Изменения

Левым смежным классом группы <mathtex>G</mathtex> по множеству <mathtex>H</mathtex> назовем множество вида <mathtex>aH=\lbrace a\cdot x\vert x\in H\rbrace\subseteq G</mathtex>Аналогично определяется и правый смежный класс <mathtex>Ha</mathtex>. Для определенности далее рассматриваем только левые смежные классы, все результаты непосредственно переносятся и на правые.

'''Теорема''': Левые смежные классы <mathtex>G</mathtex> по подгруппе <mathtex>H</mathtex> либо не пересекаются, либо совпадают.

'''Доказательство''': Достаточно доказать, что если классы пересекаются, то они совпадают. Рассмотрим два класса <mathtex>aH</mathtex> и <mathtex>bH</mathtex> с общим элементом <mathtex>c</mathtex>. Докажем, что <mathtex>aH\subseteq bH</mathtex>. Пусть <mathtex>g=a\cdot h,\,h\in H</mathtex> принадлежит <mathtex>aH</mathtex>. Известно: <mathtex>c=a\cdot h_a=b\cdot h_b,\,h_a,h_b\in H\, \Rightarrow a=b\cdot h_b\cdot h_a^{-1}</mathtex>.Тогда <mathtex>g=a\cdot h=b\cdot h_b\cdot h_a^{-1}\cdot h \in bH</mathtex>, поскольку <mathtex>h_b\cdot h_a^{-1}\cdot h\in H</mathtex>. Значит, <mathtex>aH\subseteq bH</mathtex>. Аналогично <mathtex>bH\subseteq aH</mathtex>.

'''{{Теорема:''' |id=th3|author=Лагранж|statement=В конечных группах порядок любой подгруппы делит порядок группы.|proof='''Доказательство''': Пусть <tex>G</tex> - конечная группа, а <tex>H</tex> - ее подгруппа. Любой элемент <tex>G</tex> входит в некоторый смежный класс по <tex>H</tex> (<tex>a</tex> входит в <tex>aH</tex>). Мощность каждого класса равна <tex>\vert H\vert</tex>, т.к. отображение <tex>x\rightarrow a\cdot x биективно</tex>биективно. Таким образом, вся G распадается на непересекающиеся смежные классы одинаковой мощности. Отсюда очевидно, что <tex>\vert G\vert</tex> делится на <tex>\vert H\vert</tex>.}}