== Теорема Лагранжа ==
'''{{Теорема:''' |id=th3|author=Лагранж|statement=В конечных группах порядок любой подгруппы делит порядок группы.|proof='''Доказательство''': Пусть <tex>G</tex> - конечная группа, а <tex>H</tex> - ее подгруппа. Любой элемент <tex>G</tex> входит в некоторый смежный класс по <tex>H</tex> (<tex>a</tex> входит в <tex>aH</tex>). Мощность каждого класса равна <tex>\vert H\vert</tex>, т.к. отображение <tex>x\rightarrow a\cdot x биективно</tex>биективно. Таким образом, вся G распадается на непересекающиеся смежные классы одинаковой мощности. Отсюда очевидно, что <tex>\vert G\vert</tex> делится на <tex>\vert H\vert</tex>.}}
'''Следствие:''' <tex>a^{\vert G\vert}=e</tex>. Достаточно рассмотреть циклическую подгруппу <tex>H=\langle a\rangle</tex>: ее порядок равен порядку элемента <tex>a</tex>, но <tex>a^{\vert G\vert}=a^{\frac{\vert G\vert}{\vert H\vert}\vert H\vert}=(a^{\vert H\vert})^{\frac{\vert G\vert}{\vert H\vert}}=e</tex>.
[[Категория: Теория групп]]
[[Категория: В разработке]]
