315
правок
Изменения
Нет описания правки
{{В разработке}}
1) Принцип сжатия Банаха<br>
Пусть <tex>X</tex> - B-пространство; пусть <tex>\overline V</tex> — замкнутый шар в <tex>X</tex>; <tex>T\colon\overline V \to\overline V</tex>. Оно называется сжатием на этом шаре, если <tex>\exists q \in (0;1); \forall x',x'' \in \overline V</tex>, такое, что <tex>\| Tx''-Tx' \| \le q \|x''-x'\|</tex>
{{Теорема
У любого сжимающего отображения существует неподвижная точка <tex>x^*=Tx^*.</tex>
|proof=
<tex>\forall x_0 \in \overline V x_{n+1}=Tx_n</tex>. Тогда <tex>\|x_{n+1}-x_n\|=\|Tx_n-Tx_{n-1}\|\le q \|x_n-x_{n-1}\|\le q^n \|x_1-x_0</tex><br> <tex>x_1+\sum\limits_{k=1}^\infty (x_{k+1}-x_k),\sum\limits_{k=1}^\infty \|x_{k+1}-x_k\| \le \|x_1-x_0\|\sum\limits_{k=1}^\infty q^k, 0<q<1.</tex><br>
Последний ряд сходится и ряд из норм тоже сходится. По свойствам рядов определим <tex>S=x_1+\sum\limits_{k=1}^\infty (x_{k+1}-x_k)</tex>. <tex>S_n=x_{n+1}</tex>. Если <tex> S_n \to S</tex>, то <tex>x_n \to S</tex>. Но любое сжатие непрерывно. Это позволяет в <tex>x_{n+1}=Tx_n</tex> перейти к пределу — <tex>S=TS</tex>. Если <tex>Tx'=x', Tx''=x''</tex>, то составим норму их разности: <tex>\|x''-x'\|=\|Tx''-Tx'\| \le q\|x''-x'\|</tex> и при <tex>\|x''-x' \ne 0</tex> <tex>q \ge 1</tex> — противоречие. <tex>\|x''-x' \|= 0</tex>, следовательно, <tex>x''=x'</tex>.
}}
2) <tex>\overline x \in V \subset \mathbb{R}^n, \overline y \in W \subset \mathbb{R}^m</tex>; <tex>V\times W=\{(\overline x, \overline y) \in \mathbb R^{n+m},\overline x \in V, \overline y \in W\}</tex>.<br> <tex>f\colon V(\overline {x_0})\times W(\overline {y_0}) \to \mathbb{R}^m</tex>, <tex>f(x_0,y_0)=0^m</tex>. Существуют ли такие <tex>\delta_1,\delta_2>0</tex>, что <tex>\forall\overline x\in V_{\delta_1}(\overline{x_0})~\nexists\overline y\in W_{\delta_2}(\overline{y_0})\colon f(\overline x,\overline y)=0^m</tex>?<br> Если это так, то в силу единственности y определяем <tex>\overline y = \phi(\overline x)</tex> на <tex>V_{\delta_1}(\overline{x_0})</tex> так, чтобы <tex>f(\overline x,\phi(\overline x))=0^m</tex>. <tex>\phi</tex> — неявное отображение, определяется как <tex>f(\overline x,\overline y)=0^m,~(x_0,y_0)\colon f(\overline{x_0},\overline{y_0})=0^m</tex><br><br> Пример, единичная окружность:<br> <tex>x,y\in\mathbb{R},f(x,y)=x^2+y^2-1.~f(x,y)=0\Longleftrightarrow x^2+y^2=1</tex><br> В малых окрестностях начальных данных вертикаль, проведённая через <tex>x</tex>, будет давать соответствующий единственный <tex>y</tex>. Если решать задачу вне окрестности <tex>y_0</tex>, получится 2 <tex>y</tex>, теряется единственность <tex>y</tex>. Именно поэтому крайне важно указывать окрестности, в которых мы ищем отображения. <tex>y=\sqrt{1-x^2};y=\pm\sqrt{1-x^2}</tex>.<br> Сейчас мы установим условия, при которых неявное отображение будет существовать:<br> <tex>\overline x=f(\overline x,\overline y).~\overline x \in \mathbb R^n;~y,z\in R^m.~f_{\overline y}'</tex> — произвольное отображение <tex>f</tex>, при фиксированном <tex>x</tex> и варьирующемся <tex>y</tex>.<br> <tex>f_{\overline y}'(\overline x,\overline y)</tex> (зависит и от <tex>\overline x</tex>, и от <tex>\overline y</tex>). Непрерывность <tex>f_{\overline y}'</tex>: производная — линейный оператор, поэтому непрерывность понимается в метрике линейного оператора:<br> <tex>\forall \varepsilon >0 \exists \delta > 0\colon~\|\overline{\mathcal{4}x}\|,\|\overline{\mathcal{4}y}\|<\delta\Rightarrow\|f_{\overline y}'(\overline x + \overline{\mathcal{4}x},\overline y + \overline{\mathcal{4}y})-f_{\overline y}'(\overline x,\overline y)\|<\varepsilon</tex><br> <tex>f_{\overline y}'(\overline x,\overline y)</tex> — матрица, размером <tex>m\times m</tex>. Оператор непрерывно обратим(???) в <tex>(\overline x,\overline y)\Longleftrightarrow</tex> у этой матрицы существует обратная (её детерминант не равен нулю).
{{Теорема
|about=
Пусть для <tex>f</tex> поставлена задача о неявном отображении, с начальными данными <tex>(x_0,y_0)</tex>. Известно, что в окрестности начальных данных<tex>f_{\overline y}'</tex> непрерывно зависит от <tex>\overline x,\overline y</tex>; и в <tex>(x_0,y_0)</tex> она непрерывно обратима. Тогда в некоторой окрестности начальных данных неявное отображение существует.
|proof=
Доказательство разбиваем на 2 этапа (и на экзамене они тоже будут спрашиваться по отдельности):<br> <b>1 этап:</b> <tex>\Gamma_0=(f_{\overline y}'(\overline{x_0},\overline{y_0}))^{-1},~f(\overline x, \overline y)=0^m</tex><br>
<tex>\overline y = \overline y - \Gamma_0 f(\overline x, \overline y)</tex>. Проверим равносильность: пусть <tex>f(\overline x, \overline y)=0</tex>. <tex>\Gamma_0 f(\overline x, \overline y)=\Gamma_0(0^m)=0,~\overline y = \overline y</tex> — верное в любом случае уравнение.
Пусть <tex>\overline y = \overline y - \Gamma_0 f(\overline x, \overline y)</tex>. Тогда <tex>\Gamma_0 f(\overline x, \overline y)=0^m. \Gamma_0=(f_{\overline y}'(\overline{x_0},\overline{y_0}))^{-1}</tex>, следовательно, <tex>det \Gamma_0 \ne 0</tex>, поэтому соответствующая однородная система уравнений будет иметь только тривиальные решения и <tex>f(\overline x, \overline y)=0^m</tex><br> <tex>T(\overline x, \overline y)=\overline y-\Gamma_0 f(\overline x, \overline y)</tex><br> <tex>\overline y =T(\overline x,\overline y)</tex>. Нам нужно решить задачу на неподвижную точку для отображения <tex>T</tex> по переменной <tex>\overline y</tex> для фиксированного <tex>\overline x</tex>. Решать мы будем, применяя принцип сжатия Банаха.<ref>Здесь у меня какая-то муть, пофиксьте, позязя.</ref> Существует ли (в определённых начальных данных) коэффициент сжатия?<br> <tex>T'=J-\Gamma_0f_y';~\Gamma_0f_y'(\overline{x_0},\overline{y_0})=J</tex>. Значит, <tex>T_{\overline y}'(\overline{x_0},\overline{y_0})=0</tex>. По условию <tex>f</tex> зависит от <tex>\overline x, \overline y</tex>, следовательно, <tex>T'</tex> таковой (???)— тоже. Тем самым, в определении непрерывности полагаем <tex>\varepsilon=\frac 12,\exists \delta>0\colon~\|\overline{\mathcal 4 x}\|,\|\overline{\mathcal 4 y}\| \le \delta \Rightarrow \| T_{\overline y}'(\overline{x_0}+\overline{\mathcal 4{x_0}},\overline{y_0}+\overline{\mathcal 4{y_0}})\| \le \frac 12</tex><br> <tex>V_{\delta}(\overline{x_0}),~W_{\delta}(\overline{y_0})</tex> такие, что <tex>T_{\overline y}'(\overline x, \overline y) \le \frac 12,~\forall \overline y',\overline y'' \in W_{\delta}(\overline{y_0}),~\forall\overline x\in V_{\delta}(\overline{x_0})</tex><br> По неравенству Лагранжа <tex>\|T(\overline x,\overline y'')-T(\overline x,\overline y')\| \le \sup\limits_{\overline z \in \{y',y''\}}\|T_{\overline y}'(\overline x,\overline z)\|\|\overline y''-\overline y'\|</tex>. Но по выбору шаров этот <tex>\sup \le \frac 12</tex> и, таким образом, в наших условиях <tex>\|T(\overline x,\overline y'')-T(\overline x,\overline y')\| \le \frac 12 \|\overline y''-\overline y'\|</tex>. <b>2 этап:<br/b> На первом этапе найден коэффициент сжатия: <tex>\frac 12</tex>. Если проверить для <tex>T</tex> условия теоремы Банаха по <tex>\overline y</tex> в пределах некоторых окрестностей начальных данных, то у <tex>T</tex> окажется единственная неподвижная точка, следовательно, она и будет значением неявного отображения и теорема будет доказана. <tex>\forall\overline x\in V_{\delta}(\overline{x_0}),~\forall \overline y, \in W_{\delta}(\overline{y_0})</tex>
<tex>\overline{y_0}=T(\overline{x_0},\overline{y_0})</tex> (<tex>x_0,y_0</tex> — начальные данные). Тогда:
<tex>\|T(\overline x,\overline y)-y_0\|=\|T(\overline x,\overline y)-T(\overline {x_0},\overline {y_0})\|\\=\|(T(\overline x,\overline y)-T(\overline x,\overline {y_0}))+(T(\overline x,\overline {y_0})-T(\overline {x_0},\overline {y_0}))\|\\\le\|T(\overline x,\overline y)-T(\overline x,\overline {y_0})\|+\|T(\overline x,\overline {y_0})-T(\overline {x_0},\overline {y_0})\|\le\frac 12 \|\overline y-\overline{y_0}\|+\|T(\overline x,\overline {y_0})-T(\overline {x_0},\overline {y_0})\|</tex><br> По непрерывности <tex>T</tex> вторая норма разности <tex>\xrightarrow{\overline x \to \overline {x_0}}0</tex>. Полагая в определении непрерывности <tex>\varepsilon=\frac{\delta}2</tex> (<tex>\delta</tex> у нас уже было выбрано), подбираем <tex>\delta':0<\delta'<\delta</tex>, так, чтобы <tex>\|\overline x - \overline{x_0}\|\le\delta' \Rightarrow \|T(\overline x,\overline{y_0})-T(\overline {x_0},\overline{y_0})\|\le\frac{\delta}2</tex>. <tex>\delta'</tex> не зависит от <tex>y</tex>!<br> <tex>\overline x\in V_{\delta'}(\overline{x_0}),~\forall \overline y, \in W_{\delta}(\overline{y_0}): \|T(x,y)-y_0\|\le\frac 12\|y-\overline{y_0}\|+\frac 12\delta\le\frac 12\delta+\frac 12\delta=\delta:T(x,y)\in W_{\delta}(\overline{y_0})</tex><br>
<tex>\forall\overline x\in V_{\delta}(\overline{x_0}),~\forall \overline y, \in W_{\delta}(\overline{y_0}).~T(\overline x,\cdot)\colon W_{\delta}(\overline{y_0})\to W_{\delta}(\overline{y_0})</tex> является сжатием с <tex>q=\frac 12</tex>, по теореме Банаха <tex>\exists y^*\in W_{\delta}(\overline{y_0}):\overline y^*=T(\overline x,\overline y^*)\Longleftrightarrow f(\overline x,\overline y^*)=0^m</tex>. В силу единственности такой точки неявное отображение определено. Пыщь-пыщь, щастье-радость!
}}
g(x,y,\alpha)=0 \end{cases};</tex> отсюда — если существуют <tex>(x_0,y_0,\alpha_0)</tex>, такие, что <tex>\begin{cases} f(x_0,y_0,\alpha_0)=0\\
g(x_0,y_0,\alpha_0)=0 \end{cases};</tex> — верно и <tex>\begin{vmatrix} \frac{\delta f}{\delta x}(x_0,y_0,\alpha_0) & \frac{\delta f}{\delta y}(x_0,y_0,\alpha_0) \\ \frac{\delta g}{\delta x}(x_0,y_0,\alpha_0) & \frac{\delta g}{\delta y}(x_0,y_0,\alpha_0)\end{vmatrix}\ne 0</tex>, а сами функции <tex>f</tex> и <tex>g</tex> — непрерывны, то тогда, по доказательству теоремы, можно утверждать, что «возмущённая система уравнений»: <tex>\begin{cases} f(x_0,y_0,\alpha_0+\mathcal 4 \alpha)=0\\
g(x_0,y_0,\alpha_0+\mathcal 4 \alpha)=0 \end{cases};</tex> при некоторых <tex>\delta > 0, |\mathcal 4 \alpha|,|x-x_0|,|y-y_0|<0</tex>, <tex>\forall\alpha</tex> будет иметь единственное решение по переменным <tex>\overline x,\overline y</tex>. Выяснить этот факт для конкретной системы некоторым прямым методом, как правило, невозможно.<br>
<u>Важное следствие</u>: Пусть <tex>\exists T\colon\mathbb R^n \to\mathbb R^n ; det(T'(\overline {x_0}))\ne 0</tex>. Тогда это отображение в окрестности этой точки локально обратимо.
<tex>\vartriangleright\overline y = T(\overline x),\overline {y_0} = T(\overline {x_0})</tex>. Чтобы обратить <tex>T</tex>, надо в первом равенстве полагать <tex>x</tex> неизвестным, а <tex>y</tex>А здесь когда— заданным. Решение такого уравнения будет (всё в некоторых окрестностях начальных данных). <tex>f(\overline x, \overline y)=\overline y -тоT(\overline x), возможноf(\overline x, когда\overline y)=0^n</tex> <tex>T^{-то будет доказательство1}</tex> — неявное отображение. Локальная обратимость <tex>T</tex> определена непрерывностью <tex>T</tex>, непрерывностью соответствующих частных производных и тем фактом, что <tex>f'_{\overline x}(\overline x,\overline y)</tex>=-T'(x)<tex>\vartriangleleft</tex>
<references/>
