Смежные классы, теорема Лагранжа, нормальные подгруппы, факторгруппы — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Нормальные подгруппы)
(Теорема Лагранжа)
 
(не показано 8 промежуточных версий 3 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
== Смежные классы ==
 
== Смежные классы ==
Левым смежным классом группы <math>G</math> по множеству <math>H</math> назовем множество вида <math>aH=\lbrace a\cdot x\vert x\in H\rbrace\subseteq G</math>
+
Левым смежным классом группы <tex>G</tex> по множеству <tex>H</tex> назовем множество вида <tex>aH=\lbrace a\cdot x\vert x\in H\rbrace\subseteq G</tex>
Аналогично определяется и правый смежный класс <math>Ha</math>. Для определенности далее рассматриваем только левые смежные классы, все результаты непосредственно переносятся и на правые.
+
Аналогично определяется и правый смежный класс <tex>Ha</tex>. Для определенности далее рассматриваем только левые смежные классы, все результаты непосредственно переносятся и на правые.
  
'''Теорема''': Левые смежные классы <math>G</math> по подгруппе <math>H</math> либо не пересекаются, либо совпадают.
+
'''Теорема''': Левые смежные классы <tex>G</tex> по подгруппе <tex>H</tex> либо не пересекаются, либо совпадают.
  
'''Доказательство''': Достаточно доказать, что если классы пересекаются, то они совпадают. Рассмотрим два класса <math>aH</math> и <math>bH</math> с общим элементом <math>c</math>. Докажем, что <math>aH\subseteq bH</math>. Пусть <math>g=a\cdot h,\,h\in H</math> принадлежит <math>aH</math>. Известно: <math>c=a\cdot h_a=b\cdot h_b,\,h_a,h_b\in H\, \Rightarrow a=b\cdot h_b\cdot h_a^{-1}</math>.
+
'''Доказательство''': Достаточно доказать, что если классы пересекаются, то они совпадают. Рассмотрим два класса <tex>aH</tex> и <tex>bH</tex> с общим элементом <tex>c</tex>. Докажем, что <tex>aH\subseteq bH</tex>. Пусть <tex>g=a\cdot h,\,h\in H</tex> принадлежит <tex>aH</tex>. Известно: <tex>c=a\cdot h_a=b\cdot h_b,\,h_a,h_b\in H\, \Rightarrow a=b\cdot h_b\cdot h_a^{-1}</tex>.
Тогда <math>g=a\cdot h=b\cdot h_b\cdot h_a^{-1}\cdot h \in bH</math>, поскольку <math>h_b\cdot h_a^{-1}\cdot h\in H</math>. Значит, <math>aH\subseteq bH</math>. Аналогично <math>bH\subseteq aH</math>.
+
Тогда <tex>g=a\cdot h=b\cdot h_b\cdot h_a^{-1}\cdot h \in bH</tex>, поскольку <tex>h_b\cdot h_a^{-1}\cdot h\in H</tex>. Значит, <tex>aH\subseteq bH</tex>. Аналогично <tex>bH\subseteq aH</tex>.
  
 
== Теорема Лагранжа ==
 
== Теорема Лагранжа ==
'''Теорема:''' В конечных группах порядок любой подгруппы делит порядок группы.
+
{{Теорема
 +
|id=th3
 +
|author=Лагранж
 +
|statement=
 +
В конечных группах порядок любой подгруппы делит порядок группы
 +
|proof=
 +
Пусть <tex>G</tex> - конечная группа, а <tex>H</tex> - ее подгруппа. Любой элемент <tex>G</tex> входит в некоторый смежный класс по <tex>H</tex> (<tex>a</tex> входит в <tex>aH</tex>). Мощность каждого класса равна <tex>\vert H\vert</tex>, т.к. отображение <tex>x\rightarrow a\cdot x </tex> биективно. Таким образом, вся G распадается на непересекающиеся смежные классы одинаковой мощности. Отсюда очевидно, что <tex>\vert G\vert</tex> делится на <tex>\vert H\vert</tex>.
 +
}}
  
'''Доказательство''': Пусть <math>G</math> - конечная группа, а <math>H</math> - ее подгруппа. Любой элемент <math>G</math> входит в некоторый смежный класс по <math>H</math> (<math>a</math> входит в <math>aH</math>). Мощность каждого класса равна <math>\vert H\vert</math>, т.к. отображение <math>x\rightarrow a\cdot x биективно</math>. Таким образом, вся G распадается на непересекающиеся смежные классы одинаковой мощности. Отсюда очевидно, что <math>\vert G\vert</math> делится на <math>\vert H\vert</math>.
+
'''Следствие:''' <tex>a^{\vert G\vert}=e</tex>. Достаточно рассмотреть циклическую подгруппу <tex>H=\langle a\rangle</tex>: ее порядок равен порядку элемента <tex>a</tex>, но <tex>a^{\vert G\vert}=a^{\frac{\vert G\vert}{\vert H\vert}\vert H\vert}=(a^{\vert H\vert})^{\frac{\vert G\vert}{\vert H\vert}}=e</tex>.
  
'''Следствие:''' <math>a^{\vert G\vert}=e</math>. Достаточно рассмотреть циклическую подгруппу <math>H=\langle a\rangle</math>: ее порядок равен порядку элемента <math>a</math>, но <math>a^{\vert G\vert}=a^{\frac{\vert G\vert}{\vert H\vert}\vert H\vert}=(a^{\vert H\vert})^{\frac{\vert G\vert}{\vert H\vert}}=e</math>.
+
'''Следствие:'''(теорема Ферма) Рассматривая в качестве <tex>G</tex> группу <tex>\mathbb{Z}_p</tex>, получаем при <tex>a<p</tex>:
  
'''Следствие:'''(теорема Ферма) Рассматривая в качестве <math>G</math> группу <math>\mathbb{Z}_p</math>, получаем при <math>a<p</math>:
+
<tex>a^{\vert \mathbb{Z}_p\vert}=a^{p-1}\equiv 1\mod p \Leftrightarrow a^p\equiv a\mod p</tex>
 
 
<math>a^{\vert \mathbb{Z}_p\vert}=a^{p-1}\equiv 1\mod p \Leftrightarrow a^p\equiv a\mod p</math>
 
  
 
== Нормальные подгруппы ==
 
== Нормальные подгруппы ==
Строка 35: Строка 40:
  
 
[[Категория: Теория групп]]
 
[[Категория: Теория групп]]
 +
 +
[[Категория: В разработке]]

Текущая версия на 13:37, 18 апреля 2020

Смежные классы[править]

Левым смежным классом группы [math]G[/math] по множеству [math]H[/math] назовем множество вида [math]aH=\lbrace a\cdot x\vert x\in H\rbrace\subseteq G[/math] Аналогично определяется и правый смежный класс [math]Ha[/math]. Для определенности далее рассматриваем только левые смежные классы, все результаты непосредственно переносятся и на правые.

Теорема: Левые смежные классы [math]G[/math] по подгруппе [math]H[/math] либо не пересекаются, либо совпадают.

Доказательство: Достаточно доказать, что если классы пересекаются, то они совпадают. Рассмотрим два класса [math]aH[/math] и [math]bH[/math] с общим элементом [math]c[/math]. Докажем, что [math]aH\subseteq bH[/math]. Пусть [math]g=a\cdot h,\,h\in H[/math] принадлежит [math]aH[/math]. Известно: [math]c=a\cdot h_a=b\cdot h_b,\,h_a,h_b\in H\, \Rightarrow a=b\cdot h_b\cdot h_a^{-1}[/math]. Тогда [math]g=a\cdot h=b\cdot h_b\cdot h_a^{-1}\cdot h \in bH[/math], поскольку [math]h_b\cdot h_a^{-1}\cdot h\in H[/math]. Значит, [math]aH\subseteq bH[/math]. Аналогично [math]bH\subseteq aH[/math].

Теорема Лагранжа[править]

Теорема (Лагранж):
В конечных группах порядок любой подгруппы делит порядок группы
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Пусть [math]G[/math] - конечная группа, а [math]H[/math] - ее подгруппа. Любой элемент [math]G[/math] входит в некоторый смежный класс по [math]H[/math] ([math]a[/math] входит в [math]aH[/math]). Мощность каждого класса равна [math]\vert H\vert[/math], т.к. отображение [math]x\rightarrow a\cdot x [/math] биективно. Таким образом, вся G распадается на непересекающиеся смежные классы одинаковой мощности. Отсюда очевидно, что [math]\vert G\vert[/math] делится на [math]\vert H\vert[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Следствие: [math]a^{\vert G\vert}=e[/math]. Достаточно рассмотреть циклическую подгруппу [math]H=\langle a\rangle[/math]: ее порядок равен порядку элемента [math]a[/math], но [math]a^{\vert G\vert}=a^{\frac{\vert G\vert}{\vert H\vert}\vert H\vert}=(a^{\vert H\vert})^{\frac{\vert G\vert}{\vert H\vert}}=e[/math].

Следствие:(теорема Ферма) Рассматривая в качестве [math]G[/math] группу [math]\mathbb{Z}_p[/math], получаем при [math]a\lt p[/math]:

[math]a^{\vert \mathbb{Z}_p\vert}=a^{p-1}\equiv 1\mod p \Leftrightarrow a^p\equiv a\mod p[/math]

Нормальные подгруппы[править]

Подгруппа [math]H[/math] группы [math]G[/math] называется нормальной подгруппой, если для любых [math]x\in G[/math] выполнено [math]xHx^{-1}=H[/math]. Т.е.:

[math]\forall x\in G,\,\forall h\in H : x\cdot h\cdot x^{-1}\in H[/math]

Факторгруппа[править]

Рассмотрим группу [math]G[/math] и ее нормальную подгруппу [math]H[/math]. Пусть [math]G/H[/math] - множество смежных классов [math]G[/math] по [math]H[/math]. Определим в [math]G/H[/math] групповую операцию по следующему правилу: произведением двух классов является класс, в который входит произведение представителей этих классов. Проверим корректность этого определения. Пусть [math]aH,bH\in G/H,\,a_1=a\cdot h_a\in aH,\,b_1=b\cdot h_b\in bH[/math]. Докажем, что [math]abH=a_1 b_1 H[/math]. Достаточно показать, что [math]a_1\cdot b_1 \in abH[/math].

[math]a_1\cdot b_1=a\cdot h_a\cdot b\cdot h_b=a\cdot b\cdot (b^{-1}\cdot h_a\cdot b)\cdot h_b=a\cdot b\cdot h\cdot h_b\in abH[/math]

Таким образом, фактормножество [math]G/H[/math] образует подгруппу, которая называется факторгруппой [math]G[/math] по [math]H[/math] . Нейтральным элементом является [math]H[/math], обратным к [math]aH[/math] - [math]a^{-1}H[/math].