1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
==Лемма о сравнимости по модулю 2==
{{Лемма
|id = lemma1.
|statement =
Пусть <tex>G</tex> {{---}} <tex>k</tex>-[[Основные определения теории графов#defRegularGraph |регулярный граф]], <tex>U \in V(G)</tex>, <tex>|U|</tex> нечётно, <tex>m</tex> {{---}} число рёбер, соединяющих вершины множества <tex>U</tex> с вершинами из <tex>V(G) \setminus U</tex>. Тогда <tex>m \equiv k \pmod 2</tex>
|proof =
[[Файл:Сравнимость.png|300px|thumb|left|Иллюстрация к лемме]]
<tex>m = (\sum\limits_{v \in U} d_G(v)) - 2e(G(U))</tex>, где <tex>e(G(U))</tex> {{---}} количество рёбер, соединяющих вершину из <tex>U</tex> с другой вершиной из <tex>U</tex>.
тогда <tex>m = k|U| - 2e(G(U))</tex>. <tex>2e(G(U))</tex> чётно, поэтому <tex>m \equiv k|U| \pmod 2</tex>. Так как <tex> |U|</tex> нечётно, <tex>m \equiv k \pmod 2</tex>.
}}
{{Теорема
|id=th1.
|author=Петерсон
|statement = Пусть <tex>G</tex>{{---}}[[Отношение связности, компоненты связности#connected_graph | связный]] кубический граф, в котором не более <tex>32</tex> [[Мост, эквивалентные определения | мостов]]. Тогда в <tex>G</tex> есть [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях#perfect_matching | совершенное паросочетание]].
|proof =
Предположим, что совершенного паросочетания в <tex>G</tex> нет, тогда можно выбрать [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания#Tutt_set | множество Татта]] <tex>S \subset V(G)</tex>.
Пусть <tex>U_1, \ldots, U_n</tex> {{---}} все нечётные компоненты связности графа <tex>G \setminus S</tex>. <tex>m_i</tex> {{---}} количество ребёр <tex>G</tex>, связывающих вершины <tex>U_i</tex> с вершинами <tex>S</tex>. По предыдущей лемме, все <tex>m_i</tex> нечётны. Так как не более чем два ребра графа <tex>G</tex> {{---}} мосты, то не более, чем два числа из <tex>m_1, \ldots, m_n</tex> равны <tex>1</tex>, остальные числа не менее <tex>3</tex>.
Так как <tex>S</tex> {{---}} множество Татта, то <tex>odd(G \setminus S) > |S|</tex>. Так как количество вершин кубического графа <tex>G</tex> чётно, мы имеем <tex>S \neq \emptyset, odd(G \setminus S) \equiv S \pmod 2</tex>, следовательно, <tex>n = odd(G \setminus S) \geqslant |S| + 2</tex>. Тогда
<tex>\sum\limits_{v \in S} d_G(v) \geqslant \sum\limits_{i = 1}^n m_i \geqslant 3n - 4 \geqslant 3(|S| + 2) - 4 = 3|S|
+ 2 > 3|S| = \sum\limits_{v \in S} d_G(v)</tex>, что, очевидно, невозможно. Найдено противоречие, следовательно, множество Татта выбрать невозможно, следовательно, в <tex>G</tex> есть совершенное паросочетание.
}}
[[Файл:Петерсен 3 моста.png|300px|thumb|left|Кубический граф с тремя мостами, в котором не существует совершенного паросочетания.]]
Заметим, что утверждение теоремы не может быть усилено до большего числа мостов, так как для случая с тремя мостами существует контрпример.
==Теорема Фринка (Frink)==
