Редактирование: Случайные графы

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 9: Строка 9:
 
}}
 
}}
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition= Свойство <tex>A</tex> '''асимптотически почти наверное истинно''', если <tex>\lim\limits_{n \rightarrow \infty} p(n) = 1</tex>, где <tex>p(n)</tex> {{---}} вероятность графа <tex>G(n, p)</tex> обладать этим свойством.
+
|definition= Свойство <tex>A</tex> графа <tex>G(n, p(n))</tex> '''асимптотически почти наверное истинно''', если <tex>\lim\limits_{n \rightarrow \infty} p(n) = 1</tex>
 
}}
 
}}
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition= Свойство <tex>A</tex> '''асимптотически почти наверное ложно''', если <tex>\lim\limits_{n \rightarrow \infty} p(n) = 0</tex>, где <tex>p(n)</tex> {{---}} вероятность графа <tex>G(n, p)</tex> обладать этим свойством.
+
|definition= Свойство <tex>A</tex> графа <tex>G(n, p(n))</tex> '''асимптотически почти наверное ложно''', если <tex>\lim\limits_{n \rightarrow \infty} p(n) = 0</tex>
 
}}
 
}}
  
Строка 62: Строка 62:
 
<tex>X_i = \sum\limits_{a_1,a_2, \dots , a_i} X_{a_1,a_2, \dots , a_i}</tex>
 
<tex>X_i = \sum\limits_{a_1,a_2, \dots , a_i} X_{a_1,a_2, \dots , a_i}</tex>
  
<tex>E[X_i] = \sum\limits_{a_1,a_2, \dots , a_i} E[X_{a_1,a_2, \dots , a_i}] = C_n^iEX_{1, 2, \dots, i} = C_n^i P(1, 2, \dots, i - комп.связности) \leqslant C_n^i (1 - p)^{i(n - i)}</tex>.
+
<tex>EX_i = \sum\limits_{a_1,a_2, \dots , a_i} EX_{a_1,a_2, \dots , a_i} = C_n^iEX_{1, 2, \dots, i} = C_n^i P(1, 2, \dots, i - комп.связности) \leqslant C_n^i (1 - p)^{i(n - i)}</tex>.
  
<tex>E[X] \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} E[X_i] \leqslant \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} C_n^i(1 - p)^{i(n - i)}</tex>
+
<tex>EX \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} EX_i \leqslant \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} C_n^i(1 - p)^{i(n - i)}</tex>
  
 
Последняя сумма симметрична (слагаемые при <tex>i = k</tex> и <tex>i = n - k</tex> равны), кроме того слагаемое при <tex>i = 1</tex> {{---}} наибольшее (для доказательства достаточно рассмотреть отношения слагаемых при <tex>i \leqslant \dfrac{n}{8}</tex> и <tex>\dfrac{n}{8} < i \leqslant \dfrac{n}{2}</tex>).
 
Последняя сумма симметрична (слагаемые при <tex>i = k</tex> и <tex>i = n - k</tex> равны), кроме того слагаемое при <tex>i = 1</tex> {{---}} наибольшее (для доказательства достаточно рассмотреть отношения слагаемых при <tex>i \leqslant \dfrac{n}{8}</tex> и <tex>\dfrac{n}{8} < i \leqslant \dfrac{n}{2}</tex>).
Строка 93: Строка 93:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|id=th1  
 
|id=th1  
|statement= Пусть <tex>N_z</tex> {{---}} число объектов в графе <tex>G(n, p)</tex>. <tex>A = \{G | N_z(G) > 0 \}</tex> {{---}} свойство. Тогда, если <tex>E[N_z] \rightarrow 0</tex>, при <tex>n \rightarrow \infty</tex>, то <tex>A</tex> а.п.н ложно.
+
|statement= Пусть <tex>N_z</tex> {{---}} число объектов в графе <tex>G(n, p)</tex>. <tex>A = \{G | N_z(G) > 0 \}</tex> {{---}} свойство. Тогда, если <tex>N_z \rightarrow 0</tex>, при <tex>n \rightarrow \infty</tex>, то <tex>A</tex> а.п.н ложно.
 
|proof=
 
|proof=
 
Воспользуемся [[Неравенство Маркова | неравенством Маркова]]:
 
Воспользуемся [[Неравенство Маркова | неравенством Маркова]]:
  
<tex>P(N_z > 0) = P(N_z \geqslant 1) \leqslant E[N_z] \rightarrow 0</tex>, при <tex>n \rightarrow \infty</tex>.
+
<tex>P(N_z > 0) = P(N_z \geqslant 1) \leqslant EZ \rightarrow 0</tex>, при <tex>n \rightarrow \infty</tex>.
 
}}
 
}}
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|id=th2  
 
|id=th2  
|statement= Пусть <tex>N_z</tex> {{---}} число объектов в графе <tex>G(n, p)</tex>. <tex>A = \{G | N_z(G) > 0 \}</tex> {{---}} свойство. Тогда, если <tex>E[N_z] \rightarrow \infty</tex>, при <tex>n \rightarrow \infty</tex>, и <tex>E[N_z^2] \leqslant (E[N_z])^2(1 + o(1))</tex> то <tex>A</tex> а.п.н истинно.
+
|statement= Пусть <tex>N_z</tex> {{---}} число объектов в графе <tex>G(n, p)</tex>. <tex>A = \{G | N_z(G) > 0 \}</tex> {{---}} свойство. Тогда, если <tex>EN_z \rightarrow \infty</tex>, при <tex>n \rightarrow \infty</tex>, и <tex>EZ^2 = (EZ)^2(1 + o(1))</tex> то <tex>A</tex> а.п.н истинно.
 
|proof=
 
|proof=
 
Воспользуемся [[Неравенство Маркова#thCheb | неравенством Чебышева]]:
 
Воспользуемся [[Неравенство Маркова#thCheb | неравенством Чебышева]]:
  
<tex>P(N_z = 0) = P(N_z \leqslant 0) = P(E[N_z] - N_z \geqslant E[N_z]) \leqslant P(|E[N_z] - N_z| \geqslant E[N_z]) \leqslant \dfrac{D[N_z]}{(E[N_z])^2} \rightarrow 0</tex>, при <tex>n \rightarrow \infty</tex>.
+
<tex>P(N_z = 0) = P(N_z \leqslant 0) = P(EN_z - N_z \geqslant EN_z) \leqslant P(|EN_z - N_z| \geqslant EN_z) \leqslant \dfrac{DN_z}{(EN_z)^2} \rightarrow 0</tex>, при <tex>n \rightarrow \infty</tex>.
 
}}
 
}}
  
== Графы, имеющие диаметр два ==
+
== Графы имеющие диаметр два ==
{{Определение
 
|definition=<tex>A</tex> {{---}} некоторое свойство случайного графа. <tex>p</tex> называется '''пороговой функцией''' (англ. ''threshold function''), если граф <tex>G(n, cp)</tex> при <tex>c < 1</tex> а.п.н не имеет такого свойства, а при <tex>c > 1</tex> а.п.н имеет.
 
}}
 
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|statement=Пусть рассматривается свойство графа иметь диаметр два. Тогда <tex>p = \sqrt{2} \sqrt{\dfrac{\ln n}{n}}</tex> {{---}} пороговая функция.
+
|statement=Пусть рассматривается свойство графа иметь диаметр два. Тогда <tex>p = \sqrt{2} \sqrt{\dfrac{\ln n}{n}}</tex> {{---}} порог.
 +
'''''что такое порог?'''''
 
|proof=
 
|proof=
Назовем вершины <tex>u</tex> и <tex>v</tex> плохой парой, если кратчайшее расстояние между <tex>u</tex> и <tex>v</tex> меньше двух. <tex>B_{i, j}</tex> {{---}} индикаторная величина, равная <tex>1</tex>, если <tex>i</tex> и <tex>j</tex> являются плохой парой.
+
Назовем вершины <tex>u</tex> и <tex>v</tex> плохой парой, если <tex>dist(u, v) > 2</tex> '''''мб лучше написать про расстояние явно, но думаю, всем будет понятно'''''. <tex>B_{i, j}</tex> {{---}} индикаторная величина, равная <tex>1</tex>, если <tex>i</tex> и <tex>j</tex> являются плохой парой.
 
<tex>N_z = \sum\limits_{i, j} B_{i,j}</tex>
 
<tex>N_z = \sum\limits_{i, j} B_{i,j}</tex>
 
<tex>P(B_{i, j}) = (1 - p)(1 - p^2)^{n - 2}</tex>
 
<tex>P(B_{i, j}) = (1 - p)(1 - p^2)^{n - 2}</tex>

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)