1679
правок
Изменения
Нет описания правки
$ \forall \varepsilon > 0 : \exists N : \forall n > N , \forall x \in E : | \sum\limits_{m = n}^{\infty} f_m(x) | < \varepsilon $
Сопоставляем два определения, видим $ n m \leftrightarrow x $, $ x \leftrightarrow y $. Аналогия важна в том смысле, что доказательство свойств интеграла копирует доказательство соответствующих свойств функциональных рядов.
== Признак Вейерштрасса равномерной сходимости несобственных интегралов==
Интеграл g сходится, следовательно, по критерию Коши сходимости интегралов, $ \int\limits_A^B g(x) dx \xrightarrow[A, B \to + \infty]{} 0 \Rightarrow \int\limits_A^B f(x, y) dx \xrightarrow[A, B \to + \infty]{} 0 $, следовательно, для любого $ y $ - это сходящиеся интегралы. Это позволяет в неравенстве перейти к пределу при B, стремящемся к бесконечности:
$ \left| \int\limits_A^{\infty} f(x, y) dx \right| \le \int\limits_A^B {\infty} g(x) dx $
$ \forall \varepsilon > 0: \exists A_0: \forall A > A_0 \Rightarrow \int\limits_A^{\infty} g(x) dx < \varepsilon $, что возможно, так как $ \int g(x) dx $ - сходится.
Сопоставляя $ \left| \int\limits_A^{\infty} f(x, y) dx \right| < \varepsilon \ \forall y \int in [c; d] $, получаем что это и есть равномерная сходимость.
Базируясь на условии равномерной сходимости, те же три свойства что и для определенных интегралов.
