Случайные графы — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
 
(не показано 11 промежуточных версий 2 участников)
Строка 9: Строка 9:
 
}}
 
}}
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition= Свойство <tex>A</tex> '''ассимптотически почти наверное истинно''', если <tex>\lim\limits_{n \rightarrow \infty} p(n) = 1</tex>
+
|definition= Свойство <tex>A</tex> '''асимптотически почти наверное истинно''', если <tex>\lim\limits_{n \rightarrow \infty} p(n) = 1</tex>, где <tex>p(n)</tex> {{---}} вероятность графа <tex>G(n, p)</tex> обладать этим свойством.
 
}}
 
}}
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition= Свойство <tex>A</tex> '''ассимптотически почти наверное ложно''', если <tex>\lim\limits_{n \rightarrow \infty} p(n) = 0</tex>
+
|definition= Свойство <tex>A</tex> '''асимптотически почти наверное ложно''', если <tex>\lim\limits_{n \rightarrow \infty} p(n) = 0</tex>, где <tex>p(n)</tex> {{---}} вероятность графа <tex>G(n, p)</tex> обладать этим свойством.
 
}}
 
}}
  
 
== Существование треугольников в случайном графе ==
 
== Существование треугольников в случайном графе ==
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|statement=Если <tex>p(n) = o(\dfrac{1}{n})</tex>, то <tex>G(n, p)</tex> а.п.н не содержит треугольников.
+
|statement=Если <tex>p(n) = o(\dfrac{1}{n})</tex>, то <tex>G(n, p)</tex> асимптотически почти наверное (далее а.п.н) не содержит треугольников.
 
|proof=
 
|proof=
 
Пусть <tex>T</tex> {{---}} число треугольников в графе, <tex>T_{i,j,k}</tex> {{---}} индикаторная случайная величина, равная <tex>1</tex>, если вершины <tex>i</tex>, <tex>j</tex> и <tex>k</tex> образуют треугольник.
 
Пусть <tex>T</tex> {{---}} число треугольников в графе, <tex>T_{i,j,k}</tex> {{---}} индикаторная случайная величина, равная <tex>1</tex>, если вершины <tex>i</tex>, <tex>j</tex> и <tex>k</tex> образуют треугольник.
Строка 23: Строка 23:
 
Воспользуемся [[Неравенство Маркова| неравенством Маркова]]:
 
Воспользуемся [[Неравенство Маркова| неравенством Маркова]]:
  
<tex>P(T > 0) = P(T \geqslant 1) \leqslant ET = \sum\limits_{i, j, k}T_{i, j, k}p^3 = C^3_np^3 \sim \dfrac{n^3}{6}p^3 \rightarrow 0</tex>, при <tex>n \rightarrow \infty</tex>.
+
<tex>P(T > 0) = P(T \geqslant 1) \leqslant E[T] = \sum\limits_{i, j, k}T_{i, j, k}p^3 = C^3_np^3 \sim \dfrac{n^3p^3}{6} \rightarrow 0</tex>, при <tex>n \rightarrow \infty</tex>.
 
}}
 
}}
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=Если <tex>p(n) = \omega(\dfrac{1}{n})</tex>, то <tex>G(n, p)</tex> а.п.н содержит треугольник.
 
|statement=Если <tex>p(n) = \omega(\dfrac{1}{n})</tex>, то <tex>G(n, p)</tex> а.п.н содержит треугольник.
 +
 
|proof=
 
|proof=
 
Пусть <tex>T</tex> {{---}} число треугольников в графе, <tex>T_{i,j,k}</tex> {{---}} индикаторная случайная величина, равная <tex>1</tex>, если вершины <tex>i</tex>, <tex>j</tex> и <tex>k</tex> образуют треугольник.
 
Пусть <tex>T</tex> {{---}} число треугольников в графе, <tex>T_{i,j,k}</tex> {{---}} индикаторная случайная величина, равная <tex>1</tex>, если вершины <tex>i</tex>, <tex>j</tex> и <tex>k</tex> образуют треугольник.
Строка 33: Строка 34:
 
Воспользуемся [[Неравенство Маркова#thCheb| неравенством Чебышева]]:
 
Воспользуемся [[Неравенство Маркова#thCheb| неравенством Чебышева]]:
  
<tex>P(T = 0) = P(T \leqslant 0) = P(ET - T \geqslant ET) \leqslant P(|ET - T| \geqslant ET) \leqslant \dfrac{DT}{(ET)^2}</tex>.
+
<tex>P(T = 0) = P(T \leqslant 0) = P(E[T] - T \geqslant E[T]) \leqslant P(|E[T] - T| \geqslant E[T]) \leqslant \dfrac{D[T]}{(E[T])^2}</tex>.
  
Найдем <tex>ET^2</tex>:
+
Найдем <tex>E[T^2]</tex>:
  
  
<tex>ET^2 = E(\sum\limits_{i, j, k}T_{i, j, k})^2= E(\sum\limits_{i, j, k}(T_{i, j, k})^2) + E(\sum\limits_{i, j, k, a, b, c}T_{i, j, k}T_{a, b, c}) =</tex>
+
<tex>E[T^2] = E[(\sum\limits_{i, j, k}T_{i, j, k})^2]= E[\sum\limits_{i, j, k}T_{i, j, k})^2] + E[\sum\limits_{i, j, k, a, b, c}T_{i, j, k}T_{a, b, c}] =</tex>
  
<tex>= ET + (C^3_nC^3_{n - 3} + C^3_nC^2_{n - 3})p^6 + 3C^3_n(n - 3)p^5 \sim \dfrac{n^3p^3}{6} + (\dfrac{n^6}{36} + \dfrac{n^5}{4})p^6 + \dfrac{n^4}{2}p^5 \sim \dfrac{n^3p^3}{6} + \dfrac{n^6p^6}{36} + \dfrac{n^4p^5}{2} \sim \dfrac{n^3p^3}{6} + \dfrac{n^6p^6}{36}</tex>
+
<tex>= E[T] + (C^3_nC^3_{n - 3} + C^3_nC^2_{n - 3})p^6 + 3C^3_n(n - 3)p^5 \sim \dfrac{n^3p^3}{6} + (\dfrac{n^6}{36} + \dfrac{n^5}{4})p^6 + \dfrac{n^4}{2}p^5 \sim \dfrac{n^3p^3}{6} + \dfrac{n^6p^6}{36} + \dfrac{n^4p^5}{2} \sim \dfrac{n^3p^3}{6} + \dfrac{n^6p^6}{36}</tex>
  
<tex>DT = ET^2 - (ET)^2 \sim \dfrac{n^3p^3}{6} + \dfrac{n^6p^6}{36} - \dfrac{n^6p^6}{36} = \dfrac{n^3p^3}{6}</tex>  
+
<tex>D[T] = E[T^2] - (E[T])^2 \sim \dfrac{n^3p^3}{6} + \dfrac{n^6p^6}{36} - \dfrac{n^6p^6}{36} = \dfrac{n^3p^3}{6}</tex>  
  
 
<tex>P(T = 0) \leqslant \dfrac{\dfrac{n^3p^3}{6}}{\dfrac{n^6p^6}{36}} = \dfrac{6}{p^3n^3} \rightarrow 0</tex>, при <tex>n \rightarrow \infty</tex>
 
<tex>P(T = 0) \leqslant \dfrac{\dfrac{n^3p^3}{6}}{\dfrac{n^6p^6}{36}} = \dfrac{6}{p^3n^3} \rightarrow 0</tex>, при <tex>n \rightarrow \infty</tex>
Строка 53: Строка 54:
 
|statement=Если <tex>c \geqslant 3</tex>, <tex>n \geqslant 100</tex>, <tex>p = \dfrac{c\ln n}{n}</tex>. Тогда <tex>P(G - связен) \rightarrow 1</tex>.
 
|statement=Если <tex>c \geqslant 3</tex>, <tex>n \geqslant 100</tex>, <tex>p = \dfrac{c\ln n}{n}</tex>. Тогда <tex>P(G - связен) \rightarrow 1</tex>.
 
|proof=  
 
|proof=  
Пусть <tex>X</tex> {{---}} индикаторная величина, равная <tex>0</tex>, если <tex>G</tex> связен, и <tex>k</tex>, если <tex>G</tex> содержит <tex>k</tex> компонент связности.
+
Пусть <tex>X</tex> {{---}} индикаторная величина, равная нулю, если <tex>G</tex> связен, и <tex>k</tex>, если <tex>G</tex> содержит <tex>k</tex> компонент связности.
  
 
<tex>X_i</tex> {{---}} число компонент связности размера <tex>i</tex>.
 
<tex>X_i</tex> {{---}} число компонент связности размера <tex>i</tex>.
Строка 61: Строка 62:
 
<tex>X_i = \sum\limits_{a_1,a_2, \dots , a_i} X_{a_1,a_2, \dots , a_i}</tex>
 
<tex>X_i = \sum\limits_{a_1,a_2, \dots , a_i} X_{a_1,a_2, \dots , a_i}</tex>
  
<tex>EX_i = \sum\limits_{a_1,a_2, \dots , a_i} EX_{a_1,a_2, \dots , a_i} = C_n^iEX_{1, 2, \dots, i} = C_n^i P(1, 2, \dots, i - комп.связности) \leqslant C_n^i (1 - p)^{i(n - i)}</tex>.
+
<tex>E[X_i] = \sum\limits_{a_1,a_2, \dots , a_i} E[X_{a_1,a_2, \dots , a_i}] = C_n^iEX_{1, 2, \dots, i} = C_n^i P(1, 2, \dots, i - комп.связности) \leqslant C_n^i (1 - p)^{i(n - i)}</tex>.
  
<tex>EX \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} EX_i \leqslant \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} C_n^i(1 - p)^{i(n - i)}</tex>
+
<tex>E[X] \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} E[X_i] \leqslant \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} C_n^i(1 - p)^{i(n - i)}</tex>
  
 
Последняя сумма симметрична (слагаемые при <tex>i = k</tex> и <tex>i = n - k</tex> равны), кроме того слагаемое при <tex>i = 1</tex> {{---}} наибольшее (для доказательства достаточно рассмотреть отношения слагаемых при <tex>i \leqslant \dfrac{n}{8}</tex> и <tex>\dfrac{n}{8} < i \leqslant \dfrac{n}{2}</tex>).
 
Последняя сумма симметрична (слагаемые при <tex>i = k</tex> и <tex>i = n - k</tex> равны), кроме того слагаемое при <tex>i = 1</tex> {{---}} наибольшее (для доказательства достаточно рассмотреть отношения слагаемых при <tex>i \leqslant \dfrac{n}{8}</tex> и <tex>\dfrac{n}{8} < i \leqslant \dfrac{n}{2}</tex>).
Строка 92: Строка 93:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|id=th1  
 
|id=th1  
|statement= Пусть <tex>N_z</tex> {{---}} число объектов в графе <tex>G(n, p)</tex>. <tex>A = \{G | N_z(G) > 0 \}</tex> {{---}} свойство. Тогда, если <tex>N_z \rightarrow 0</tex>, при <tex>n \rightarrow \infty</tex>, то <tex>A</tex> а.п.н ложно.
+
|statement= Пусть <tex>N_z</tex> {{---}} число объектов в графе <tex>G(n, p)</tex>. <tex>A = \{G | N_z(G) > 0 \}</tex> {{---}} свойство. Тогда, если <tex>E[N_z] \rightarrow 0</tex>, при <tex>n \rightarrow \infty</tex>, то <tex>A</tex> а.п.н ложно.
 
|proof=
 
|proof=
 
Воспользуемся [[Неравенство Маркова | неравенством Маркова]]:
 
Воспользуемся [[Неравенство Маркова | неравенством Маркова]]:
  
<tex>P(N_z > 0) = P(N_z \geqslant 1) \leqslant EZ \rightarrow 0</tex>, при <tex>n \rightarrow \infty</tex>.
+
<tex>P(N_z > 0) = P(N_z \geqslant 1) \leqslant E[N_z] \rightarrow 0</tex>, при <tex>n \rightarrow \infty</tex>.
 
}}
 
}}
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|id=th2  
 
|id=th2  
|statement= Пусть <tex>N_z</tex> {{---}} число объектов в графе <tex>G(n, p)</tex>. <tex>A = \{G | N_z(G) > 0 \}</tex> {{---}} свойство. Тогда, если <tex>EN_z \rightarrow \infty</tex>, при <tex>n \rightarrow \infty</tex>, и <tex>EZ^2 = (EZ)^2(1 + o(1))</tex> то <tex>A</tex> а.п.н истинно.
+
|statement= Пусть <tex>N_z</tex> {{---}} число объектов в графе <tex>G(n, p)</tex>. <tex>A = \{G | N_z(G) > 0 \}</tex> {{---}} свойство. Тогда, если <tex>E[N_z] \rightarrow \infty</tex>, при <tex>n \rightarrow \infty</tex>, и <tex>E[N_z^2] \leqslant (E[N_z])^2(1 + o(1))</tex> то <tex>A</tex> а.п.н истинно.
 
|proof=
 
|proof=
 
Воспользуемся [[Неравенство Маркова#thCheb | неравенством Чебышева]]:
 
Воспользуемся [[Неравенство Маркова#thCheb | неравенством Чебышева]]:
  
<tex>P(N_z = 0) = P(N_z \leqslant 0) = P(EN_z - N_z \geqslant EN_z) \leqslant P(|EN_z - N_z| \geqslant EN_z) \leqslant \dfrac{DN_z}{(EN_z)^2} \rightarrow 0</tex>, при <tex>n \rightarrow \infty</tex>.
+
<tex>P(N_z = 0) = P(N_z \leqslant 0) = P(E[N_z] - N_z \geqslant E[N_z]) \leqslant P(|E[N_z] - N_z| \geqslant E[N_z]) \leqslant \dfrac{D[N_z]}{(E[N_z])^2} \rightarrow 0</tex>, при <tex>n \rightarrow \infty</tex>.
 
}}
 
}}
  
== Графы имеющие диаметр два ==
+
== Графы, имеющие диаметр два ==
 +
{{Определение
 +
|definition=<tex>A</tex> {{---}} некоторое свойство случайного графа. <tex>p</tex> называется '''пороговой функцией''' (англ. ''threshold function''), если граф <tex>G(n, cp)</tex> при <tex>c < 1</tex> а.п.н не имеет такого свойства, а при <tex>c > 1</tex> а.п.н имеет.
 +
}}
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|statement=Пусть рассматривается свойство графа иметь диаметр два. Тогда <tex>p = \sqrt{2} \sqrt{\dfrac{\ln n}{n}}</tex> {{---}} порог.
+
|statement=Пусть рассматривается свойство графа иметь диаметр два. Тогда <tex>p = \sqrt{2} \sqrt{\dfrac{\ln n}{n}}</tex> {{---}} пороговая функция.
 
|proof=
 
|proof=
Назовем вершины <tex>u</tex> и <tex>v</tex> плохой парой, если <tex>dist(u, v) > 2</tex>. <tex>B_{i, j}</tex> {{---}} индикаторная величина, равная <tex>1</tex>, если <tex>i</tex> и <tex>j</tex> плохая пара.
+
Назовем вершины <tex>u</tex> и <tex>v</tex> плохой парой, если кратчайшее расстояние между <tex>u</tex> и <tex>v</tex> меньше двух. <tex>B_{i, j}</tex> {{---}} индикаторная величина, равная <tex>1</tex>, если <tex>i</tex> и <tex>j</tex> являются плохой парой.
 
<tex>N_z = \sum\limits_{i, j} B_{i,j}</tex>
 
<tex>N_z = \sum\limits_{i, j} B_{i,j}</tex>
 
<tex>P(B_{i, j}) = (1 - p)(1 - p^2)^{n - 2}</tex>
 
<tex>P(B_{i, j}) = (1 - p)(1 - p^2)^{n - 2}</tex>
  
Сначала докажем, что при <tex>c > sqrt{2}</tex>, граф а.п.н не имеет диаметр два. Для этого оценим матожидание <tex>N_z</tex>.
+
Сначала докажем, что при <tex>c > sqrt{2}</tex>, граф а.п.н не имеет диаметр, равный двум. Для этого оценим матожидание <tex>N_z</tex>.
 
<tex>EN_z = C_n^2(1 - p)(1 - p^2)^{n - 2} \approx \dfrac{n^2}{2}(1 - c\sqrt{\dfrac{\ln n}{n}})(1 - \dfrac{c^2\ln n}{n})^{n - 2} \leqslant \dfrac{n^2}{2}e^{-c^2\ln n} = \dfrac{n^{2 - c^2}}{2}</tex>
 
<tex>EN_z = C_n^2(1 - p)(1 - p^2)^{n - 2} \approx \dfrac{n^2}{2}(1 - c\sqrt{\dfrac{\ln n}{n}})(1 - \dfrac{c^2\ln n}{n})^{n - 2} \leqslant \dfrac{n^2}{2}e^{-c^2\ln n} = \dfrac{n^{2 - c^2}}{2}</tex>
  
При <tex>c > \sqrt{2}</tex> последнее выражение стремится к <tex>0</tex>, по [[#th1 | первой теореме ]] граф а.п.н. не имеет диаметр два.
+
При <tex>c > \sqrt{2}</tex> последнее выражение стремится к <tex>0</tex>, по [[#th1 | вышедоказанному ]] граф а.п.н. не имеет диаметр, равный двум.
  
 
Рассмотрим <tex>c < \sqrt{2}</tex>:
 
Рассмотрим <tex>c < \sqrt{2}</tex>:
Строка 135: Строка 139:
 
<tex>\sum EB_{i,j}B_{i,l} \leqslant n^{3 - 2c}</tex>
 
<tex>\sum EB_{i,j}B_{i,l} \leqslant n^{3 - 2c}</tex>
  
В итоге: <tex>EN_z^2 \leqslant n^{2 - c^2} + n^{4 - 2c^2} + n^{3 - 2c^2}. Из этого следует, что <tex>EN_z \leqslant (EN_z)^2(1 + o(1))</tex>, а значит граф а.п.н имеет диаметр два при <tex>c > \sqrt{2}</tex>.
+
В итоге: <tex>EN_z^2 \leqslant n^{2 - c^2} + n^{4 - 2c^2} + n^{3 - 2c^2}</tex>. Из этого следует, что <tex>EN_z \leqslant (EN_z)^2(1 + o(1))</tex>, а значит граф а.п.н имеет диаметр, равный двум при <tex>c > \sqrt{2}</tex>.
 
}}
 
}}
 
  
 
== См. также ==
 
== См. также ==

Текущая версия на 18:11, 11 декабря 2019


Определение:
Биномиальная модель случайного графа (англ. binomial random graph model) [math]G(n, p)[/math] — модель, в которой каждое ребро входит в случайный граф независимо от остальных ребер с вероятностью [math]p[/math]. [math]G(n, p) = (\Omega_n, F_n, P_{n, p})[/math] вероятностное пространство . [math]|\Omega_n| = 2^{C^2_n}[/math], [math]P_{n, p}(G) = p^m(1 - p)^{C^2_n - m}[/math], где [math]m[/math] — число ребер в графе.


Определение:
Равномерная модель случайного графа (англ. uniform random graph model) [math]G(n, m)[/math] — модель, в которой все графы с [math]m[/math] ребрами равновероятны. [math]G(n, m) = (\Omega_n, F_n, P_{n, m})[/math] — вероятностное пространство. [math]|\Omega_n| = m[/math], [math]P_{n, m}(G) = \dfrac{1}{C^m_n}[/math].


Определение:
Свойство [math]A[/math] асимптотически почти наверное истинно, если [math]\lim\limits_{n \rightarrow \infty} p(n) = 1[/math], где [math]p(n)[/math] — вероятность графа [math]G(n, p)[/math] обладать этим свойством.


Определение:
Свойство [math]A[/math] асимптотически почти наверное ложно, если [math]\lim\limits_{n \rightarrow \infty} p(n) = 0[/math], где [math]p(n)[/math] — вероятность графа [math]G(n, p)[/math] обладать этим свойством.


Существование треугольников в случайном графе[править]

Теорема:
Если [math]p(n) = o(\dfrac{1}{n})[/math], то [math]G(n, p)[/math] асимптотически почти наверное (далее а.п.н) не содержит треугольников.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]T[/math] — число треугольников в графе, [math]T_{i,j,k}[/math] — индикаторная случайная величина, равная [math]1[/math], если вершины [math]i[/math], [math]j[/math] и [math]k[/math] образуют треугольник.

Воспользуемся неравенством Маркова:

[math]P(T \gt 0) = P(T \geqslant 1) \leqslant E[T] = \sum\limits_{i, j, k}T_{i, j, k}p^3 = C^3_np^3 \sim \dfrac{n^3p^3}{6} \rightarrow 0[/math], при [math]n \rightarrow \infty[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Если [math]p(n) = \omega(\dfrac{1}{n})[/math], то [math]G(n, p)[/math] а.п.н содержит треугольник.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]T[/math] — число треугольников в графе, [math]T_{i,j,k}[/math] — индикаторная случайная величина, равная [math]1[/math], если вершины [math]i[/math], [math]j[/math] и [math]k[/math] образуют треугольник.

Воспользуемся неравенством Чебышева:

[math]P(T = 0) = P(T \leqslant 0) = P(E[T] - T \geqslant E[T]) \leqslant P(|E[T] - T| \geqslant E[T]) \leqslant \dfrac{D[T]}{(E[T])^2}[/math].

Найдем [math]E[T^2][/math]:


[math]E[T^2] = E[(\sum\limits_{i, j, k}T_{i, j, k})^2]= E[\sum\limits_{i, j, k}T_{i, j, k})^2] + E[\sum\limits_{i, j, k, a, b, c}T_{i, j, k}T_{a, b, c}] =[/math]

[math]= E[T] + (C^3_nC^3_{n - 3} + C^3_nC^2_{n - 3})p^6 + 3C^3_n(n - 3)p^5 \sim \dfrac{n^3p^3}{6} + (\dfrac{n^6}{36} + \dfrac{n^5}{4})p^6 + \dfrac{n^4}{2}p^5 \sim \dfrac{n^3p^3}{6} + \dfrac{n^6p^6}{36} + \dfrac{n^4p^5}{2} \sim \dfrac{n^3p^3}{6} + \dfrac{n^6p^6}{36}[/math]

[math]D[T] = E[T^2] - (E[T])^2 \sim \dfrac{n^3p^3}{6} + \dfrac{n^6p^6}{36} - \dfrac{n^6p^6}{36} = \dfrac{n^3p^3}{6}[/math]

[math]P(T = 0) \leqslant \dfrac{\dfrac{n^3p^3}{6}}{\dfrac{n^6p^6}{36}} = \dfrac{6}{p^3n^3} \rightarrow 0[/math], при [math]n \rightarrow \infty[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Связность графа[править]

Лемма:
Если [math]c \geqslant 3[/math], [math]n \geqslant 100[/math], [math]p = \dfrac{c\ln n}{n}[/math]. Тогда [math]P(G - связен) \rightarrow 1[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]X[/math] — индикаторная величина, равная нулю, если [math]G[/math] связен, и [math]k[/math], если [math]G[/math] содержит [math]k[/math] компонент связности.

[math]X_i[/math] — число компонент связности размера [math]i[/math].

[math]X_{a_1,a_2, \dots , a_i} = 1[/math], если [math]a_1,a_2, \dots , a_i[/math] — компонента связности.

[math]X_i = \sum\limits_{a_1,a_2, \dots , a_i} X_{a_1,a_2, \dots , a_i}[/math]

[math]E[X_i] = \sum\limits_{a_1,a_2, \dots , a_i} E[X_{a_1,a_2, \dots , a_i}] = C_n^iEX_{1, 2, \dots, i} = C_n^i P(1, 2, \dots, i - комп.связности) \leqslant C_n^i (1 - p)^{i(n - i)}[/math].

[math]E[X] \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} E[X_i] \leqslant \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} C_n^i(1 - p)^{i(n - i)}[/math]

Последняя сумма симметрична (слагаемые при [math]i = k[/math] и [math]i = n - k[/math] равны), кроме того слагаемое при [math]i = 1[/math] — наибольшее (для доказательства достаточно рассмотреть отношения слагаемых при [math]i \leqslant \dfrac{n}{8}[/math] и [math]\dfrac{n}{8} \lt i \leqslant \dfrac{n}{2}[/math]).

Оценим сверху первое слагаемое [math]n(1 - p)^{n - 1}[/math]:

[math]n(1 - p)^{n - 1} \leqslant ne^{-p(n - 1)} \leqslant ne^{\frac{-3 (n - 1) \ln n}{n}}[/math]

[math]n \geqslant 100[/math], поэтому [math]\dfrac{n - 1}{n} \gt 0.9[/math].

[math]ne^{\frac{-3 (n - 1) \ln n}{n}} \lt e^{-2.7\ln n} = \dfrac{1}{n^{2.7}}[/math]

[math]\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} C_n^i(1 - p)^{i(n - i)} \leqslant \sum\limits_{i = 1}^{n - 1}\dfrac{1}{n^{2.7}} \lt \dfrac{n}{n^{2.7}} \rightarrow 0[/math], при [math]n \rightarrow \infty[/math]
[math]\triangleleft[/math]
Лемма:
Если [math]c \geqslant 3[/math], [math]n \geqslant 100[/math], [math]p = \dfrac{c\ln n}{n}[/math]. Тогда [math]P(G - связен) \gt 1 - \dfrac{1}{n}[/math].
Теорема:
[math]p = \dfrac{c\ln n}{n}[/math], тогда при [math]c \lt 1[/math] граф а.п.н связен, при [math]c \gt 1[/math] граф а.п.н не связен.

Теоремы о связи вероятности и матожидания[править]

Теорема:
Пусть [math]N_z[/math] — число объектов в графе [math]G(n, p)[/math]. [math]A = \{G | N_z(G) \gt 0 \}[/math] — свойство. Тогда, если [math]E[N_z] \rightarrow 0[/math], при [math]n \rightarrow \infty[/math], то [math]A[/math] а.п.н ложно.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Воспользуемся неравенством Маркова:

[math]P(N_z \gt 0) = P(N_z \geqslant 1) \leqslant E[N_z] \rightarrow 0[/math], при [math]n \rightarrow \infty[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Пусть [math]N_z[/math] — число объектов в графе [math]G(n, p)[/math]. [math]A = \{G | N_z(G) \gt 0 \}[/math] — свойство. Тогда, если [math]E[N_z] \rightarrow \infty[/math], при [math]n \rightarrow \infty[/math], и [math]E[N_z^2] \leqslant (E[N_z])^2(1 + o(1))[/math] то [math]A[/math] а.п.н истинно.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Воспользуемся неравенством Чебышева:

[math]P(N_z = 0) = P(N_z \leqslant 0) = P(E[N_z] - N_z \geqslant E[N_z]) \leqslant P(|E[N_z] - N_z| \geqslant E[N_z]) \leqslant \dfrac{D[N_z]}{(E[N_z])^2} \rightarrow 0[/math], при [math]n \rightarrow \infty[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Графы, имеющие диаметр два[править]

Определение:
[math]A[/math] — некоторое свойство случайного графа. [math]p[/math] называется пороговой функцией (англ. threshold function), если граф [math]G(n, cp)[/math] при [math]c \lt 1[/math] а.п.н не имеет такого свойства, а при [math]c \gt 1[/math] а.п.н имеет.
Теорема:
Пусть рассматривается свойство графа иметь диаметр два. Тогда [math]p = \sqrt{2} \sqrt{\dfrac{\ln n}{n}}[/math] — пороговая функция.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Назовем вершины [math]u[/math] и [math]v[/math] плохой парой, если кратчайшее расстояние между [math]u[/math] и [math]v[/math] меньше двух. [math]B_{i, j}[/math] — индикаторная величина, равная [math]1[/math], если [math]i[/math] и [math]j[/math] являются плохой парой. [math]N_z = \sum\limits_{i, j} B_{i,j}[/math] [math]P(B_{i, j}) = (1 - p)(1 - p^2)^{n - 2}[/math]

Сначала докажем, что при [math]c \gt sqrt{2}[/math], граф а.п.н не имеет диаметр, равный двум. Для этого оценим матожидание [math]N_z[/math]. [math]EN_z = C_n^2(1 - p)(1 - p^2)^{n - 2} \approx \dfrac{n^2}{2}(1 - c\sqrt{\dfrac{\ln n}{n}})(1 - \dfrac{c^2\ln n}{n})^{n - 2} \leqslant \dfrac{n^2}{2}e^{-c^2\ln n} = \dfrac{n^{2 - c^2}}{2}[/math]

При [math]c \gt \sqrt{2}[/math] последнее выражение стремится к [math]0[/math], по вышедоказанному граф а.п.н. не имеет диаметр, равный двум.

Рассмотрим [math]c \lt \sqrt{2}[/math]:

[math]EN_z^2 = E(\sum B_{i, j})^2 = E\sum B_{i,j}^2 + E\sum B_{i,j}B_{k,l} = EN_z + \sum EB_{i,j}B_{k,l}[/math]

Рассмотрим сумму [math]\sum EB_{i,j}B_{k,l}[/math]:

Если [math]i[/math], [math]j[/math], [math]k[/math] и [math]k[/math] различны, то [math]EB_{i,j}B_{k,l} \leqslant (1 - p^2)^{2(n - 4)} \leqslant n^{-2c^2}(1 + o(1))[/math].

[math]\sum EB_{i,j}B_{k,l} \leqslant n^{4 - 2c^2}(1 + o(1))[/math]

[math]EB_{i,j}B_{i,l} = (1 - p + p(1 - p)^2)^{n - 3} \approx (1 - 2p^2)^{n - 3} = (1 - 2c^2\dfrac{\ln n}{n})^{n - 3} \approx e^{-2c^2 \ln n} = n^{-2c^2}[/math]

[math]\sum EB_{i,j}B_{i,l} \leqslant n^{3 - 2c}[/math]

В итоге: [math]EN_z^2 \leqslant n^{2 - c^2} + n^{4 - 2c^2} + n^{3 - 2c^2}[/math]. Из этого следует, что [math]EN_z \leqslant (EN_z)^2(1 + o(1))[/math], а значит граф а.п.н имеет диаметр, равный двум при [math]c \gt \sqrt{2}[/math].
[math]\triangleleft[/math]

См. также[править]

Источники информации[править]