Редактирование: Смежные классы, теорема Лагранжа, нормальные подгруппы, факторгруппы

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
 
== Смежные классы ==
 
== Смежные классы ==
Левым смежным классом группы <tex>G</tex> по множеству <tex>H</tex> назовем множество вида <tex>aH=\lbrace a\cdot x\vert x\in H\rbrace\subseteq G</tex>
+
Левым смежным классом группы <math>G</math> по множеству <math>H</math> назовем множество вида <math>aH=\lbrace a\cdot x\vert x\in H\rbrace\subseteq G</math>
Аналогично определяется и правый смежный класс <tex>Ha</tex>. Для определенности далее рассматриваем только левые смежные классы, все результаты непосредственно переносятся и на правые.
+
Аналогично определяется и правый смежный класс <math>Ha</math>. Для определенности далее рассматриваем только левые смежные классы, все результаты непосредственно переносятся и на правые.
  
'''Теорема''': Левые смежные классы <tex>G</tex> по подгруппе <tex>H</tex> либо не пересекаются, либо совпадают.
+
'''Теорема''': Левые смежные классы <math>G</math> по подгруппе <math>H</math> либо не пересекаются, либо совпадают.
  
'''Доказательство''': Достаточно доказать, что если классы пересекаются, то они совпадают. Рассмотрим два класса <tex>aH</tex> и <tex>bH</tex> с общим элементом <tex>c</tex>. Докажем, что <tex>aH\subseteq bH</tex>. Пусть <tex>g=a\cdot h,\,h\in H</tex> принадлежит <tex>aH</tex>. Известно: <tex>c=a\cdot h_a=b\cdot h_b,\,h_a,h_b\in H\, \Rightarrow a=b\cdot h_b\cdot h_a^{-1}</tex>.
+
'''Доказательство''': Достаточно доказать, что если классы пересекаются, то они совпадают. Рассмотрим два класса <math>aH</math> и <math>bH</math> с общим элементом <math>c</math>. Докажем, что <math>aH\subseteq bH</math>. Пусть <math>g=a\cdot h,\,h\in H</math> принадлежит <math>aH</math>. Известно: <math>c=a\cdot h_a=b\cdot h_b,\,h_a,h_b\in H\, \Rightarrow a=b\cdot h_b\cdot h_a^{-1}</math>.
Тогда <tex>g=a\cdot h=b\cdot h_b\cdot h_a^{-1}\cdot h \in bH</tex>, поскольку <tex>h_b\cdot h_a^{-1}\cdot h\in H</tex>. Значит, <tex>aH\subseteq bH</tex>. Аналогично <tex>bH\subseteq aH</tex>.
+
Тогда <math>g=a\cdot h=b\cdot h_b\cdot h_a^{-1}\cdot h \in bH</math>, поскольку <math>h_b\cdot h_a^{-1}\cdot h\in H</math>. Значит, <math>aH\subseteq bH</math>. Аналогично <math>bH\subseteq aH</math>.
  
 
== Теорема Лагранжа ==
 
== Теорема Лагранжа ==

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблон, используемый на этой странице: