Изменения

2) Если <tex> \max\limits_{S \in V}(odd(G \setminus S) - |S|) = k </tex>, тогда рассмотрим исходный граф <tex>G</tex> и полный граф <tex>K_k</tex> с <tex>k</tex> вершинами, множество вершин нового графа обозначим как <tex>W</tex>. Каждую вершину вспомогательного графа соединим с каждой вершиной <tex>G</tex>. Получим новый граф <tex>H \; = \; K_k + G</tex>, докажем, что для него выполнено условие Татта. Докажем, что <tex>\forall S \in V_{H}: odd(G \setminus S) -leq |S| </tex>. Рассмотрим S \from V_H.  Если в не <tex>W \in subset S</tex>, тогда посколько граф <tex>K_k</tex> полный, и все его вершины связаны с каждой вершиной графа <tex>G</tex>, то граф <tex>H</tex> связный и <tex>odd(G H \setminus S) = 0</tex> или <tex>odd(G \setminus S) = 1</tex>. В случае <tex>odd(G H \setminus S) = 0</tex> условие очевидно выполняется т.к <tex>\forall S \in G : 0 \; \leq \; |S|</tex>. Рассмотрим случай <tex>odd(G H \setminus S) = 1</tex>, <tex>|V_H| = n + k = n + odd(G \setminus A) - |A|</tex>, где <tex> A = arg \argmaxmax\limits_{S \in V}(odd(G H \setminus S) - |S|) </tex>. Разность <tex>odd(G \setminus A) - |A|</tex> имеет ту же четность, что и <tex>n</tex>, поэтому <tex>|V_H|</tex> четно, значит, по лемме мощность <tex>S</tex> нечетна, следовательно, она не равна нулю, значит <tex> 1 \leq |S| </tex>. Если <tex>W \subset S</tex>, то <tex>odd(H \setminus S) = odd(G \setminus (S \cap V)) \leq |S \cap V| + k \leq |S| </tex>