Изменения

пусть Пусть <tex>\mathcal{A:}\colon X \to X</tex> - линейный оператор (ЛО)<br> <tex>x\ne 0_x</tex> называется '''собственным вектором'''<tex>\mathcal{A}</tex>, если <tex>x \in L</tex>, где <tex>L</tex> {{--- }} [[Инвариантные подпространства | инвариантное подпространство ]] <tex>\mathcal{A}</tex>, b и <tex>dimL \dim L = 1</tex>

пусть Пусть <tex>\mathcal{A:}\colon X \to X</tex> <br> <tex>x\ne 0_x0_X</tex> называется '''собственным вектором'''<tex>\mathcal{A}</tex>, если существует <tex>\lambda \in F : Ax \colon \mathcal{A}x = \lambda x</tex>

{{Лемма|id=lemma1 |author=|about=|statement=Предыдущие 2 определения эквивалентны.|proof=<math> (1) \Rightarrow (2) \colon x \in L, \dim L=1 \Rightarrow \mathcal{A}x \in L \ (</math>т. к. <math>x \ne 0_X \Rightarrow</math> базис <math>L = \{x\}) \Rightarrow \mathcal{A}x=\lambda x</math> (единственным образом) <br><tex> (1) \Leftarrow (2) \colon \exists \lambda: \mathcal{A}x = \lambda x \Rightarrow x \in</ здесь лемма что эквивалентныtex> одномерному подпространству <tex>L</tex>, где <tex>L =</tex> линейная оболочка <tex>\{x\}, \mathcal{A}x = \lambda x \in L</tex>}}

<tex>\lambda</tex> в равенстве <tex>Ax \mathcal{A}x = \lambda x</tex> называется '''собственным числом(собственным значением)''' ЛО <tex>\mathcal{A}</tex>}} {{Определение|id=def4. |neat = |definition='''Спектром''' <tex>\sigma</tex> ЛО называется множество всех его '''собственных значений''' <br><tex>\sigma (\mathcal{A}) = \sigma _\mathcal{A} = \{ \lambda _i \}</tex>}}  // здесь мог быть пример, но думаю всем и так понятно ===Свойства==={{Теорема|id=th1. |author=|about=|statement='''Собственные векторы''', отвечающие различным '''собственным значениям''' образуют ЛНЗ набор|proof=1) База: рассмотрим <tex>\lambda \leftrightarrow x_1 \ne 0_x\ \{x_1\}</tex> - ЛНЗ набор.<br>2) <tex>\{x_1,x_2, ... , x_{m-1}\} \leftrightarrow \{\lambda _1, ... \lambda _ {m-1} \}</tex> - ЛНЗ. Рассмотрим <tex>\{x_1, ..., x_m \} </tex>- докажем, что тоже ЛНЗ. <tex>\sum\limits_{i=1}^m \alpha^i x_i = 0 </tex> <tex>\mathcal{A}( \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i x_i) = \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i Ax_i = \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i \lambda_i x_i = 0_x</tex> (1) <tex>\lambda_m( \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i x_i) = \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i \lambda_m x_i = 0_x</tex> (2) (1) - (2) : <tex>\alpha_1(\lambda_1 - \lambda_m)x_1 + ... + \alpha_{m-1}(\lambda_{m-1} - \lambda_m)x_{m-1} + 0_x = 0_x</tex> По предположению индукции <tex>\{x_1,x_2, ... , x_{m-1}\}</tex> - ЛНЗ <tex>\Rightarrow \alpha_1 (\lambda_1-\lambda_m)=0 ... \alpha_{m-1} (\lambda_{m-1} - \lambda_{m}) =0 </tex>, при этом все <tex>(\lambda_{i-1}-\lambda_m) \ne 0</tex> <tex>\Rightarrow </tex> все <tex>\alpha_i = 0</tex> <tex>\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^m \alpha_i x_i = 0_x</tex> <tex>\Rightarrow \alpha_m x_m = 0_x </tex>, где <tex>x_m \ne 0_x</tex> <tex>\Rightarrow \alpha_m=0</tex>, т.е. набор ЛНЗ.}}  {{Лемма|id=lemma2. |author=|about=|statement=Множество всех собственных векторов, отвечающих одному и тому же собственному значению оператора <tex>\mathcal{A}</tex>, образует подпространство пространства <tex>X</tex>.|proof=1) Если <tex>x</tex> {{---}} св, то и <tex> \alpha x</tex> {{---}} тоже св. 2) Если <tex>x,y</tex> {{---}} св, то и <tex>x+y</tex> {{---}} тоже св. Из 1 и 2 <tex>\Rightarrow</tex> что лемма доказана (по определению подпространства) }}  {{Определение|id=def45 |neat = |definition=<tex>L = </tex> линейная оболочка <tex>\{</tex> все СВ <tex> x_i \leftrightarrow \lambda_i \}</tex> называют собственным подпространством <tex>X \leftrightarrow</tex> СЗ <tex>\lambda_i</tex>}}  {{Лемма|id=lemma3. |author=|about=|statement=Пусть L - линейная оболочка<tex>\{ </tex> всех <tex>x_i \leftrightarrow \lambda_i\}</tex>Пусть <tex>X_{\lambda i}</tex> - собственное подпространство X <tex>\leftrightarrow \lambda_i</tex>Тогда <tex>L = X_{\lambda i}</tex>|proof=Сначала <tex>\subseteq</tex> потом <tex>\supseteq</tex> <tex>\Rightarrow</tex> доказательство (так в конспекте);Вообще не понятно, зачем эта лемма, ибо она по определению.}}  {{Лемма|id=lemma4. |author=|about= (следствие из теоремы)|statement=У ЛО не может быть больше <tex>n</tex> СЗ, где <tex>n = dimX</tex>|proof= (идет как упражнение)По теореме выше, набор собственных векторов - ЛНЗ набор. <tex>\Rightarrow</tex> их не больше чем размерность пространства, а <tex>dim X = n </tex>.}} == Поиск СЗ и СВ == <tex>x \ne 0_x</tex> и<tex>\mathcal{A}x = \lambda x \Leftrightarrow \mathcal{A}x - \lambda \mathcal{I} x = 0 \Leftrightarrow (\mathcal{A} - \lambda \mathcal{I})X = 0 </tex> <math dpi = "145">{C}= \begin{pmatrix} ({\alpha}_{1}^{1}- \lambda) \xi^1 & {\alpha}_{2}^{1} \xi^2 & \cdots & {\alpha}_{n}^{1} \xi^n \\{\alpha}_{1}^{2} \xi^1 & ({\alpha}_{2}^{2}- \lambda) \xi^2 & \cdots & {\alpha}_{n}^{2} \xi^n \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\{\alpha}_{1}^{n} \xi^1 & {\alpha}_{2}^{n} \xi^2 & \cdots & ({\alpha}_{n}^{n}- \lambda) \xi^n \\\end{pmatrix}</math> Если <tex>det(A- \lambda E) \ne 0 \Rightarrow \exists </tex> тривиальное решение <tex>(0,0 ... ,0)^T</tex> Если <tex>det(A- \lambda E) = 0 \Rightarrow \exists </tex> нетривиальное решение <tex>\Rightarrow \exists</tex> СВ <tex>x</tex> <tex>\mathcal{X}_A (\lambda) = 0 </tex> - характеристический полином <tex>det(A- \lambda E) = 0</tex> - уравнение на СЗ, а<tex>det(A- \lambda E)X = 0</tex> - уравнение на СВ Из уравнения на СЗ находим <tex>\{\lambda_i \}</tex> - корни характеристического полинома, они же - характеристические числа. Затем подставляем каждую <tex>\lambda_i</tex> в уравнение на СВ по очереди на находим СВ <tex>x_i \leftrightarrow \lambda_i</tex>. Так найдутся все СВ. {{Теорема|id=th2. |author=|about=|statement=Пусть <tex> \mathcal{A} : X \to X, X</tex> над С, тогда у <tex>\mathcal{A}</tex> есть хотя бы одно СЗ и один СВ.|proof=[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D1%8B Основная теорема алгебры] гласит, что у <tex>\forall</tex>полинома комплексной переменной всегда есть корень.