315
правок
Изменения
Нет описания правки
<tex>\forall x_0 \in \overline V x_{n+1}=Tx_n</tex>. Тогда <tex>\|x_{n+1}-x_n\|=\|Tx_n-Tx_{n-1}\|\le q \|x_n-x_{n-1}\|\le q^n \|x_1-x_0</tex><br>
<tex>x_1+\sum\limits_{k=1}^\infty (x_{k+1}-x_k),\sum\limits_{k=1}^\infty \|x_{k+1}-x_k\| \le \|x_1-x_0\|\sum\limits_{k=1}^\infty q^k, 0<q<1.</tex><br>
Последний ряд сходится и ряд из норм тоже сходится. По свойствам рядов определим <tex>S=x_1+\sum\limits_{k=1}^\infty (x_{k+1}-x_k)</tex>. <tex>S_n=x_{n+1}</tex>. Если <tex> S_n \to S</tex>, то <tex>x_n \to S</tex>. Но любое сжатие непрерывно. Это позволяет в <tex>x_{n+1}=Tx_n</tex> перейти к пределу — <tex>S=TS</tex>. Если <tex>Tx'=x', Tx''=x''</tex>, то составим норму их разности: <tex>\|x''-x'\|=\|Tx''-Tx'\| \le q\|x''-x'\|</tex> и при <tex>\|x''-x' \ne 0</tex> <tex>q \ge 1</tex> — противоречие. <tex>\|x''-x' \|= 0</tex>, следовательно, <tex>\|x''-=x'\|</tex><br>.
}}
2) <tex>\overline x \in V \subset \mathbb{R}^n, \overline y \in W \subset \mathbb{R}^m</tex>; <tex>V\times W=\{(\overline x, \overline y) \in \mathbb R^{n+m},\overline x \in V, \overline y \in W\}</tex>.<br><tex>f\colon V(\overline {x_0})\times W(\overline {y_0}) \to \mathbb{R}^m</tex>, <tex>f(x_0,y_0)=0^m</tex>. Существуют ли такие <tex>\delta_1,\delta_2>0</tex>, что <tex>\forall\overline x\in V_{\delta_1}(\overline{x_0})~\nexists\overline y\in W_{\delta_2}(\overline{y_0})\colon f(\overline x,\overline y)=0^m</tex>?<br>
Если это так, то в силу единственности y определяем <tex>\overline y = \phi(\overline x)</tex> на <tex>V_{\delta_1}(\overline{x_0})</tex> так, чтобы <tex>f(\overline x,\phi(\overline x))=0^m</tex>. <tex>\phi</tex> — неявное отображение, определяется <tex>f(\overline x,\overline y)=0^m,~(x_0,y_0)\colon f(\overline{x_0},\overline{y_0})=0^m</tex><br>
Пример, единичная окружность:<br>
<tex>x,y\in\mathbb{R},f(x,y)=x^2+y^2-1. f(x,y)=0\Longleftrightarrow x^2+y^2=1</tex><br>
В малых окрестностях начальных данных вертикаль, проведённая через <tex>x</tex>, будет давать соответствующий единственный <tex>y</tex>. Если решать задачу вне окрестности <tex>y_0</tex>, получится 2 <tex>y</tex>, теряется единственность <tex>y</tex>. Именно поэтому крайне важно указывать окрестности, в которых мы ищем отображения. <tex>y=\sqrt{1-x^2};y=\pm\sqrt{1-x^2}</tex>.<br>
Сейчас мы установим условия, при которых неявное отображение будет существовать:<br>
<tex>\overline x=f(\overline x,\overline y). \overline x \in \mathbb R^n;~y,z\in R^m. f_{\overline y}'</tex> — произвольное отображение <tex>f</tex>, при фиксированном <tex>x</tex> и варьирующемся <tex>y</tex>.
