Изменения
→Теорема Лагранжа
== Смежные классы ==
Левым смежным классом группы <tex>G</tex> по множеству <tex>H</tex> назовем множество вида <tex>aH=\lbrace a\cdot x\vert x\in H\rbrace\subseteq G</tex>
'''Доказательство''': Достаточно доказать, что если классы пересекаются, то они совпадают. Рассмотрим два класса <tex>aH</tex> и <tex>bH</tex> с общим элементом <tex>c</tex>. Докажем, что <tex>aH\subseteq bH</tex>. Пусть <tex>g=a\cdot h,\,h\in H</tex> принадлежит <tex>aH</tex>. Известно: <tex>c=a\cdot h_a=b\cdot h_b,\,h_a,h_b\in H\, \Rightarrow a=b\cdot h_b\cdot h_a^{-1}</tex>.
Тогда <tex>g=a\cdot h=b\cdot h_b\cdot h_a^{-1}\cdot h \in bH</tex>, поскольку <tex>h_b\cdot h_a^{-1}\cdot h\in H</tex>. Значит, <tex>aH\subseteq bH</tex>. Аналогично <tex>bH\subseteq aH</tex>.
== Теорема Лагранжа ==
В конечных группах порядок любой подгруппы делит порядок группы
|proof=
Пусть <tex>G</tex> - конечная группа, а <tex>H</tex> - ее подгруппа. Любой элемент <tex>G</tex> входит в некоторый смежный класс по <tex>H</tex> (<tex>a</tex> входит в <tex>aH</tex>). Мощность каждого класса равна <tex>\vert H\vert</tex>, т.к. отображение <tex>x\rightarrow a\cdot x биективно</tex>биективно. Таким образом, вся G распадается на непересекающиеся смежные классы одинаковой мощности. Отсюда очевидно, что <tex>\vert G\vert</tex> делится на <tex>\vert H\vert</tex>.
}}
[[Категория: Теория групп]]
[[Категория: В разработке]]
