Функция для вычисления сжатой суффиксной ссылки:''' '''Node''' getUp('''Node''' v): '''if''' v.up == ''null'' <font color=green>// если сжатая суффиксная ссылка ещё не вычислена</font> '''if''' getSuffLink(v).isLeaf v.up = getSuffLink(v) '''else''' '''if''' getSuffLink(v) == root v.up = root '''else''' v.up = getUp(getSuffLink(v)) '''return''' v.up '''Функция для добавления строки в бор:''' '''fun''' addString('''string''' s, '''int''' patternNumber): '''Node''' cur = root '''for''' i = 0 '''to''' s.length - 1 '''char''' c = s[i] '''if''' cur.son[c] == 0 cur.son[c] = Node <font color=green>/* здесь также нужно обнулить указатели на переходы и сыновей */</font> cur.son[c].suffLink = 0 cur.son[c].up = 0 cur.son[c].parent = cur cur.son[c].charToParent = c cur.son[c].isLeaf = ''false'' cur = cur.son[c] cur.isLeaf = ''true'' cur.leafPatternNumber.pushBack(patternNumber)'''Функция для процессинга текста (поиск, встречается строка или нет):''' '''fun''' processText('''string''' t): '''Node''' cur = root '''for''' i = 0 '''to''' t.length - 1 '''char''' c = t[i] - 'a' cur = getLink(cur, c) <font color=green>/* В этом месте кода должен выполняться переход по '''сжатой''' суффиксной ссылке getUp(cur). Для вершины, обнаруженной по ней тоже ставим, что она найдена, затем повторяем для её сжатой суффиксной ссылки и так до корня. */</font>Кроме этих функций требуется найти инициализация, но она имеет отношение только к кодированию, поэтому здесь приведена не будет. == Оптимизации ==Существует несколько оптимизаций данного алгоритма, направленных на случаи, когда нас интересует только первое вхождение образца в текст, то существенно : # '''Сброс сжатых суффиксных ссылок для посещённых вершин.''' #: Существенно ускорить работу алгоритма могут пометки о посещённости узла, т.е. то есть если узел посещён, то не переходить по сжатым суффиксным ссылкам. Вместо хранения пометок можно просто сбрасывать сжатую суффиксную ссылку.# '''Сброс пометки терминальной вершины.''' #: В изначальном множестве образцов могут быть дублирующиеся строки. Мы можем хотеть из различать, если с одинаковыми строками связана разная мета-информация. Тогда при попадании в терминальную вершину можно осуществлять сброс пометки этой терминальной вершины, что сэкономит время на обновлении информации о вхождении образцов в текст. Тривиальным примером, в котором возникает ситуация долгой обработки, служит огромное множество образцов из одинаковых символов и текст только из этих символов. == Поиск шаблонов с масками == {{Задача|definition = Пусть <tex>\varphi</tex> {{---}} маска, обозначающая любой одиночный символ. Необходимо найти для каждого заданного шаблона с масками все его вхождения в текст.<BR>}}Например, шаблон <tex>ab\varphi\varphi c\varphi</tex>, который содержит в себе три маски, встречается на позициях <tex>2</tex> и <tex>7</tex> строки <tex>xabvccababcax</tex>.  === Алгоритм поиска === Для того чтобы найти все вхождения в текст заданного шаблона с масками <tex>Q</tex>, необходимо обнаружить вхождения в текст всех его безмасочных кусков.<BR>Пусть <tex>\{Q_1, \dots, Q_k \}</tex> {{---}} набор подстрок<tex>Q</tex>, разделенных масками, и пусть <tex>\{ l_1, \dots, l_k \}</tex> {{---}} их стартовые позиции в <tex>Q</tex>. Например, шаблон <tex>ab\varphi\varphi c\varphi</tex> содержит две подстроки без масок <tex>ab</tex> и <tex>c</tex> и их стартовые позиции соответственно <tex>1</tex> и <tex>5</tex>. Для алгоритма понадобится массив <tex>C</tex>. <tex>C[i]</tex> {{---}} количество встретившихся в тексте безмасочных подстрок шаблона, который начинается в тексте на позиции <tex>i</tex>. Тогда появление подстроки <tex>Q_i</tex> в тексте на позиции <tex>j</tex> будет означать возможное появление шаблона на позиции <tex>j - l_i + 1</tex>.<BR># Используя алгоритм Ахо-Корасик, находим безмасочные подстроки шаблона <tex>Q</tex>: когда находим <tex>Q_i</tex> в тексте <tex>T</tex> на позиции <tex>j</tex>, увеличиваем на единицу <tex>C[j - l_i + 1]</tex>.<BR># Каждое <tex>i</tex>, для которого <tex>C[i] = k</tex>, является стартовой позицией появления шаблона <tex>Q</tex> в тексте.<BR>Рассмотрим подстроку текста <tex>T[i \dots i+n-1]</tex>. Равенство <tex>C[i] = k</tex> будет означать, что подстроки текста <tex> T[i + l_1 \dots i + l_1 + |Q_1| - 1], T[i + l_2 \dots i + l_2 + |Q_2| - 1]</tex> и так далее будут равны соответственно безмасочным подстрокам шаблона <tex>\{Q_1, \dots , Q_k \}</tex>. Остальная часть шаблона является масками, поэтому шаблон входит в текст на позиции <tex>i</tex>.<BR>Поиск подстрок заданного шаблона с помощью алгоритма Ахо-Корасик выполняется за время <tex>O(m+n+a)</tex>, где <tex>n</tex> {{---}} суммарная длина подстрок, то есть длина шаблона, <tex>m</tex> {{---}} длина текста, <tex>a</tex> {{---}} количество появлений подстрок шаблона. Далее просто надо пробежаться по массиву <tex>C</tex> и просмотреть значения ячеек за время <tex>O (m)</tex>. ==См. также==* [[Алгоритм Бойера-Мура]]* [[Алгоритм Кнута-Морриса-Пратта]] == Источники информации ==*[http://e-maxx.ru/algo/aho_corasick MAXimal :: algo :: Алгоритм Ахо-Корасик]*[http://aho-corasick.narod.ru Сопоставление множеств и алгоритм Ахо-Корасик]*[http://codeforces.com/blog/entry/14854?locale=ru Codeforces :: Алгоритм Ахо-Корасик]*[https://habrahabr.ru/post/198682/ Habr :: Алгоритм Ахо-Корасик]*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_%D0%90%D1%85%D0%BE_%E2%80%94_%D0%9A%D0%BE%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%B8%D0%BA Wiki :: Алгоритм Ахо-Корасик] [[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]] [[Категория: Поиск подстроки в строке]][[Категория: Точный поиск]]
Анонимный участник

Навигация