Редактирование: Смежные классы, теорема Лагранжа, нормальные подгруппы, факторгруппы

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
 
== Смежные классы ==
 
== Смежные классы ==
Левым смежным классом группы <tex>G</tex> по множеству <tex>H</tex> назовем множество вида <tex>aH=\lbrace a\cdot x\vert x\in H\rbrace\subseteq G</tex>
+
Левым смежным классом группы <math>G</math> по множеству <math>H</math> назовем множество вида <math>aH=\lbrace a\cdot x\vert x\in H\rbrace\subseteq G</math>
Аналогично определяется и правый смежный класс <tex>Ha</tex>. Для определенности далее рассматриваем только левые смежные классы, все результаты непосредственно переносятся и на правые.
+
Аналогично определяется и правый смежный класс <math>Ha</math>. Для определенности далее рассматриваем только левые смежные классы, все результаты непосредственно переносятся и на правые.
  
'''Теорема''': Левые смежные классы <tex>G</tex> по подгруппе <tex>H</tex> либо не пересекаются, либо совпадают.
+
'''Теорема''': Левые смежные классы <math>G</math> по подгруппе <math>H</math> либо не пересекаются, либо совпадают.
  
'''Доказательство''': Достаточно доказать, что если классы пересекаются, то они совпадают. Рассмотрим два класса <tex>aH</tex> и <tex>bH</tex> с общим элементом <tex>c</tex>. Докажем, что <tex>aH\subseteq bH</tex>. Пусть <tex>g=a\cdot h,\,h\in H</tex> принадлежит <tex>aH</tex>. Известно: <tex>c=a\cdot h_a=b\cdot h_b,\,h_a,h_b\in H\, \Rightarrow a=b\cdot h_b\cdot h_a^{-1}</tex>.
+
'''Доказательство''': Достаточно доказать, что если классы пересекаются, то они совпадают. Рассмотрим два класса <math>aH</math> и <math>bH</math> с общим элементом <math>c</math>. Докажем, что <math>aH\subseteq bH</math>. Пусть <math>g=a\cdot h,\,h\in H</math> принадлежит <math>aH</math>. Известно: <math>c=a\cdot h_a=b\cdot h_b,\,h_a,h_b\in H\, \Rightarrow a=b\cdot h_b\cdot h_a^{-1}</math>.
Тогда <tex>g=a\cdot h=b\cdot h_b\cdot h_a^{-1}\cdot h \in bH</tex>, поскольку <tex>h_b\cdot h_a^{-1}\cdot h\in H</tex>. Значит, <tex>aH\subseteq bH</tex>. Аналогично <tex>bH\subseteq aH</tex>.
+
Тогда <math>g=a\cdot h=b\cdot h_b\cdot h_a^{-1}\cdot h \in bH</math>, поскольку <math>h_b\cdot h_a^{-1}\cdot h\in H</math>. Значит, <math>aH\subseteq bH</math>. Аналогично <math>bH\subseteq aH</math>.
  
 
== Теорема Лагранжа ==
 
== Теорема Лагранжа ==
{{Теорема
+
'''Теорема:''' В конечных группах порядок любой подгруппы делит порядок группы.
|id=th3
 
|author=Лагранж
 
|statement=
 
В конечных группах порядок любой подгруппы делит порядок группы
 
|proof=
 
Пусть <tex>G</tex> - конечная группа, а <tex>H</tex> - ее подгруппа. Любой элемент <tex>G</tex> входит в некоторый смежный класс по <tex>H</tex> (<tex>a</tex> входит в <tex>aH</tex>). Мощность каждого класса равна <tex>\vert H\vert</tex>, т.к. отображение <tex>x\rightarrow a\cdot x </tex> биективно. Таким образом, вся G распадается на непересекающиеся смежные классы одинаковой мощности. Отсюда очевидно, что <tex>\vert G\vert</tex> делится на <tex>\vert H\vert</tex>.
 
}}
 
  
'''Следствие:''' <tex>a^{\vert G\vert}=e</tex>. Достаточно рассмотреть циклическую подгруппу <tex>H=\langle a\rangle</tex>: ее порядок равен порядку элемента <tex>a</tex>, но <tex>a^{\vert G\vert}=a^{\frac{\vert G\vert}{\vert H\vert}\vert H\vert}=(a^{\vert H\vert})^{\frac{\vert G\vert}{\vert H\vert}}=e</tex>.
+
'''Доказательство''': Пусть <math>G</math> - конечная группа, а <math>H</math> - ее подгруппа. Любой элемент <math>G</math> входит в некоторый смежный класс по <math>H</math> (<math>a</math> входит в <math>aH</math>). Мощность каждого класса равна <math>\vert H\vert</math>, т.к. отображение <math>x\rightarrow a\cdot x биективно</math>. Таким образом, вся G распадается на непересекающиеся смежные классы одинаковой мощности. Отсюда очевидно, что <math>\vert G\vert</math> делится на <math>\vert H\vert</math>.
  
'''Следствие:'''(теорема Ферма) Рассматривая в качестве <tex>G</tex> группу <tex>\mathbb{Z}_p</tex>, получаем при <tex>a<p</tex>:
+
'''Следствие:''' <math>a^{\vert G\vert}=e</math>. Достаточно рассмотреть циклическую подгруппу <math>H=\langle a\rangle</math>: ее порядок равен порядку элемента <math>a</math>, но <math>a^{\vert G\vert}=a^{\frac{\vert G\vert}{\vert H\vert}\vert H\vert}=(a^{\vert H\vert})^{\frac{\vert G\vert}{\vert H\vert}}=e</math>.
  
<tex>a^{\vert \mathbb{Z}_p\vert}=a^{p-1}\equiv 1\mod p \Leftrightarrow a^p\equiv a\mod p</tex>
+
'''Следствие:'''(теорема Ферма) Рассматривая в качестве <math>G</math> группу <math>\mathbb{Z}_p</math>, получаем при <math>a<p</math>:
 +
 
 +
<math>a^{\vert \mathbb{Z}_p\vert}=a^{p-1}\equiv 1\mod p \Leftrightarrow a^p\equiv a\mod p</math>
  
 
== Нормальные подгруппы ==
 
== Нормальные подгруппы ==
  
Подгруппа <tex>H</tex> группы <tex>G</tex> называется '''нормальной подгруппой''', если для любых <tex>x\in G</tex> выполнено <tex>xHx^{-1}=H</tex>. Т.е.:
+
Подгруппа <math>H</math> группы <math>G</math> называется '''нормальной подгруппой''', если для любых <math>x\in G</math> выполнено <math>xHx^{-1}=H</math>. Т.е.:
  
<tex>\forall x\in G,\,\forall h\in H : x\cdot h\cdot x^{-1}\in H</tex>
+
<math>\forall x\in G,\,\forall h\in H : x\cdot h\cdot x^{-1}\in H</math>
  
 
== Факторгруппа ==
 
== Факторгруппа ==
  
Рассмотрим группу <tex>G</tex> и ее нормальную подгруппу <tex>H</tex>. Пусть <tex>G/H</tex> - множество смежных классов <tex>G</tex> по <tex>H</tex>. Определим в <tex>G/H</tex> групповую операцию по следующему правилу: произведением двух классов является класс, в который входит произведение представителей этих классов. Проверим корректность этого определения. Пусть <tex>aH,bH\in G/H,\,a_1=a\cdot h_a\in aH,\,b_1=b\cdot h_b\in bH</tex>. Докажем, что <tex>abH=a_1 b_1 H</tex>. Достаточно показать, что <tex>a_1\cdot b_1 \in abH</tex>.
+
Рассмотрим группу <math>G</math> и ее нормальную подгруппу <math>H</math>. Пусть <math>G/H</math> - множество смежных классов <math>G</math> по <math>H</math>. Определим в <math>G/H</math> групповую операцию по следующему правилу: произведением двух классов является класс, в который входит произведение представителей этих классов. Проверим корректность этого определения. Пусть <math>aH,bH\in G/H,\,a_1=a\cdot h_a\in aH,\,b_1=b\cdot h_b\in bH</math>. Докажем, что <math>abH=a_1 b_1 H</math>. Достаточно показать, что <math>a_1\cdot b_1 \in abH</math>.
 
 
<tex>a_1\cdot b_1=a\cdot h_a\cdot b\cdot h_b=a\cdot b\cdot (b^{-1}\cdot h_a\cdot b)\cdot h_b=a\cdot b\cdot h\cdot h_b\in abH</tex>
 
 
 
Таким образом, фактормножество <tex>G/H</tex> образует подгруппу, которая называется факторгруппой <tex>G</tex> по <tex>H</tex> . Нейтральным элементом является <tex>H</tex>, обратным к <tex>aH</tex> - <tex>a^{-1}H</tex>.
 
 
 
  
[[Категория: Теория групп]]
+
<math>a_1\cdot b_1=a\cdot h_a\cdot b\cdot h_b=a\cdot b\cdot (b^{-1}\cdot h_a\cdot b)\cdot h_b=a\cdot b\cdot h\cdot h_b\in abH</math>
  
[[Категория: В разработке]]
+
Таким образом, фактормножество <math>G/H</math> образует подгруппу, которая называется факторгруппой <math>G</math> по <math>H</math> . Нейтральным элементом является <math>H</math>, обратным к <math>aH</math> - <math>a^{-1}H</math>.

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблон, используемый на этой странице: