Изменения

Левым смежным классом группы <mathtex>G</mathtex> по множеству <mathtex>H</mathtex> назовем множество вида <mathtex>aH=\lbrace a\cdot x\vert x\in H\rbrace\subseteq G</mathtex>Аналогично определяется и правый смежный класс <mathtex>Ha</mathtex>. Для определенности далее рассматриваем только левые смежные классы, все результаты непосредственно переносятся и на правые.

'''Теорема''': Левые смежные классы <mathtex>G</mathtex> по подгруппе <mathtex>H</mathtex> либо не пересекаются, либо совпадают.

'''Доказательство''': Достаточно доказать, что если классы пересекаются, то они совпадают. Рассмотрим два класса <mathtex>aH</mathtex> и <mathtex>bH</mathtex> с общим элементом <mathtex>c</mathtex>. Докажем, что <mathtex>aH\subseteq bH</mathtex>. Пусть <mathtex>g=a\cdot h,\,h\in H</mathtex> принадлежит <mathtex>aH</mathtex>. Известно: <mathtex>c=a\cdot h_a=b\cdot h_b,\,h_a,h_b\in H\, \Rightarrow a=b\cdot h_b\cdot h_a^{-1}</mathtex>.Тогда <mathtex>g=a\cdot h=b\cdot h_b\cdot h_a^{-1}\cdot h \in bH</mathtex>, поскольку <mathtex>h_b\cdot h_a^{-1}\cdot h\in H</mathtex>. Значит, <mathtex>aH\subseteq bH</mathtex>. Аналогично <mathtex>bH\subseteq aH</mathtex>.

'''{{Теорема:''' |id=th3|author=Лагранж|statement=В конечных группах порядок любой подгруппы делит порядок группы|proof=Пусть <tex>G</tex> - конечная группа, а <tex>H</tex> - ее подгруппа.Любой элемент <tex>G</tex> входит в некоторый смежный класс по <tex>H</tex> (<tex>a</tex> входит в <tex>aH</tex>). Мощность каждого класса равна <tex>\vert H\vert</tex>, т.к. отображение <tex>x\rightarrow a\cdot x </tex> биективно. Таким образом, вся G распадается на непересекающиеся смежные классы одинаковой мощности. Отсюда очевидно, что <tex>\vert G\vert</tex> делится на <tex>\vert H\vert</tex>.}}

'''ДоказательствоСледствие:''': Пусть <mathtex>a^{\vert G\vert}=e</mathtex> - конечная группа, а . Достаточно рассмотреть циклическую подгруппу <mathtex>H=\langle a\rangle</mathtex> - : ее подгруппа. Любой элемент порядок равен порядку элемента <mathtex>Ga</mathtex> входит в некоторый смежный класс по , но <mathtex>a^{\vert G\vert}=a^{\frac{\vert G\vert}{\vert H\vert}\vert H</math> \vert}=(<math>a</math> входит в <math>aH</math>). Мощность каждого класса равна <math>^{\vert H\vert</math>, т.к. отображение <math>x\rightarrow a})^{\cdot x биективно</math>. Таким образом, вся G распадается на непересекающиеся смежные классы одинаковой мощности. Отсюда очевидно, что <math>frac{\vert G\vert</math> делится на <math>}{\vert H\vert}}=e</mathtex>.

'''Следствие:''' (теорема Ферма) Рассматривая в качестве <mathtex>a^{\vert G\vert}=e</mathtex>. Достаточно рассмотреть циклическую подгруппу группу <mathtex>H=\langle a\ranglemathbb{Z}_p</mathtex>: ее порядок равен порядку элемента , получаем при <mathtex>a</math>, но <math>a^{\vert G\vert}=a^{\frac{\vert G\vert}{\vert H\vert}\vert H\vert}=(a^{\vert H\vert})^{\frac{\vert G\vert}{\vert H\vert}}=ep</mathtex>.:

'''Следствие:'''(теорема Ферма) Рассматривая в качестве <math>G</math> группу <math>\mathbb{Z}_p</math>, получаем при <math>a<p</math>: <mathtex>a^{\vert \mathbb{Z}_p\vert}=a^{p-1}\equiv 1\mod p \Leftrightarrow a^p\equiv a\mod p</mathtex>