42
правки
Изменения
м
→Пункт 3. Коммутируемость суммы и дифференциирования.
числа слагаемых, поэтому по арифметике пределов :
<tex>\lim \limits_{x \to a} S_{n_0}(x) = S_{n_0}</tex>. Значит, для уже существующего
<tex>\varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 : 0 < |x - xa| < \delta \Rightarrow |S_{n_0}(x) - S_{n_0}| < \varepsilon</tex>. Финально получаем :
<tex>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 : 0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - A| < 3\varepsilon</tex>.
Поэтому по определению предела все установлено.
<tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0 :
\operatorname{rang} \tau < \delta \Rightarrow w(f_{n_0} , \tau) < \varepsilon) \Rightarrow w(f, \tau) < (1 + 2(b - a))\varepsilon</tex>. Здесь
<tex>\varepsilon</tex> - произвольно, отсюда <tex>w(f, \tau) \to 0</tex> при <tex> \operatorname{rang} \tau \to 0</tex>.
}}
==Пункт 3. Коммутируемость суммы и дифференциированиядифференцирования. ==
Здесь будут установлены условия, при которых можно записать : <tex>(\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n(x))' = \sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n'(x)</tex>
{{Теорема
|statement=
Пусть на <tex> (\langle a, b) \rangle </tex> задан функциональный ряд <tex>\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n</tex>, <tex>\exists c \in \langle a, b \rangle, \sum\limits_{n = 1}^{\infty}f_n(c)</tex> - сходится.
Пусть также <tex>\exists f_n'</tex> - непрерывна на <tex>\langle a, b \rangle</tex> и
<tex>\sum\limits_{n = 1}^{\infty} f_n'</tex> - равномерно сходится на <tex>\langle a, b\rangle</tex>, тогда на <tex>\langle a, b \rangle</tex> выполняется :
