89
правок
Изменения
м
→Графы имеющие диаметр два
<tex>P(T = 0) \leqslant \dfrac{\dfrac{n^3p^3}{6}}{\dfrac{n^6p^6}{36}} = \dfrac{6}{p^3n^3} \rightarrow 0</tex>, при <tex>n \rightarrow \infty</tex>
}}
== Связность графа ==
{{Лемма
|id=lemma1
|statement=Если <tex>c \geqslant 3</tex>, <tex>n \geqslant 100</tex>, <tex>p = \dfrac{c\ln n}{n}</tex>. Тогда <tex>P(G - связен) \rightarrow 1</tex>.
|proof=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} индикаторная величина, равная <tex>0</tex>, если <tex>G</tex> связен, и <tex>k</tex>, если <tex>G</tex> содержит <tex>k</tex> компонент связности.
<tex>X_i</tex> {{---}} число компонент связности размера <tex>i</tex>.
<tex>X_{a_1,a_2, \dots , a_i} = 1</tex>, если <tex>a_1,a_2, \dots , a_i</tex> {{---}} компонента связности.
<tex>X_i = \sum\limits_{a_1,a_2, \dots , a_i} X_{a_1,a_2, \dots , a_i}</tex>
<tex>EX_i = \sum\limits_{a_1,a_2, \dots , a_i} EX_{a_1,a_2, \dots , a_i} = C_n^iEX_{1, 2, \dots, i} = C_n^i P(1, 2, \dots, i - комп.связности) \leqslant C_n^i (1 - p)^{i(n - i)}</tex>.
<tex>EX \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} EX_i \leqslant \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} C_n^i(1 - p)^{i(n - i)}</tex>
Последняя сумма симметрична (слагаемые при <tex>i = k</tex> и <tex>i = n - k</tex> равны), кроме того слагаемое при <tex>i = 1</tex> {{---}} наибольшее (для доказательства достаточно рассмотреть отношения слагаемых при <tex>i \leqslant \dfrac{n}{8}</tex> и <tex>\dfrac{n}{8} < i \leqslant \dfrac{n}{2}</tex>).
Оценим сверху первое слагаемое <tex>n(1 - p)^{n - 1}</tex>:
<tex>n(1 - p)^{n - 1} \leqslant ne^{-p(n - 1)} \leqslant ne^{\frac{-3 (n - 1) \ln n}{n}}</tex>
<tex>n \geqslant 100</tex>, поэтому <tex>\dfrac{n - 1}{n} > 0.9</tex>.
<tex>ne^{\frac{-3 (n - 1) \ln n}{n}} < e^{-2.7\ln n} = \dfrac{1}{n^{2.7}}</tex>
<tex>\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} C_n^i(1 - p)^{i(n - i)} \leqslant \sum\limits_{i = 1}^{n - 1}\dfrac{1}{n^{2.7}} < \dfrac{n}{n^{2.7}} \rightarrow 0</tex>, при <tex>n \rightarrow \infty</tex>
}}
{{Лемма
|id=lemma2
|statement=Если <tex>c \geqslant 3</tex>, <tex>n \geqslant 100</tex>, <tex>p = \dfrac{c\ln n}{n}</tex>. Тогда <tex>P(G - связен) > 1 - \dfrac{1}{n}</tex>.
}}
{{Теорема
|statement=<tex>p = \dfrac{c\ln n}{n}</tex>, тогда при <tex>c < 1</tex> граф а.п.н связен, при <tex>c > 1</tex> граф а.п.н не связен.
}}
{{Теорема
|id=th1
|statement= Пусть <tex>Z_nN_z</tex> {{---}} число объектов в графе <tex>G(n, p)</tex>. <tex>A = \{G | Z_nN_z(G) > 0 \}</tex> {{---}} свойство. Тогда, если <tex>EZ_n N_z \rightarrow 0</tex>, при <tex>n \rightarrow \infty</tex>, то <tex>A</tex> а.п.н ложно.
|proof=
Воспользуемся [[Неравенство Маркова | неравенством Маркова]]:
<tex>P(Z_n N_z > 0) = P(Z_n N_z \geqslant 1) \leqslant EZ \rightarrow 0</tex>, при <tex>n \rightarrow \infty</tex>.
}}
{{Теорема
|id=th2
|statement= Пусть <tex>Z_nN_z</tex> {{---}} число объектов в графе <tex>G(n, p)</tex>. <tex>A = \{G | Z_nN_z(G) > 0 \}</tex> {{---}} свойство. Тогда, если <tex>EZ_n EN_z \rightarrow \infty</tex>, при <tex>n \rightarrow \infty</tex>, и <tex>EZ^2 = (EZ)^2(1 + o(1))</tex> то <tex>A</tex> а.п.н истинно.
|proof=
Воспользуемся [[Неравенство Маркова#thCheb | неравенством Чебышева]]:
<tex>P(Z_n N_z = 0) = P(Z_n N_z \leqslant 0) = P(EZ_n EN_z - Z_n N_z \geqslant EZ_nEN_z) \leqslant P(|EZ_n EN_z - Z_nN_z| \geqslant EZ_nEN_z) \leqslant \dfrac{DZ_nDN_z}{(EZ_nEN_z)^2} \rightarrow 0</tex>, при <tex>n \rightarrow \infty</tex>.}} == Графы имеющие диаметр два =={{Теорема|statement=Пусть рассматривается свойство графа иметь диаметр два. Тогда <tex>p = \sqrt{2} \sqrt{\dfrac{\ln n}{n}}</tex> {{---}} порог.|proof=Назовем вершины <tex>u</tex> и <tex>v</tex> плохой парой, если <tex>dist(u, v) > 2</tex>. <tex>B_{i, j}</tex> {{---}} индикаторная величина, равная <tex>1</tex>, если <tex>i</tex> и <tex>j</tex> плохая пара.<tex>N_z = \sum\limits_{i, j} B_{i,j}</tex><tex>P(B_{i, j}) = (1 - p)(1 - p^2)^{n - 2}</tex> Сначала докажем, что при <tex>c > sqrt{2}</tex>, граф а.п.н не имеет диаметр два. Для этого оценим матожидание <tex>N_z</tex>.<tex>EN_z = C_n^2(1 - p)(1 - p^2)^{n - 2} \approx \dfrac{n^2}{2}(1 - c\sqrt{\dfrac{\ln n}{n}})(1 - \dfrac{c^2\ln n}{n})^{n - 2} \leqslant \dfrac{n^2}{2}e^{-c^2\ln n} = \dfrac{n^{2 - c^2}}{2}</tex> При <tex>c > \sqrt{2}</tex> последнее выражение стремится к <tex>0</tex>, по [[#th1 | первой теореме ]] граф а.п.н. не имеет диаметр два. Рассмотрим <tex>c < \sqrt{2}</tex>: <tex>EN_z^2 = E(\sum B_{i, j})^2 = E\sum B_{i,j}^2 + E\sum B_{i,j}B_{k,l} = EN_z + \sum EB_{i,j}B_{k,l}</tex> Рассмотрим сумму <tex>\sum EB_{i,j}B_{k,l}</tex>: Если <tex>i</tex>, <tex>j</tex>, <tex>k</tex> и <tex>k</tex> различны, то <tex>EB_{i,j}B_{k,l} \leqslant (1 - p^2)^{2(n - 4)} \leqslant n^{-2c^2}(1 + o(1))</tex>. <tex>\sum EB_{i,j}B_{k,l} \leqslant n^{4 - 2c^2}(1 + o(1))</tex> <tex>EB_{i,j}B_{i,l} = (1 - p + p(1 - p)^2)^{n - 3} \approx (1 - 2p^2)^{n - 3} = (1 - 2c^2\dfrac{\ln n}{n})^{n - 3} \approx e^{-2c^2 \ln n} = n^{-2c^2}</tex> <tex>\sum EB_{i,j}B_{i,l} \leqslant n^{3 - 2c}</tex> В итоге: <tex>EN_z^2 \leqslant n^{2 - c^2} + n^{4 - 2c^2} + n^{3 - 2c^2}</tex>. Из этого следует, что <tex>EN_z \leqslant (EN_z)^2(1 + o(1))</tex>, а значит граф а.п.н имеет диаметр два при <tex>c > \sqrt{2}</tex>.
}}
* [[Дисперсия случайной величины]]
* [[Математическое ожидание случайной величины]]
== Источники информации ==
* [https://www.coursera.org/learn/sluchajnye-graphy/ Coursera {{---}} Онлайн-курс]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Chernoff_bound Wikipedia {{---}} Random graphs]
* Avrim Blum, John Hopcroft, and Ravindran Kannan. «Foundations of Data Science» {{---}} «Cambridge University Press», 2013 г. {{---}} 245-260 стр. {{---}} ISBN 978-1108485067
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
