29
правок
Изменения
Перенос части про алгоритм Комлоса в отдельную статью из статьи про алгоритм Кинг
{{в разработке}}
'''Алгоритм Комло́са''' {{---}} алгоритм, разработанный Яношем Комлосом (''венг. Komlós János''). Алгоритм предназначен для поиска ребра с наибольшим весом на путях между каждой парой вершин в подвешенных деревьях. Поиск таких рёбер используется при верификации [[Лемма о безопасном ребре#Необходимые определения | минимального остовного дерева]] путем проверки [[Критерий Тарьяна минимальности остовного дерева|критерия Тарьяна]].
== Описание алгоритма ==
=== Случай полного ветвящегося дерева ===
==== Общее описание подхода ====
Рассмотрим полное ветвящееся дерево <math>T</math>, т.е. такое дерево, у вершин которого либо 0, либо 2 и более потомков, и все листья находятся на одном уровне. Для такого дерева Комлосом был показан вариант алгоритма, который находит ребро с максимальным весом на пути для каждой пары листьев, используя <math>O\left(n\log\left(\frac{m+n}{n}\right)\right)</math> операций сравнения. Алгоритм разбивает путь между листьями на две части, начинающихся в листе и заканчивающихся в наименьшем общем предке этих листьев, и находит ребро с наибольшим весом в каждой части. После чего, одно из двух рёбер с большим весом выбирается ребром с наибольшим весом на пути из одной вершины в другую.
Алгоритм вычисляет вес для каждой части пути следующим образом. Пусть <math>A(v, l)</math> {{---}} ребро максимального веса на пути из корня в некоторый лист <math>l</math>, проходящий через вершину <math>v</math>, ограниченном на отрезке <math>[v, l]</math> (т.е. удалены все вершины от корня до предка v). Обозначим <math>A(v) = \{A(v, l) | l \text{ содержится в поддереве с корнем } v\}</math>.
Предположим, что <math>s</math> {{---}} вершина-потомок <math>v</math>, и известно множество <math>A(s) = \{A(s, l_1), A(s, l_2),\dots\}</math>. Рассмотрим случай одного листа <math>l_i</math>. Очевидно, что все пути из корня в <math>l_i</math>, проходящие через <math>s</math>, также проходят через <math>v</math>. Так как ребро <math>\{v, s\}</math> связывает <math>v</math> и <math>s</math>, получим, что <math>A(v, l_i) = \arg\max\{w(A(s, l_i)), w(\{v, s\})\}</math>, где <math>w(e)</math> - вес ребра <math>e</math>. Следовательно, для того, чтобы найти <math>A(v)</math>, достаточно сравнить веса рёбер из <math>A(s)</math> с весом ребра <math>\{v, s\}</math>. Данное сравнение можно эффективно выполнить с помощью двоичного поиска. Итоговое множество <math>A(v)</math> получается путем объединением множеств рёбер, полученных для каждого потомка.
Комлос показал, что <math>\sum\limits_{v\in T} \log |A(v)| = O\left(|V_T|\log\left(\frac{|E_T|+|V_T|}{|V_T|}\right)\right)</math>, что дает верхнюю границу для количества операций сравнений, используемых алгоритмом.
==== Эффективная реализация при помощи битового сжатия ====
В работе Валери Кинг был предложен [[Алгоритм Кинг|метод сведения общего случая остовного дерева к полному ветвящемуся дереву]], а также предложена эффективная реализация алгоритма Комлоса с использованием битового сжатия<ref name="kingalg">King, V. A simpler minimum spanning tree verification algorithm. Algorithmica 18, 263–270 (1997). https://doi.org/10.1007/BF02526037</ref>. Описанные в работе структуры данных и битовые операции, которые возможно предвычислить и сохранить в таблице, обращение к которой занимает константное количество операций, позволяют выполнить алгоритм Комлоса за линейное время.
Обозначим за <math>T=(V, E)</math> полное ветвящееся дерево, полученное с помощью [[Алгоритм Кинг|алгоритма Кинг]]. Вершины в дереве нумеруются битовыми словами следующим образом:
# Каждый лист помечается порядковым номером 0, 1, 2... в двоичном представлении в порядке встречи листов при [[Обход_в_глубину,_цвета_вершин|обходе в глубину]].
# Каждый не-лист помечается номером своего потомка, содержащим наибольшее количество ведущих нулей.
Рёбра в дереве получают тег, который формируется следующим образом. Рассмотрим ребро <math>e = \{u, v\}</math>, где <math>v</math> находится дальше от корня. Пусть <math>d(v)</math> обозначает расстояние от вершины <math>v</math> до корня, а <math>i(v)</math> {{---}} номер младшей единицы в номере вершины <math>v</math>. Тогда тег ребра <math>e</math> {{---}} строка размера <math>\lceil\lg\lg |V|\rceil</math>, записанная как последовательность <math><d(v), i(v)></math>. В оригинальной работе было показано, что имея тег ребра и номер вершины, можно обнаружить ребро в графе за константное время.
Для каждой вершины <math>v</math> создается вектор длины <math>\lceil\lg|V|\rceil</math>, обозначаемый как <math>LCA(v)</math>, чей бит с номером i равен 1 тогда, когда существует путь из листа в поддереве с корнем <math>v</math> в лист в другом поддереве, наивысшая по уровню вершина которого (иначе говоря, наименьший общий предок двух листьев) находится на расстоянии <math>i</math> от <math>v</math>.
Далее, вершины делятся на два класса. Если <math>|A(v)|>\frac{\lceil\lg|V|\rceil}{\lceil\lg\lg |V|\rceil}</math>, то вершина <math>v</math> считается ''большой''; в противном случае вершина считается ''малой''. Для больших вершин создаются списки <math>bigList</math>, для малых {{---}} <math>smallList</math>. <math>BigList</math> содержит теги рёбер из <math>A(v)</math> в порядке неубывания длин путей из корня в листья, соответствующих рёбрам. Для хранения такого списка требуется <math>\frac{|A(v)|\lceil\lg\lg |V|\rceil}{\lceil\lg|V|\rceil}=O(\log\log |V|)</math> памяти.
Для малой вершины <math>v</math> обозначим за <math>a</math> ближайшего большого предка. Список <math>smallList</math> содержит либо теги рёбер из <math>A(v)</math>, либо, если ребро <math>e</math> из <math>A(v)</math> содержится в интервале от корня до <math>a</math>, указатель на <math>bigList</math> вершины <math>a</math>, содержащий тег для <math>e</math>. Для каждой малой вершины запоминается номер первого элемента в <math>smallList</math>, являющимся тегом. Элементы списка, идущие после первого тега, тоже являются тегами. Для хранения <math>smallList</math> требуется одно битовое слово.
==== Анализ сложности ====
Было показано, что в реализации с битовым сжатием операции для малых вершин выполняются за константное время. Если вершина большая, то стоимость предвычислений для неё составляет <math>|A(v)|\frac{\lceil\lg\lg |V|\rceil}{\lceil\lg|V|\rceil} = \Omega\left(\log |A(v)|\right)</math> операций. Следовательно, общая сложность предвычислений составляет <math>O(\log |A(v)|)</math> операций. Дополнительно алгоритм тратит <math>O(|V|+|E|)</math> операций для построения списков <math>LCA(v)</math>, <math>O(|V|)</math> операций для обработки таблиц с предвычисленными значениями и <math>O(|E|)</math> операций сравнения для нахождения ребра с максимальным весом из двух половин.
В завершении алгоритма, требуется сравнить веса рёбер графа, которые не входят в остовное дерево, с найденными в остовном дереве рёбрами наибольшего веса, что потребует дополнительных <math>O(m)</math> операций сравнения, где <math>m</math> {{---}} количество рёбер в исходном графе.
== Источники информации ==
* Komlós, J. Linear verification for spanning trees. Combinatorica 5, 57–65 (1985). https://doi.org/10.1007/BF02579443
== Примечания ==
<references/>
'''Алгоритм Комло́са''' {{---}} алгоритм, разработанный Яношем Комлосом (''венг. Komlós János''). Алгоритм предназначен для поиска ребра с наибольшим весом на путях между каждой парой вершин в подвешенных деревьях. Поиск таких рёбер используется при верификации [[Лемма о безопасном ребре#Необходимые определения | минимального остовного дерева]] путем проверки [[Критерий Тарьяна минимальности остовного дерева|критерия Тарьяна]].
== Описание алгоритма ==
=== Случай полного ветвящегося дерева ===
==== Общее описание подхода ====
Рассмотрим полное ветвящееся дерево <math>T</math>, т.е. такое дерево, у вершин которого либо 0, либо 2 и более потомков, и все листья находятся на одном уровне. Для такого дерева Комлосом был показан вариант алгоритма, который находит ребро с максимальным весом на пути для каждой пары листьев, используя <math>O\left(n\log\left(\frac{m+n}{n}\right)\right)</math> операций сравнения. Алгоритм разбивает путь между листьями на две части, начинающихся в листе и заканчивающихся в наименьшем общем предке этих листьев, и находит ребро с наибольшим весом в каждой части. После чего, одно из двух рёбер с большим весом выбирается ребром с наибольшим весом на пути из одной вершины в другую.
Алгоритм вычисляет вес для каждой части пути следующим образом. Пусть <math>A(v, l)</math> {{---}} ребро максимального веса на пути из корня в некоторый лист <math>l</math>, проходящий через вершину <math>v</math>, ограниченном на отрезке <math>[v, l]</math> (т.е. удалены все вершины от корня до предка v). Обозначим <math>A(v) = \{A(v, l) | l \text{ содержится в поддереве с корнем } v\}</math>.
Предположим, что <math>s</math> {{---}} вершина-потомок <math>v</math>, и известно множество <math>A(s) = \{A(s, l_1), A(s, l_2),\dots\}</math>. Рассмотрим случай одного листа <math>l_i</math>. Очевидно, что все пути из корня в <math>l_i</math>, проходящие через <math>s</math>, также проходят через <math>v</math>. Так как ребро <math>\{v, s\}</math> связывает <math>v</math> и <math>s</math>, получим, что <math>A(v, l_i) = \arg\max\{w(A(s, l_i)), w(\{v, s\})\}</math>, где <math>w(e)</math> - вес ребра <math>e</math>. Следовательно, для того, чтобы найти <math>A(v)</math>, достаточно сравнить веса рёбер из <math>A(s)</math> с весом ребра <math>\{v, s\}</math>. Данное сравнение можно эффективно выполнить с помощью двоичного поиска. Итоговое множество <math>A(v)</math> получается путем объединением множеств рёбер, полученных для каждого потомка.
Комлос показал, что <math>\sum\limits_{v\in T} \log |A(v)| = O\left(|V_T|\log\left(\frac{|E_T|+|V_T|}{|V_T|}\right)\right)</math>, что дает верхнюю границу для количества операций сравнений, используемых алгоритмом.
==== Эффективная реализация при помощи битового сжатия ====
В работе Валери Кинг был предложен [[Алгоритм Кинг|метод сведения общего случая остовного дерева к полному ветвящемуся дереву]], а также предложена эффективная реализация алгоритма Комлоса с использованием битового сжатия<ref name="kingalg">King, V. A simpler minimum spanning tree verification algorithm. Algorithmica 18, 263–270 (1997). https://doi.org/10.1007/BF02526037</ref>. Описанные в работе структуры данных и битовые операции, которые возможно предвычислить и сохранить в таблице, обращение к которой занимает константное количество операций, позволяют выполнить алгоритм Комлоса за линейное время.
Обозначим за <math>T=(V, E)</math> полное ветвящееся дерево, полученное с помощью [[Алгоритм Кинг|алгоритма Кинг]]. Вершины в дереве нумеруются битовыми словами следующим образом:
# Каждый лист помечается порядковым номером 0, 1, 2... в двоичном представлении в порядке встречи листов при [[Обход_в_глубину,_цвета_вершин|обходе в глубину]].
# Каждый не-лист помечается номером своего потомка, содержащим наибольшее количество ведущих нулей.
Рёбра в дереве получают тег, который формируется следующим образом. Рассмотрим ребро <math>e = \{u, v\}</math>, где <math>v</math> находится дальше от корня. Пусть <math>d(v)</math> обозначает расстояние от вершины <math>v</math> до корня, а <math>i(v)</math> {{---}} номер младшей единицы в номере вершины <math>v</math>. Тогда тег ребра <math>e</math> {{---}} строка размера <math>\lceil\lg\lg |V|\rceil</math>, записанная как последовательность <math><d(v), i(v)></math>. В оригинальной работе было показано, что имея тег ребра и номер вершины, можно обнаружить ребро в графе за константное время.
Для каждой вершины <math>v</math> создается вектор длины <math>\lceil\lg|V|\rceil</math>, обозначаемый как <math>LCA(v)</math>, чей бит с номером i равен 1 тогда, когда существует путь из листа в поддереве с корнем <math>v</math> в лист в другом поддереве, наивысшая по уровню вершина которого (иначе говоря, наименьший общий предок двух листьев) находится на расстоянии <math>i</math> от <math>v</math>.
Далее, вершины делятся на два класса. Если <math>|A(v)|>\frac{\lceil\lg|V|\rceil}{\lceil\lg\lg |V|\rceil}</math>, то вершина <math>v</math> считается ''большой''; в противном случае вершина считается ''малой''. Для больших вершин создаются списки <math>bigList</math>, для малых {{---}} <math>smallList</math>. <math>BigList</math> содержит теги рёбер из <math>A(v)</math> в порядке неубывания длин путей из корня в листья, соответствующих рёбрам. Для хранения такого списка требуется <math>\frac{|A(v)|\lceil\lg\lg |V|\rceil}{\lceil\lg|V|\rceil}=O(\log\log |V|)</math> памяти.
Для малой вершины <math>v</math> обозначим за <math>a</math> ближайшего большого предка. Список <math>smallList</math> содержит либо теги рёбер из <math>A(v)</math>, либо, если ребро <math>e</math> из <math>A(v)</math> содержится в интервале от корня до <math>a</math>, указатель на <math>bigList</math> вершины <math>a</math>, содержащий тег для <math>e</math>. Для каждой малой вершины запоминается номер первого элемента в <math>smallList</math>, являющимся тегом. Элементы списка, идущие после первого тега, тоже являются тегами. Для хранения <math>smallList</math> требуется одно битовое слово.
==== Анализ сложности ====
Было показано, что в реализации с битовым сжатием операции для малых вершин выполняются за константное время. Если вершина большая, то стоимость предвычислений для неё составляет <math>|A(v)|\frac{\lceil\lg\lg |V|\rceil}{\lceil\lg|V|\rceil} = \Omega\left(\log |A(v)|\right)</math> операций. Следовательно, общая сложность предвычислений составляет <math>O(\log |A(v)|)</math> операций. Дополнительно алгоритм тратит <math>O(|V|+|E|)</math> операций для построения списков <math>LCA(v)</math>, <math>O(|V|)</math> операций для обработки таблиц с предвычисленными значениями и <math>O(|E|)</math> операций сравнения для нахождения ребра с максимальным весом из двух половин.
В завершении алгоритма, требуется сравнить веса рёбер графа, которые не входят в остовное дерево, с найденными в остовном дереве рёбрами наибольшего веса, что потребует дополнительных <math>O(m)</math> операций сравнения, где <math>m</math> {{---}} количество рёбер в исходном графе.
== Источники информации ==
* Komlós, J. Linear verification for spanning trees. Combinatorica 5, 57–65 (1985). https://doi.org/10.1007/BF02579443
== Примечания ==
<references/>
