689
правок
Изменения
допилил теорему Фробениуса
<tex> |f(t) - S| \le |\sum\limits_{j=0}^N (S_j - S)(t^j-t^{j+1})| + \sum\limits_{j=N+1}^{\infty} |S_j - S|(t^j-t^{j+1}) </tex>
<tex> |S_j - S| \le \varepsilon \Rightarrow \sum\limits_{j=N+1}^{\infty} |S_j - S|(t^j-t^{j+1}) \le \varepsilon </tex>
Теперь, если <tex> t </tex> достаточно близко к 1, и, поскольку <tex> N </tex> не зависит от <tex> t </tex>, первое слагаемое можно сделать сколь угодно малым, пусть оно меньше <tex> \varepsilon </tex>.
Докажем теперь, что он сходится к <tex> S </tex> при <tex> t \rightarrow 1-0</tex>. Для этого еще раз применим преобразование Абеля:
<tex> \sum\limits_{k = 0}^{\infty} S_k(t^k-t^{k+1}) = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} ((k+1)\sigma_k - k\sigma_{k-1})(t^k-t^{k+1}) = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} (k+1)\sigma_k(t^k-t^{k+1}) - </tex>
<tex> - \sum\limits_{k = 0}^{\infty} k\sigma_{k-1}(t^k-t^{k+1}) = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} (k+1)\sigma_k(t^k-t^{k+1}) - \sum\limits_{k = -1}^{\infty} (k+1)\sigma_k(t^{k+1}-t^{k+2}) = </tex>
<tex> = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} (k+1)\sigma_k(t^{k}-2t^{k+1}+t^{k+2}) </tex>.
Воспользуемся методом производящих функций:
Рассмотрим ряд <tex> \sum\limits_{k = 0}^{\infty} (k+1)(t^{k}-2t^{k+1}+t^{k+2}) = (1-t)^2 \sum \limits_{k=0}^{infty} (k+1)t^k </tex>.
Пусть <tex> \sum \limits_{k=0}^{n} (k+1)t^k = g_n(t) </tex>, тогда <tex> \int\limits_0^t g_n(x)dx = \sum \limits_{k=0}^{n} \int\limits_0^t (k+1)x^kdx = \sum \limits_{k=0}^{n} t^{k+1} = t\frac{1-t^{n+1}}{1-t}</tex>.
<tex> g_n(t) = (t\frac{1-t^{n+1}}{1-t})' = \frac {(1-(n+2)t^{n+1})(1-t)+t-t^{n+2}}{(1-t)^2} \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{} \frac 1{(1-t)^2}</tex>.
Тогда <tex> \sum\limits_{k = 0}^{\infty} (k+1)(t^{k}-2t^{k+1}+t^{k+2}) = 1\ \forall t</tex>.
Домножим обе части на <tex> S </tex>, получим
<tex> \sum\limits_{k = 0}^{\infty} (k+1)S(t^{k}-2t^{k+1}+t^{k+2}) = S </tex>.
Между тем, мы хотим доказать, что <tex> \sum\limits_{k = 0}^{\infty} (k+1)\sigma_k(t^{k}-2t^{k+1}+t^{k+2}) = F(t) </tex> сходится к <tex> S </tex>.
Рассмотрим разность этих рядов: <tex> F(t) - S = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} (k+1)(\sigma_k - S)t^{k}(1-t)^2 </tex>;
<tex> \sigma_k \rightarrow S, \forall \varepsilon > 0\ \exists N: \forall k > N: |\sigma_k - S| \le \varepsilon </tex>
<tex> |F(t) - S| = \sum \limits_{k=0}^{\infty} |\sigma_k - S|(k+1)t^{k}(1-t)^2 = </tex>
<tex> = \sum \limits_{k=0}^{N} |\sigma_k - S|(k+1)t^{k}(1-t)^2 + \sum \limits_{k=N}^{\infty} |\sigma_k - S|(k+1)t^{k}(1-t)^2 \le </tex>
<tex> \le \sum \limits_{k=0}^{N} |\sigma_k - S|(k+1)t^{k}(1-t)^2 + \varepsilon(1-t)^2 \sum \limits_{k=0}^{\infty} (k+1)t^{k}</tex>.
Здесь сумма во втором слагаемом равна, как мы ранее доказали, <tex> \frac 1{(1-t)^{2}} </tex>, значит, все второе слагаемое равно <tex> \varepsilon </tex>.
Первое слагаемое стремится к нулю при <tex> t \rightarrow 1 </tex>, поэтому можно подобрать такое <tex> \varepsilon </tex>, что <tex> |F(t) - S| \le 2\varepsilon </tex>, значит, сумма ряда по методу Абеля равна сумме по методу средних арифметических. Теорема доказана.
}}
== Теорема Харди ==
Здесь не помешало бы разместить общую информацию о тауберовых теоремах.
{{Теорема
|author=Харди
|statement=
<tex>\sum\limits_{k = 0}^\infty a_k = S</tex>(с.а.)
Тогда , если существует такое <tex>\exists M > 0 : \forall n = 1, 2\ldots :</tex> , что <tex>\forall n \in \mathbb N: \sum\limits_{k = n + 1}^\infty a_k^2 \leq \frac{M}n \Rightarrow </tex>, то <tex> \sum\limits_{k=0}^\infty a_k = S</tex>.
|proof=
Введём важные суммы {{---}} ''запаздывающие арифметические средние числового ряда''.
