Изменения

Перейти к: навигация, поиск
Нет описания правки
=== Вопрос №1. Суммирование расходящихся рядов методом средних арифметических===
{{Определение
|definition=
}}
=== Вопрос №2. Суммирование расходящихся рядов методом Абеля===
{{Определение
|definition=
}}
=== Вопрос №3. Теорема Фробениуса===
{{Теорема
|author=
}}
=== Вопрос №4. Тауберова теорема Харди===
{{Теорема
|author=
}}
=== Вопрос №5. Равномерная сходимость функционального ряда. Критерий Коши===
{{Определение
|definition=
}}
=== Вопрос №6. Признак Вейерштрасса===
{{Теорема
|author=Вейерштрасс
}}
=== Вопрос №7. Признак типа Абеля-Дирихле===
{{Теорема
}}
=== Вопрос №8. Предельный переход под знаком функционального ряда===
{{Теорема
|statement=
}}
=== Вопрос №9. Условия почленного интегрирования функционального ряда===
{{Теорема
|statement=
}}
=== Вопрос №10. Условия почленного дифференцирования функционального ряда===
{{Теорема
|statement=
}}
=== Вопрос №11. Лемма Абеля===
{{Лемма
|author=Абель
}}
=== Вопрос №12. Теорема о радиусе сходимости===
{{Определение
|definition=
}}
=== Вопрос №13. Вычисление радиуса сходимости===
{{Теорема
|statement=
}}
=== Вопрос №14. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов===
Вопрос: "Каковы будут радиусы сходимости почленно проинтегрированных или продифференцированных рядов?"
}}
=== Вопрос №15. Степенной ряд, как ряд Тейлора своей суммы===
<wikitex>
Пусть $ f(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n, \qquad R > 0 \qquad (x_0 - R; x_0 + R) $.
</wikitex>
=== Вопрос №16. Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора===
Для того, чтобы функция была разложима в ряд Тейлора, достаточно чтобы <tex> r_n \xrightarrow[n \to \infty]{} 0 </tex>
=== Вопрос №17. Разложение в степенной ряд показательной и логарифмической функций ===
<wikitex>
$e^x \stackrel{def}{=} \sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} $
</wikitex>
=== Вопрос №18. Разложение в степенной ряд тригонометрических функций ===
<wikitex>
$\sin(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} {(-1)}^n \frac{x^{2n + 1}}{(2n + 1)!}$
$\cos(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} {(-1)}^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$
</wikitex>
=== Вопрос №19. Биномиальный ряд Ньютона ===
<wikitex>
$ (1 + x)^{\alpha} = \sum\limits_{k = 1}^{\infty} \left[ \frac{\alpha (\alpha - 1) \dots (\alpha - k + 1)}{k!} x^k \right] + 1, \alpha \in \mathbb{R} $
</wikitex>
=== Вопрос №20. Формула Стирлинга ===
<wikitex>
$ n! = \sqrt{2 \pi n} {\left ( \frac ne \right )}^n e^{\frac{\theta_n}{12n}} $
</wikitex>
=== Вопрос №21. Нормированное пространство: арифметика предела===
{{Утверждение
|statement=
}}
=== Вопрос №22. Ряды в банаховых пространствах===
{{Определение
|definition=
<tex>\left \| \sum\limits_{k = 1}^\infty x_k \right \| \le \sum\limits_{k = 1}^\infty \| x_k \|</tex>
=== Вопрос №23. Унитарные пространства, неравенство Шварца===
{{Определение
|definition=
}}
=== Вопрос №24. Гильбертовы пространства, экстремальное свойство ортонормированных систем===
Среди нормированных пространств выделяется подкласс так называемых гильбертовых пространств.
Экстремальное свойства ряда Фурье заключается в следующем: <tex>\sum \limits_{k=1}^{\infty} (x, l_k)^2</tex> располагается ближе всего к <tex>\|x\|^2</tex>, если <tex>l_k</tex> — ряд Фурье <tex>x</tex>.
=== Вопрос №25. Ортогональные ряды в гильбертовых пространствах.===
{{Определение
|definition=
}}
=== Вопрос №26. Принцип сжатия Банаха===
{{Определение
|definition=
}}
=== Вопрос №27. Линейные операторы в НП: непрерывность и ограниченность===
{{Определение
|definition=
}}
=== Вопрос №28. Норма линейного оператора===
{{Определение
|definition=
}}
=== Вопрос №29. Линейные функционалы в унитарном пространстве, разделение точек===
{{Определение
|definition=
}}
=== Вопрос №30. Пространство R^n : покоординатная сходимость===
{{Утверждение
|about=
}}
=== Вопрос №31. Полнота R^n===
{{Теорема
|statement=
}}
=== Вопрос №32. Критерий компактности в R^n===
{{Теорема
}}
=== Ворпос №33. Непрерывные отображения в R^n: координатные функции, непрерывность линейных операторов===
{{Определение
|definition=
}}
=== Вопрос №34. Дифференциал отображения и частные производные, дифференцируемость суперпозиции===
{{Определение
|definition=
}}
=== Вопрос №35. Формула конечных приращений для функции многих переменных===
<tex>\mathcal{F}_i(\overline{a}) - \mathcal{F}_i(\overline{b}) = \mathcal{F}'_i(\theta_i\overline{a}+(1-\theta_i)\overline{b})(\overline{a}-\overline{b})</tex>
=== Вопрос №36. Неравенство Лагранжа===
{{Теорема
|author=
}}
=== Вопрос №37. Достаточное условие дифференцируемости функции многих переменных===
{{Теорема
|statement=
}}
=== Вопрос №38. Дифференциалы высших порядков, теорема о смешанных производных===
Определим частные производные и дифференциалы высших порядков.
}}
=== Вопрос №39. Формула Тейлора для функции многих переменных===
<tex>f(\overline a+t\Delta \overline a)-f(\overline a)=\sum \limits_{k=1}^n \frac {d^{k}f(\overline a)}{k!}+\frac {d^{n+1}f(\overline a+\theta\Delta \overline a)}{(n+1)!}</tex>
=== Вопрос №40. Безусловный экстремум: необходимое и достаточное условия===
{{Определение
|definition=
}}
=== Вопрос №41. Локальная теорема о неявном отображении===
{{Теорема
|about=
}}
=== Вопрос №42. Исследование функции многих переменных на условный экстремум===
<tex>z=f(\overline x, \overline y),~\overline x=(x_1,\dots x_n),~\overline y=(y_1,\dots y_m)</tex>. Пусть заданы «уравнения связи» в количестве m:
<tex>(\overline{x_0},\overline{y_0})</tex> — '''условный максимум''' функции <tex>f</tex>, если для всех <tex>\overline x \approx \overline{x_0},~\overline y \approx \overline{y_0}</tex> и <tex>(\overline x,\overline y)</tex>, удовлетворяющих уравнениям связи, выполняется неравенство <tex>f(\overline x,\overline y)\le f(\overline {x_0},\overline {y_0})</tex>. Если же <tex>f(\overline x,\overline y)\ge f(\overline {x_0},\overline {y_0}),~(\overline{x_0},\overline{y_0})</tex> — '''условный минимум'''.
=== Вопрос №43. Определенный интеграл, зависящий от параметра: непрерывность, интегрирование и дифференцирование===
<wikitex>
Рассматриваем $ z = f(x, y) $, заданную на прямоугольнике $ a \le x \le b; \quad c \le y \le d $.
</wikitex>
=== Вопрос №44. Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра, признак Вейерштрасса===
<wikitex>
Если выполняется следующее условие: $ f $ непрерывна, $ \forall \varepsilon > 0 : \exists A_0 : \forall A > A_0 , \forall y_0 \in [c; d] \Rightarrow | \int\limits_A^{\infty} f(x, y_0) dx | < \varepsilon $, то $ F(y) = \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx $ равномерно сходится на $ [c; d] $.
|author=
Вейерштрасс
|about=
Признак равномерной сходимости несобственных интегралов
|statement=
Пусть $ |f(x, y) | \le g(x)\ \forall x \ge a, \forall y \in [c; d] $.
 
Пусть $ \int\limits_a^{\infty} g(x) dx $ - сходится. Тогда соответствующий интеграл равномерно сходится на $ [c; d] $.
}}
</wikitex>
 
== Вопрос №45. Несобственный интеграл, зависящий от параметра: непрерывность==
<wikitex>
$ F(y) = \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx \stackrel{?}{\Rightarrow} \Delta F(y) \xrightarrow[\Delta y \to 0]{} 0 $
</wikitex>
 
== Вопрос №46. Несобственный интеграл, зависящий от параметра: интегрирование==
<wikitex>
$ \int\limits_c^d dy \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx = \int\limits_a^{\infty} dx \int\limits_c^d f(x,y) dy $
</wikitex>
 
== Вопрос №47. Несобственный интеграл, зависящий от параметра: дифференцирование==
<wikitex>
$ \int\limits_a^{\infty} \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx = \left( \int\limits_c^{y} g(t) dt \right)' = \left( \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx \right)' $
</wikitex>
 
== Вопрос №48. Понятие о Гамма и Бета функциях Эйлера==
<wikitex>
$ B (a, b) = \int\limits_0^1 x^{a - 1} (1 - x)^{b - 1} dx $
 
$ \Gamma (a) = \int\limits_0^{\infty} x^{a - 1} e^{-x} dx $
 
В обоих случаях: интегралы, зависящие от параметра.
 
Легко понять, что $ B (a, b) $ Сходится при $ a, b > 0 $; $ \Gamma(a) $ сходится при $ a > 0 $.
</wikitex>
 
== Вопрос №49. Интеграл Римана по прямоугольнику: критерий существования==
<tex>(\bar{x_i}, \bar{y_i}) \in \Pi_{ij}</tex>
 
<tex>\sigma(f, \tau) = \sum\limits_{i= 0}^{n - 1} \sum\limits_{j = 0}^{m - 1} f(\bar{x_i}, \bar{y_j}) \delta x_i \delta y_j</tex>
 
<tex>|\Pi_{ij}| = \delta x_i \delta y_j</tex>
 
{{Определение
|definition=
Двойной интеграл <tex>\iint\limits_\Pi f = \iint\limits_\Pi f(x, y) dx dy = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma(f, \tau)</tex>
}}
 
<tex>\underline{s}(f, \tau) = \sum\limits_{i, j} m_{ij} \delta x_i \delta y_j</tex>,
 
<tex>\overline{s}(f, \tau) = \sum\limits_{i, j} M_{ij} \delta x_i \delta y_j</tex>
 
если <tex>f</tex> {{---}} непрерывна на <tex> \Pi </tex>, то существует <tex>\iint\limits_\Pi f</tex>(достаточное условие интегрируемости).
 
== Вопрос №50. Аддитивность интеграла по прямоугольнику==
Если <tex>\Pi</tex> разбито на конечное число прямоугольников <tex>p</tex>, и они не имеют общих внутренних точек, то:
* <tex>\exists \iint\limits_\Pi f \iff \forall m \in \mathbb N : m \leq p \ \exists \iint\limits_{\Pi_m} f</tex>
* <tex>\iint\limits_\Pi f = \sum\limits_{m = 1}^p \, \iint\limits_{\Pi_m} f</tex>
 
== Вопрос №51. Формула повторного интегрирования для прямоугольника==
А ВАС ЭТО НЕ СПРОСЯТ
 
== Вопрос №52. Критерий квадрируемости фигуры по Жордану==
{{Определение
|definition=
<tex>E \subset \mathbb{R}^2</tex> '''квадрируема по Жордану''', если существует <tex>\iint\limits_E 1</tex>. Значение этого интеграла называется 'площадью фигуры'.
}}
 
== Вопрос №53. Условие существования интеграла по квадрируемому компакту==
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>E</tex> {{---}} квадрируемый компакт на плоскости, <tex>f</tex> непрерывна на <tex>E</tex>. Тогда существует <tex>\iint\limits_E f</tex>.
}}
 
== Вопрос №54. Формула повторного интегрирования в общем случае==
А ВАС ЭТО НЕ СПРОСЯТ
 
== Вопрос №55. Вычисление площади фигуры в криволинейных координатах==
<tex>\int \int dx dy = \int \int | J(u, v) | du dv </tex>
 
== Вопрос №56. Замена переменных интегрирования в двойном интеграле==
<tex>\mathcal{J}(u_1, \ldots, u_n) = \left|\begin{array}{ccc}\frac{\partial x_1}{\partial u_1} & \cdots & \frac{\partial x_1}{\partial u_n} \\\vdots & \ddots & \vdots \\\frac{\partial x_n}{\partial u_1} & \cdots & \frac{\partial x_n}{\partial u_n} \\\end{array}\right| \ne 0</tex>
 
<tex>\int\limits_E f(\bar x) d \bar x = \int\limits_{E'} f(\bar x(\bar u)) |\mathcal{J}(\bar u)| d \bar u</tex>
 
== Вопрос №57. Обзор формул для многократных интегралов==
Анонимный участник

Навигация