Случайные графы — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Связность графа)
Строка 52: Строка 52:
 
|id=lemma1
 
|id=lemma1
 
|statement=Если <tex>c \geqslant 3</tex>, <tex>n \geqslant 100</tex>, <tex>p = \dfrac{c\ln n}{n}</tex>. Тогда <tex>P(G - связен) \rightarrow 1</tex>.
 
|statement=Если <tex>c \geqslant 3</tex>, <tex>n \geqslant 100</tex>, <tex>p = \dfrac{c\ln n}{n}</tex>. Тогда <tex>P(G - связен) \rightarrow 1</tex>.
 +
|proof=
 +
Пусть <tex>X</tex> {{---}} индикаторная величина, равная <tex>0</tex>, если <tex>G</tex> связен, и <tex>k</tex>, если <tex>G</tex> содержит <tex>k</tex> компонент связности.
 +
 +
<tex>X_i</tex> {{---}} число компонент связности размера <tex>i</tex>.
 +
 +
<tex>X_{a_1,a_2, \dots , a_i} = 1</tex>, если <tex>a_1,a_2, \dots , a_i</tex> {{---}} компонента связности.
 +
 +
<tex>X_i = \sum\limits_{a_1,a_2, \dots , a_i} X_{a_1,a_2, \dots , a_i}</tex>
 +
 +
<tex>EX_i = \sum\limits_{a_1,a_2, \dots , a_i} EX_{a_1,a_2, \dots , a_i} = C_n^iEX_{1, 2, \dots, i} = C_n^i P(1, 2, \dots, i - комп.связности) \leqslant C_n^i (1 - p)^{i(n - i)}</tex>.
 +
 +
<tex>EX \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} EX_i \leqslant \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} C_n^i(1 - p)^{i(n - i)}</tex>
 +
 +
Последняя сумма симметрична (слагаемые при <tex>i = k</tex> и <tex>i = n - k</tex> равны), кроме того слагаемое при <tex>i = 1</tex> {{---}} наибольшее (для доказательства достаточно рассмотреть отношения слагаемых при <tex>i \leqslant \dfrac{n}{8}</tex> и <tex>\dfrac{n}{8} < i \leqslant \dfrac{n}{2}</tex>).
 +
 +
Оценим сверху первое слагаемое <tex>n(1 - p)^{n - 1}</tex>:
 +
 +
<tex>n(1 - p)^{n - 1} \leqslant ne^{-p(n - 1)} \leqslant ne^{\frac{-3 (n - 1) \ln n}{n}}</tex>
 +
 +
<tex>n \geqslant 100</tex>, поэтому <tex>\dfrac{n - 1}{n} > 0.9</tex>.
 +
 +
<tex>ne^{\frac{-3 (n - 1) \ln n}{n}} < e^{-2.7\ln n} = \dfrac{1}{n^{2.7}}</tex>
 +
 +
<tex>\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} C_n^i(1 - p)^{i(n - i)} \leqslant \sum\limits_{i = 1}^{n - 1}\dfrac{1}{n^{2.7}} < \dfrac{n}{n^{2.7}} \rightarrow 0</tex>, при <tex>n \rightarrow \infty</tex>
 +
 +
 
}}
 
}}
  

Версия 19:29, 2 декабря 2019


Определение:
Биномиальная модель случайного графа (англ. binomial random graph model) [math]G(n, p)[/math] — модель, в которой каждое ребро входит в случайный граф независимо от остальных ребер с вероятностью [math]p[/math]. [math]G(n, p) = (\Omega_n, F_n, P_{n, p})[/math] вероятностное пространство . [math]|\Omega_n| = 2^{C^2_n}[/math], [math]P_{n, p}(G) = p^m(1 - p)^{C^2_n - m}[/math], где [math]m[/math] — число ребер в графе.


Определение:
Равномерная модель случайного графа (англ. uniform random graph model) [math]G(n, m)[/math] — модель, в которой все графы с [math]m[/math] ребрами равновероятны. [math]G(n, m) = (\Omega_n, F_n, P_{n, m})[/math] — вероятностное пространство. [math]|\Omega_n| = m[/math], [math]P_{n, m}(G) = \dfrac{1}{C^m_n}[/math].


Определение:
Свойство [math]A[/math] ассимптотически почти наверное истинно, если [math]\lim\limits_{n \rightarrow \infty} p(n) = 1[/math]


Определение:
Свойство [math]A[/math] ассимптотически почти наверное ложно, если [math]\lim\limits_{n \rightarrow \infty} p(n) = 0[/math]


Существование треугольников в случайном графе

Теорема:
Если [math]p(n) = o(\dfrac{1}{n})[/math], то [math]G(n, p)[/math] а.п.н не содержит треугольников.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]T[/math] — число треугольников в графе, [math]T_{i,j,k}[/math] — индикаторная случайная величина, равная [math]1[/math], если вершины [math]i[/math], [math]j[/math] и [math]k[/math] образуют треугольник.

Воспользуемся неравенством Маркова:

[math]P(T \gt 0) = P(T \geqslant 1) \leqslant ET = \sum\limits_{i, j, k}T_{i, j, k}p^3 = C^3_np^3 \sim \dfrac{n^3}{6}p^3 \rightarrow 0[/math], при [math]n \rightarrow \infty[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Если [math]p(n) = \omega(\dfrac{1}{n})[/math], то [math]G(n, p)[/math] а.п.н содержит треугольник.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]T[/math] — число треугольников в графе, [math]T_{i,j,k}[/math] — индикаторная случайная величина, равная [math]1[/math], если вершины [math]i[/math], [math]j[/math] и [math]k[/math] образуют треугольник.

Воспользуемся неравенством Чебышева:

[math]P(T = 0) = P(T \leqslant 0) = P(ET - T \geqslant ET) \leqslant P(|ET - T| \geqslant ET) \leqslant \dfrac{DT}{(ET)^2}[/math].

Найдем [math]ET^2[/math]:


[math]ET^2 = E(\sum\limits_{i, j, k}T_{i, j, k})^2= E(\sum\limits_{i, j, k}(T_{i, j, k})^2) + E(\sum\limits_{i, j, k, a, b, c}T_{i, j, k}T_{a, b, c}) =[/math]

[math]= ET + (C^3_nC^3_{n - 3} + C^3_nC^2_{n - 3})p^6 + 3C^3_n(n - 3)p^5 \sim \dfrac{n^3p^3}{6} + (\dfrac{n^6}{36} + \dfrac{n^5}{4})p^6 + \dfrac{n^4}{2}p^5 \sim \dfrac{n^3p^3}{6} + \dfrac{n^6p^6}{36} + \dfrac{n^4p^5}{2} \sim \dfrac{n^3p^3}{6} + \dfrac{n^6p^6}{36}[/math]

[math]DT = ET^2 - (ET)^2 \sim \dfrac{n^3p^3}{6} + \dfrac{n^6p^6}{36} - \dfrac{n^6p^6}{36} = \dfrac{n^3p^3}{6}[/math]

[math]P(T = 0) \leqslant \dfrac{\dfrac{n^3p^3}{6}}{\dfrac{n^6p^6}{36}} = \dfrac{6}{p^3n^3} \rightarrow 0[/math], при [math]n \rightarrow \infty[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Связность графа

Лемма:
Если [math]c \geqslant 3[/math], [math]n \geqslant 100[/math], [math]p = \dfrac{c\ln n}{n}[/math]. Тогда [math]P(G - связен) \rightarrow 1[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]X[/math] — индикаторная величина, равная [math]0[/math], если [math]G[/math] связен, и [math]k[/math], если [math]G[/math] содержит [math]k[/math] компонент связности.

[math]X_i[/math] — число компонент связности размера [math]i[/math].

[math]X_{a_1,a_2, \dots , a_i} = 1[/math], если [math]a_1,a_2, \dots , a_i[/math] — компонента связности.

[math]X_i = \sum\limits_{a_1,a_2, \dots , a_i} X_{a_1,a_2, \dots , a_i}[/math]

[math]EX_i = \sum\limits_{a_1,a_2, \dots , a_i} EX_{a_1,a_2, \dots , a_i} = C_n^iEX_{1, 2, \dots, i} = C_n^i P(1, 2, \dots, i - комп.связности) \leqslant C_n^i (1 - p)^{i(n - i)}[/math].

[math]EX \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} EX_i \leqslant \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} C_n^i(1 - p)^{i(n - i)}[/math]

Последняя сумма симметрична (слагаемые при [math]i = k[/math] и [math]i = n - k[/math] равны), кроме того слагаемое при [math]i = 1[/math] — наибольшее (для доказательства достаточно рассмотреть отношения слагаемых при [math]i \leqslant \dfrac{n}{8}[/math] и [math]\dfrac{n}{8} \lt i \leqslant \dfrac{n}{2}[/math]).

Оценим сверху первое слагаемое [math]n(1 - p)^{n - 1}[/math]:

[math]n(1 - p)^{n - 1} \leqslant ne^{-p(n - 1)} \leqslant ne^{\frac{-3 (n - 1) \ln n}{n}}[/math]

[math]n \geqslant 100[/math], поэтому [math]\dfrac{n - 1}{n} \gt 0.9[/math].

[math]ne^{\frac{-3 (n - 1) \ln n}{n}} \lt e^{-2.7\ln n} = \dfrac{1}{n^{2.7}}[/math]

[math]\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} C_n^i(1 - p)^{i(n - i)} \leqslant \sum\limits_{i = 1}^{n - 1}\dfrac{1}{n^{2.7}} \lt \dfrac{n}{n^{2.7}} \rightarrow 0[/math], при [math]n \rightarrow \infty[/math]
[math]\triangleleft[/math]
Лемма:
Если [math]c \geqslant 3[/math], [math]n \geqslant 100[/math], [math]p = \dfrac{c\ln n}{n}[/math]. Тогда [math]P(G - связен) \gt 1 - \dfrac{1}{n}[/math].
Теорема:
[math]p = \dfrac{c\ln n}{n}[/math], тогда при [math]c \lt 1[/math] граф а.п.н связен, при [math]c \gt 1[/math] граф а.п.н не связен.

Теоремы о связи вероятности и матожидания

Теорема:
Пусть [math]Z_n[/math] — число объектов в графе [math]G(n, p)[/math]. [math]A = \{G | Z_n(G) \gt 0 \}[/math] — свойство. Тогда, если [math]EZ_n \rightarrow 0[/math], при [math]n \rightarrow \infty[/math], то [math]A[/math] а.п.н ложно.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Воспользуемся неравенством Маркова:

[math]P(Z_n \gt 0) = P(Z_n \geqslant 1) \leqslant EZ \rightarrow 0[/math], при [math]n \rightarrow \infty[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Пусть [math]Z_n[/math] — число объектов в графе [math]G(n, p)[/math]. [math]A = \{G | Z_n(G) \gt 0 \}[/math] — свойство. Тогда, если [math]EZ_n \rightarrow \infty[/math], при [math]n \rightarrow \infty[/math], и [math]EZ^2 = (EZ)^2(1 + o(1))[/math] то [math]A[/math] а.п.н истинно.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Воспользуемся неравенством Чебышева:

[math]P(Z_n = 0) = P(Z_n \leqslant 0) = P(EZ_n - Z_n \geqslant EZ_n) \leqslant P(|EZ_n - Z_n| \geqslant EZ_n) \leqslant \dfrac{DZ_n}{(EZ_n)^2} \rightarrow 0[/math], при [math]n \rightarrow \infty[/math].
[math]\triangleleft[/math]

См. также