Изменения

== Построение МП-автомата по заданной КС-грамматике == {{В разработкеТеорема|id = th1|statement = Класс [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора | контекстно-свободных языков]] <tex>(\mathrm{CFG})</tex> является подмножеством класса языков, задаваемых [[Автоматы с магазинной памятью | автоматами с магазинной памятью]] <tex>(\mathrm{PDA})</tex>, то есть по любой КС-грамматике можно построить МП-автомат, задающий тот же язык, что и исходная грамматика.|proof =Пусть дана КС-грамматика <tex>\Gamma = Эквивалентность \langle \Sigma, N, S, P\rangle</tex>. Поскольку классы языков, допускаемых МП-автоматов автоматами по допускающему состоянию и КСпо пустому стеку, [[МП-языков автоматы, допуск по пустому стеку и по допускающему состоянию, эквивалентность | совпадают]], достаточно построить автомат с допуском по пустому стеку. Построим автомат из одного состояния <tex>q</tex> с входным алфавитом <tex>\Sigma</tex>, стековым алфавитом <tex>N \cup \Sigma</tex>, маркером дна <tex>S</tex> и функцией перехода <tex>\delta</tex>, определённой ниже. Формально <tex>A =\langle \Sigma, N \cup \Sigma, \{q\}, q, S, \delta \rangle</tex>, где <tex>\delta</tex> задаётся следующим образом: [[Файл:Delta.png | thumb | right | Добавим такие переходы для каждого терминала <tex>a</tex> и правила вывода <tex>V \rightarrow \gamma</tex>]] * для каждого правила вывода <tex>V \rightarrow \gamma \in P</tex> определим <tex>\delta(q, \varepsilon, V) =\{(q, \gamma)\}</tex>;Далее будут приведены конструкции * для построения МПкаждого терминала <tex>a</tex> определим <tex> \delta(q, a, a) = \{(q, \varepsilon)\} </tex>. Покажем, что язык, допускаемый автоматом <tex>A</tex>, совпадает с языком грамматики <tex>\Gamma</tex>, то есть что <tex>S \Rightarrow^* w \iff (q, w, S) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>: ;Пусть <tex>S \Rightarrow^* w</tex>.: Рассмотрим [[ Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора | левосторонний вывод ]] <tex>S = \gamma_0 \Rightarrow \gamma_1 \Rightarrow ... \Rightarrow \gamma_n=w</tex>. Обозначим как <tex>v_i</tex> наибольший префикс <tex>\gamma_i</tex>, состоящий только из терминалов, а <tex>\alpha_i</tex> {{---автомата }} остаток <tex>\gamma_i</tex>, то есть <tex>\gamma_i = v_i\alpha_i</tex>, причём <tex>v_i \in \Sigma^*</tex>, а <tex>\alpha_i</tex> начинается с нетерминала (либо пустая). С помощью индукции по заданной КС<tex>i</tex> докажем, что <tex>(q, w, S) \vdash^* (q, x_i, \alpha_i)</tex> для <tex>i \leq n</tex>, где <tex>x_i</tex> {{---грамматике}} то, что остаётся после чтения <tex>v_i</tex>, и наоборотто есть <tex>v_ix_i = w</tex>. Также будут приведены теоремы об эквивалентности языковИными словами, переходя по автомату по символам <tex>v_i</tex>, можно оставить на стеке <tex>\alpha_i</tex>.:* '''База:''' <br> Пусть <tex>i =0</tex>. <br> В этом случае <tex>\gamma_0 = S</tex>, поэтому <tex>v_0 = \varepsilon, \alpha_0 = S, x_i = w</tex>. Очевидно, <tex>(q, w, S) \vdash^* (q, w, S)</tex>.:* '''Индукционный переход:''' <br> Пусть <tex>(q, w, S) \vdash^* (q, x_i, \alpha_i)</tex> для <tex>i < n</tex>. <tex>\alpha_i</tex> по определению начинается с какого-то нетерминала <tex>V</tex> (если <tex>\alpha_i =\varepsilon</tex>, то получена <tex>\gamma_n</tex>, а мы предположили, что <tex>i < n</tex>), то есть <tex>\alpha_i = Построение МПVq_i</tex> Поскольку мы рассматриваем левосторонний вывод, то переход <tex>\gamma_i \Rightarrow \gamma_{i + 1}</tex> включает замену нетерминала <tex>V</tex> на какую-автомата то цепочку <tex>\beta</tex> по заданной КС-грамматике правилу <tex>V \rightarrow \beta</tex>. Так как <tex>\gamma_i = v_i \alpha_i = v_i V q_i</tex>, то <tex>\gamma_{i + 1} =v_i \beta q_i =v_{i + 1} \alpha_{i + 1}</tex>. В автомате <tex>A</tex> по построению присутствует правило перехода <tex>\delta(q, \varepsilon, V) =\{(q, \beta)\}</tex>, поэтому <tex>\alpha_i</tex> на стеке можно заменить на <tex>\beta q_i</tex>. Заметим, что <tex>\beta q_i</tex> представляет собой конкатенацию нескольких терминалов из <tex>w</tex> и <tex>\alpha_{i + 1}</tex>. Считывая очередные символы строки <tex>w</tex>, будем переходить по автомату, убирая терминалы со стека, пока не встретим нетерминал. Таким образом, на стеке окажется <tex>\alpha_{i+1}</tex>. Получили, что <tex>(q, x_i, \alpha_i) \vdash^* (q, x_{i + 1}, \alpha_{i + 1})</tex>, а значит, <tex>(q, w, S) \vdash^* (q, x_{i + 1}, \alpha_{Определениеi + 1})</tex>. Индукционный переход доказан.|definition: Заметим, что <tex>\alpha_n = \varepsilon, v_n = w, x_n = \varepsilon</tex>, поэтому <tex>(q, w, S) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>. ;Пусть <tex>(q, w, S) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>.: Воспользуемся индукцией по числу переходов в автомате и докажем для любой строки <tex>x</tex> и нетерминала <tex>M \in N</tex>, что если <tex>(q, x, M) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>, то <tex>M \Rightarrow^* x</tex>.:* '''База:''' <br> Пусть в автомате один переход. <br> Если <tex> G(q, x, M) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>, то <tex>x =\varepsilon</tex> и в грамматике присутствует правило <tex>M \rightarrow \varepsilon</tex>, по которому выводится <tex>\varepsilon = x</tex>.:* '''Индукционный переход:''' <br> Предположим, что автомат <tex>A</tex> совершает <tex>n</tex> шагов (<tex>n > 1</tex>). Изначально на вершине стеке находится <tex>M</tex>, поэтому первый переход совершается по какому-то правилу из первого пункта построения <tex>\delta</tex>, и на стеке оказывается последовательность из терминалов и нетерминалов <tex>Y_1 Y_2 \ldots Y_k</tex>. В процессе следующих <tex>n - 1</tex> переходов автомат прочитает строку <tex>x</tex> и поочерёдно вытолкнет со стека <tex>Y_1 Y_2 \ldots Y_k</tex>. Разобьём <tex>w</tex> на подстроки <tex>x_1 x_2 \ldots x_k</tex>, где <tex>x_1</tex> {{---}} порция входа, прочитанная до выталкивания <tex>Y_1</tex> со стека, <tex>x_2</tex> {{---}} следующая порция входа, прочитанная до выталкивания <tex>Y_2</tex> со стека и так далее. Формально можно заключить, что <tex>(Vq, x_i x_{i + 1} \ldots x_k, Y_i) \vdash^* (q, x_{i + 1} \ldots x_k, \varepsilon)</tex>, причём менее чем за <tex>n</tex> шагов. Если <tex>Y_i</tex> {{---}} нетерминал, то по индукционному предположению имеем, что <tex>Y_i \Rightarrow^* x_i</tex>. Если же <tex>Y_i</tex> {{---}} терминал, то должен совершаться только один переход, в котором проверяется совпадение <tex>x_i</tex> и <tex>Y_i</tex>. Значит, <tex>Y_i \Rightarrow^* x_i</tex> за 0 шагов. <br> Таким образом, получаем,Tчто <tex>M \Rightarrow Y_1 Y_2 \ldots Y_k \Rightarrow^* x_1 x_2 \ldots x_k = x</tex>.: Подставляя <tex>w</tex> вместо <tex>x</tex> и <tex>S</tex> вместо <tex>M</tex>,Qполучаем,что <tex>S) \Rightarrow^* w.</tex> — }} === Пример ===Поскольку доказательство теоремы конструктивно, то используя правила перехода, описанные в ней, можно преобразовать любую КС-грамматика. Построим грамматику в МП-автомат . Рассмотрим грамматику слов над алфавитом <tex>\{0, 1\}</tex>, в которых одинаковое количество нулей и единиц:: <tex> S \rightarrow 0S1 </tex>: <tex> S \rightarrow 1S0 </tex>: <tex> S \rightarrow \varepsilon </tex>Множеством терминалов является <tex>\Sigma = \{0, 1\}</tex>, а нетерминалов {{---}} <tex> PN =\{S\}</tex>. Таким образом, стековый алфавит состоит из <tex>0, 1, S</tex>. Функция переходов <tex>\delta</tex> определена следующим образом: : <tex>\delta(q, \varepsilon, S) = \{(q, 0S1), (q, 1S0), (q, \varepsilon)\}</tex> (в соответствии с первым пунктом построения <tex>\delta</tex>) : <tex> \delta(q,T0,V 0)= \cup T{(q, \varepsilon)\}</tex>; <tex> \delta (q,1, 1)= \{(q,S\varepsilon)\}</tex> (в соответствии со вторым пунктом построения <tex>\delta</tex>) Получившийся автомат: [[Файл:Example1.png]] == Построение КС-грамматики по МП-автомату =={{Теорема|id = th2|statement = Класс языков, задаваемых автоматами с магазинной памятью <tex>(\mathrm{PDA}) </tex>, который допускает является подмножеством класса контекстно-свободных языков <tex> L(G\mathrm{CFG}) </tex> , то есть по любому МП-автомату можно построить КС-грамматику, задающую тот же язык, что и допускаемый автоматом.|proof = Пусть дан МП-автомат с допуском по пустому магазину. Функция переходов стеку <tex> A = \langle \Sigma, \Pi, Q, q_0 \in Q, z_0, \delta \rangle</tex> будет определена . Как отмечалось ранее, предположение о допуске по пустому стеку не умаляет общности. Построим эквивалентную ему КС-грамматику <tex>\Gamma = \langle \Sigma, N, S, P \rangle</tex>. В качестве нетерминалов будем использовать конструкции вида <tex>[pXq]</tex> (где <tex> p, q \in Q</tex>, <tex>X \in \Pi</tex>), которая неформально означает, что в процессе изменения состояния автомата от <tex>p</tex> до <tex>q</tex> символ <tex>X</tex> удаляется с вершины стека, не затрагивая то, что находится ниже. Также введём стартовый нетерминал <tex>S</tex>. Таким образом, <tex>N = Q \times \Pi \times Q \cup S</tex>. Правила вывода <tex>P</tex> построим следующим правиламобразом: * для каждого состояния <tex>p \in Q</tex> добавим правило <tex>S \rightarrow [q_0 z_0 p]</tex>;*для каждого перехода <tex>(r_0, \gamma_1 \gamma_2 \ldots \gamma_k) \in \delta(p, a, X)</tex> сделаем следующее: для всех упорядоченных списков состояний <tex>[r_1, r_2 \ldots r_k] \in Q^k</tex> добавим правило <tex>[p X r_k] \rightarrow a [r_0 \gamma_1 r_1] [r_1 \gamma_2 r_2] \ldots [r_{k - 1} \gamma_k r_k]</tex>, если <tex>k > 0</tex>, и <tex>[p X r_0] \rightarrow a</tex>, если <tex>k = 0</tex>. Нетерминал <tex>[pXq]</tex> должен выводить только те строки <tex>w</tex>, которые переводят автомат из состояния <tex>(p, X)</tex> в <tex>(q, \varepsilon)</tex>. Формально это можно записать следующим образом: <tex>[pXq] \Rightarrow^* w \iff (p, w, X) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>. Докажем это утверждение: ;Пусть <tex>(p, w, X) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>. : Докажем, что <tex> [pXq] \Rightarrow^* w</tex>, используя индукцию по числу переходов в автомате.:*'''База:'''<br> Пусть выполняется только один переход.<br> Тогда длина <tex>w</tex> не больше единицы и <tex>(q, \varepsilon) \in \delta(p, w, X)</tex>, поэтому правило <tex>[pXq] \rightarrow w</tex> по построению должно присутствовать в <tex>P</tex>.:*'''Индукционный переход:'''<br> Предположим, что <tex>(p, w, X) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex> за <tex>n > 1</tex> шагов. Первый переход имеет вид <tex>(p, w, X) \vdash (r_0, x, \gamma_1 \gamma_2 \ldots \gamma_k) \vdash^* (q,\epsilonvarepsilon,A\varepsilon)</tex>, где <tex>w =ax</tex> (<tex>a</tex> {{---}} символ из <tex>\Sigma</tex> или <tex>\{varepsilon</tex>). Значит, <tex>(qr_0,\beta gamma_1 \gamma_2 \ldots \gamma_k) \in \delta(p, a, X)| A </tex>. По построению в грамматике должно присутствовать правило <tex>[p X r_k] \rightarrow a [r_0 \gamma_1 r_1] [r_1 \gamma_2 r_2] \ldots [r_{k - 1} \betagamma_k r_k]</tex> для любой последовательности состояний <tex>[r_1, \ldots r_k]</tex>. Пусть <tex>x = w_1 w_2 \ldots w_k</tex>, где <tex>w_i</tex> {{---}} входная цепочка, которая прочитывается до удаления <tex>\gamma_i</tex> со стека, то есть найдётся такая последовательность состояний <tex>[r_1, \ldots r_k]</tex> — продукция , что <tex> G (r_{i - 1}, w_i, \gamma_i) \vdash^* (r_i, \varepsilon, \varepsilon)</tex>, причём заканчивается всё в <tex>q = r_k</tex>. Заметим, что все эти выводы содержат менее <tex>n</tex> переходов, а значит, по индукционному предположению <tex>[r_{i - 1} \gamma_i r_i] \Rightarrow^* w_i</tex> — для каждой переменной всех <tex>i</tex>. <br> Собирая вышесказанное, получаем <tex>[p X r_k] \Rightarrow a [r_0 \gamma_1 r_1] [r_1 \gamma_2 r_2] \ldots [r_{k - 1} \gamma_k r_k] \Rightarrow^* a w_1 w_2 \ldots w_k = w</tex>. Так как <tex>r_k = q</tex>, то <tex>[pXq] \Rightarrow^* w</tex>, тем самым индукционный переход доказан. ;Пусть <tex>[pXq] \Rightarrow^* w</tex>.: Докажем, что <tex> A (p, w, X) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>, используя индукцию по числу шагов в порождении. :*2'''База:''' <br> Пусть <tex>[pXq] \Rightarrow^* w</tex> за один шаг. <br> Тогда в <tex>\Gamma</tex> должно быть правило вывода <tex> [pXq] \rightarrow w</tex>, а значит, в автомате должен быть переход <tex>(q, \varepsilon) \in \delta(p, w, X)</tex> и <tex>w</tex> не может иметь длину больше единицы. Таким образом, <tex>(p, w, X) \vdash^* (q,\varepsilon, \varepsilon)</tex>.:*'''Индукционный переход:''' <br> Предположим, что <tex>[pXq] \Rightarrow^* w </tex> за <tex>n > 1</tex> шагов. По построению вывод должен иметь вид <tex>[p X r_k] \Rightarrow a[r_0 \gamma_1 r_1] [r_1 \gamma_2 r_2] \ldots [r_{k - 1} \gamma_k r_k] \Rightarrow^* w</tex>, где <tex>r_k = q</tex> и <tex>(r_0, \gamma_1 \gamma_2 \ldots \gamma_k) \in \delta(p,a, X)</tex>. Вновь представим <tex>w</tex> в виде <tex>w =a w_1 w_2 \ldots w_k</tex> так, что <tex>[r_{i - 1} \gamma_i r_i] \Rightarrow^* w_i</tex>. Так как все эти выводы содержат менее <tex>n</tex> шагов, то по индукционному предположению для всех <tex>i</tex> выполнено <tex>(r_{i - 1}, w_i, \gamma_i) \vdash^* (r_i, \varepsilon, \varepsilon)</tex>. Собирая всё вместе, получаем <tex>(r_0, w_1 w_2 \ldots w_k, \gamma_1 \gamma_2 \ldots \gamma_k) \vdash^* (r_1, w_2 w_3 \ldots w_k, \gamma_2 \gamma_3 \ldots \gamma_k) \vdash^* \ldots \vdash^* (r_k, \varepsilon, \varepsilon)</tex>. Так как <tex>(r_0, \gamma_1 \gamma_2 \ldots \gamma_k) \in \delta(p, a, X)</tex> и <tex>r_k = q</tex>, то в итоге <tex>(p, w, X) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>. Таким образом, мы доказали, что <tex>[pXq] \Rightarrow^* w \iff (p, w, X) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>. Заметим,что <tex>S \epsilonRightarrow^* w</tex> тогда и только тогда, когда найдётся <tex>p</tex>, что <tex>[q_0 z_0 p] \Rightarrow^* w</tex>. По доказанному выше это равносильно тому, что <tex>(q_0, w, z_0)\} vdash^* (p, \varepsilon, \varepsilon)</tex>, то есть что <tex>A</tex> допускает <tex>w</tex> по пустому стеку. Суммируя всё вышесказанное, получаем, что построенная грамматика <tex>\Gamma</tex> порождает слово <tex>w</tex> для каждого терминала тогда и только тогда, когда оно допускается автоматом <tex> a A</tex>.

==== Пример. ====Преобразуем грамматику выражений в Пусть у нас имеется МП-автомат. Пусть дана грамматика:*<tex> I \rightarrow a|b|I1|I0|Ia|Ib </tex>*<tex> E A = \rightarrow I|E*E|E+E|(E) </tex>Множеством входных символов является <tex> langle \{ai,be\},1\{Z\},0\{q\},(q,)Z,+,*\} delta \rangle</tex>. Эти символы, вместе с переменными функция <tex> I,E \delta</tex>, образуют магазинный алфавит. Функция переходов определена задана следующим образом:*a) :<tex> \delta(q,\epsiloni,IZ)=\{(q,a), (q,b), (q,Ia), (q,Ib), (q,I0), (q,I1ZZ)\};</tex>*b) :<tex> \delta(q,\epsilone,EZ)=\{(q,I\varepsilon)\}</tex> [[Файл:Example2.png]] Так как стековый алфавит <tex>A</tex> содержит лишь один символ и одно состояние, (q,E+E), (q,Eто в построенной грамматике будет лишь 2 нетерминала: *E), (q,(E))};<tex>S</tex>— стартовый нетерминал. *c) <tex> \delta(q[qZq]</tex> — единственная тройка,a,a)=которую можно собрать из состояний автомата и символов стекового алфавита. Также грамматика имеет следующие правила вывода:* Единственной продукцией для <tex>S</tex> является <tex>S \{(qrightarrow [qZq]</tex>. Но если бы у автомата было <tex>n</tex> состояний,\epsilon)\}то тут бы имелось и <tex>n</tex>;продукций.* Из того факта, что <tex> \delta(q,b,b)=\{(qi,\epsilonZ)\}</tex>;содержит <tex> \delta(q,1,1ZZ)=\{(q</tex>,получаем правило вывода <tex>[qZq] \epsilon)\}rightarrow i[qZq][qZq]</tex>;. Если бы у автомата было <tex>n</tex> \delta(qсостояний,0,0)=\{(q,\epsilon)\}то такой переход порождал бы <tex>n^2</tex>;продукций.* Из <tex> \delta(q,)e,)Z)=\{(q,\epsilonvarepsilon)\}</tex>;получаем правило вывода <tex> [qZq] \delta(qrightarrow e</tex>Для удобства тройку <tex>[qZq]</tex> можно заменить символом <tex>A</tex>,(,()=в таком случае правила вывода в грамматике будут следующие::<tex>S \{(q,rightarrow A</tex>:<tex>A \epsilon)\}rightarrow iAA</tex>;:<tex> A \delta(qrightarrow e</tex>Упростим грамматику,+,+)=\{(q,\epsilon)\}заменив <tex>A</tex>;на <tex> \deltaS</tex> (qочевидно,*она не поменяется),*)и получим в результате <tex>\Gamma =\langle\{(qi,e\}, \{S\}, S,\epsilon){S \rightarrow iSS | e\}\rangle</tex>;Пункты a,b образованы по первому правилу построения функции переходов, пункт c по второму правилу.== Эквивалентность языков МП-автоматов и КС-языков==

|about= О совпадении об эквивалентности языков МП-автоматов и КС-языков и множества |statement = Множество языков , допускаемых МП-автоматаавтоматами, совпадает с множеством контекстно-свободных языков.|statementproof = Если МП[[#th1 | Первая теорема]] гласит, что <tex> \mathrm{CFG} \subseteq \mathrm{PDA} </tex>, а [[#th2 | вторая]] {{---автомат }} что <tex> \mathrm{PDA} \subseteq \mathrm{CFG} </tex>. Таким образом, <tex> P \mathrm{PDA} = \mathrm{CFG} </tex> построен .}} == Следствия =={{Утверждение|statement = Для любого МП-автомата с допуском по пустому стеку существует эквивалентный МП-автомат с одним состоянием.|proof = Построим КС-грамматику по данному автомату, затем по полученной грамматике построим МП-автомат, как указано выше. Заметим, что этот автомат будет иметь одно состояние, что и требовалось доказать.}} {{Утверждение|statement = Для любого МП-автомата с допуском по пустому стеку существует эквивалентный МП-автомат, в любом переходе которого на стек кладётся не больше двух символов.|proof = Построим КС-грамматику по данному автомату и приведём её к [[Нормальная форма Хомского | нормальной форме Хомского]]. Затем по полученной грамматике построим МП-автомат, как указано выше. Заметим, что в нормальной форме Хомского правые части всех правил имеют длину не больше двух, поэтому в любом переходе в полученном автомате на стек кладётся не больше двух символов.}} {{Утверждение|statement = Для любого МП-автомата существует эквивалентный МП-автомат с допуском по пустому стеку без <tex> G \varepsilon</tex> -переходов.|proof = Построим КС-грамматику по указанной данному автомату, затем по полученной грамматике построим МП-автомат, как указано выше конструкции. Заметим, то что этот автомат не будет иметь <tex> N(P)=L(G) \varepsilon</tex>-переходов, что и требовалось доказать.