Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Участник:Nkorzh

9 байт убрано, 12 июнь
убрал пробелы перед запятой
Найдем обратные корни к <tex>t_i</tex>, то есть <tex>r_i = \dfrac{1}{t_i}</tex>.
Тогда имеем набор <tex>r_1, r_2, \,\dots\, , r_s</tex> обратных корней <tex>Q(t)</tex> с кратностью соответственно <tex>f_1, f_2, \,\dots\, , f_s</tex>:
# Существует единственный максимальный обратный корень: <tex>\exists i: \: \forall j \neq i \; |r_i| > |r_j|</tex>.<br/> Тогда <tex>r_i \in \mathbb{R}</tex>, в этом случае <tex>a_n \sim n^{f_i - 1} \cdot r_{i}^{n}</tex>.
# Существует несколько максимальных по модулю обратных корней:<br/> Найдем коэффициенты корней <tex>c_i</tex>, которые можно получить разложением <tex>A(t)</tex> на сумму простых дробей в вида <tex>\dfrac{c_i}{(1 - r_i t)^{f_i}}</tex>. <br/> Возьмем те обратные корни, кратность которых максимальна, тогда имеем <tex>r_1, r_2, \,\dots\, , r_l</tex>, у каждого из которых некоторая максимальность кратность <tex>f</tex>. Тогда <tex>\forall j \in 1 \,\dots\, l :\; r_j = z e^{i \phi_j}</tex>, где <tex>z</tex> — модуль каждого из корней. <br/>Значит <tex>\displaystyle a_n \sim n^{f - 1} \sum_{j = 1}^{l} {c_j \cdot r_j^n} = n^{f - 1} \sum_{j = 1}^{l} {c_j \cdot (z\cdot e^{i \phi_j})^{n}} = n^{f - 1} z^n \sum_{j = 1}^{l} {c_j \cdot e^{i \phi_j n}}</tex>, где <tex>c_j</tex> — коэффициенты, полученные при разбиении дробно-рациональной функции на простые дроби.
== Примеры задач ==
18
правок

Навигация