Изменения

Далее будут приведены конструкции для построения МП-автомата по заданной КС-грамматике, и наоборот. Также будет приведена теорема об эквивалентности языков.=== Построение МП-автомата по заданной КС-грамматике ===Пусть <tex> G=(V,T,Q,S) </tex> — КС-грамматика. Построим МП-автомат <tex> P=(\{q\},T,V \cup T, \delta ,q,S) </tex>, который допускает <tex> L(G) </tex> по пустому магазину. Функция переходов <tex> \delta </tex> будет определена по следующим правилам:*1. <tex> \delta(q,\epsilon,A)=\{(q,\beta )| A \rightarrow \beta</tex> — продукция <tex> G \} </tex> — для каждой переменной <tex> A </tex>. *2. <tex> \delta(q,a,a)=\{(q,\epsilon)\} </tex> для каждого терминала <tex> a </tex>.

{{Теорема|id =th1|statement === Пример ====Преобразуем грамматику выражений в Класс [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора | контекстно-свободных языков]] <tex>(\mathrm{CFG})</tex> является подмножеством класса языков, задаваемых [[Автоматы с магазинной памятью | автоматами с магазинной памятью]] <tex>(\mathrm{PDA})</tex>, то есть по любой КС-грамматике можно построить МП-автомат, задающий тот же язык, что и исходная грамматика. |proof = Пусть дана КС-грамматика:*<tex> I \rightarrow aGamma =\langle \Sigma, N, S, P\rangle</tex>. Поскольку классы языков, допускаемых МП-автоматами по допускающему состоянию и по пустому стеку, [[МП-автоматы, допуск по пустому стеку и по допускающему состоянию, эквивалентность |b|I1|I0|Ia|Ib совпадают]], достаточно построить автомат с допуском по пустому стеку. Построим автомат из одного состояния <tex>q</tex>*с входным алфавитом <tex> E \rightarrow I|E*E|E+E|(E) Sigma</tex>Множеством входных символов является , стековым алфавитом <tex> N \cup \{aSigma</tex>,bмаркером дна <tex>S</tex> и функцией перехода <tex>\delta</tex>,1определённой ниже. Формально <tex>A = \langle \Sigma,0N \cup \Sigma,(\{q\},)q,+S,*\} delta \rangle</tex>. Эти символы, вместе с переменными где <tex> I,E \delta</tex>, образуют магазинный алфавит. Функция переходов определена задаётся следующим образом: [[Файл:Delta.png | thumb | right | Добавим такие переходы для каждого терминала <tex>a</tex> и правила вывода <tex>V \rightarrow \gamma</tex>]] *a) для каждого правила вывода <tex>V \rightarrow \gamma \in P</tex> определим <tex> \delta(q,\epsilonvarepsilon,IV)=\{(q, \gamma)\}</tex>;* для каждого терминала <tex>a</tex> определим <tex> \delta(q, a,a), = \{(q,b\varepsilon)\} </tex>. Покажем, что язык, допускаемый автоматом <tex>A</tex>, совпадает с языком грамматики <tex>\Gamma</tex>, то есть что <tex>S \Rightarrow^* w \iff (q,Iaw, S), \vdash^* (q,Ib\varepsilon, \varepsilon)</tex>: ;Пусть <tex>S \Rightarrow^* w</tex>.: Рассмотрим [[ Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора | левосторонний вывод ]] <tex>S = \gamma_0 \Rightarrow \gamma_1 \Rightarrow ... \Rightarrow \gamma_n=w</tex>. Обозначим как <tex>v_i</tex> наибольший префикс <tex>\gamma_i</tex>, состоящий только из терминалов, а <tex>\alpha_i</tex> {{---}} остаток <tex>\gamma_i</tex>, то есть <tex>\gamma_i = v_i\alpha_i</tex>, причём <tex>v_i \in \Sigma^*</tex>, а <tex>\alpha_i</tex> начинается с нетерминала (либо пустая). С помощью индукции по <tex>i</tex> докажем, что <tex>(q,I0w, S), \vdash^* (q,I1x_i, \alpha_i)</tex> для <tex>i \leq n</tex>, где <tex>x_i</tex> {{---};} то, что остаётся после чтения <tex>v_i</tex>, то есть <tex>v_ix_i = w</tex>. Иными словами, переходя по автомату по символам <tex>v_i</tex>, можно оставить на стеке <tex>\alpha_i</tex>.:*b) '''База:''' <br> Пусть <tex>i = 0</tex>. <br> В этом случае <tex>\gamma_0 = S</tex>, поэтому <tex> v_0 = \delta(qvarepsilon,\epsilonalpha_0 = S,E)x_i ={w</tex>. Очевидно, <tex>(q,Iw, S), \vdash^* (q,E+Ew, S), </tex>.:* '''Индукционный переход:''' <br> Пусть <tex>(q,Ew, S) \vdash^*E), (q,x_i, \alpha_i)</tex> для <tex>i < n</tex>. <tex>\alpha_i</tex> по определению начинается с какого-то нетерминала <tex>V</tex> (E)если <tex>\alpha_i = \varepsilon</tex>, то получена <tex>\gamma_n</tex>, а мы предположили, что <tex>i < n</tex>), то есть <tex>\alpha_i = Vq_i</tex> Поскольку мы рассматриваем левосторонний вывод, то переход <tex>\gamma_i \Rightarrow \gamma_{i + 1}</tex> включает замену нетерминала <tex>V</tex> на какую-то цепочку <tex>\beta</tex> по правилу <tex>V \rightarrow \beta</tex>. Так как <tex>\gamma_i = v_i \alpha_i = v_i V q_i</tex>, то <tex>\gamma_{i + 1} = v_i \beta q_i = v_{i + 1} \alpha_{i + 1};</tex>*c) . В автомате <tex>A</tex> по построению присутствует правило перехода <tex> \delta(q,a\varepsilon,aV)=\{(q,\epsilonbeta)\}</tex>; , поэтому <tex>\alpha_i</tex> на стеке можно заменить на <tex>\beta q_i</tex>. Заметим, что <tex>\beta q_i</tex> представляет собой конкатенацию нескольких терминалов из <tex>w</tex> и <tex>\alpha_{i + 1}</tex>. Считывая очередные символы строки <tex>w</tex>, будем переходить по автомату, убирая терминалы со стека, пока не встретим нетерминал. Таким образом, на стеке окажется <tex> \deltaalpha_{i+1}</tex>. Получили, что <tex>(q,bx_i,b\alpha_i)=\vdash^* (q, x_{i + 1}, \alpha_{i + 1})</tex>, а значит, <tex>(q,w, S) \epsilon)vdash^* (q, x_{i + 1}, \alpha_{i + 1})</tex>;..Индукционный переход доказан.: Заметим, что <tex> \deltaalpha_n = \varepsilon, v_n = w, x_n = \varepsilon</tex>, поэтому <tex>(q,w, S) \vdash^*(q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>. ;Пусть <tex>(q,*w, S)=\{vdash^* (q,\epsilonvarepsilon, \varepsilon)</tex>.: Воспользуемся индукцией по числу переходов в автомате и докажем для любой строки <tex>x</tex> и нетерминала <tex>M \}in N</tex>; , что если входной символ совпадает с вершиной стека<tex>(q, x, M) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>, то вершина удаляется<tex>M \Rightarrow^* x</tex>.Пункты :* '''a,bБаза:''' образованы <br> Пусть в автомате один переход. <br> Если <tex>(q, x, M) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>, то <tex>x = \varepsilon</tex> и в грамматике присутствует правило <tex>M \rightarrow \varepsilon</tex>, по первому правилу построения функции переходов, пункт которому выводится <tex>\varepsilon = x</tex>.:* '''cИндукционный переход:''' <br> Предположим, что автомат <tex>A</tex> совершает <tex>n</tex> шагов (<tex>n > 1</tex>). Изначально на вершине стеке находится <tex>M</tex>, поэтому первый переход совершается по второму какому-то правилуиз первого пункта построения <tex>\delta</tex>, и на стеке оказывается последовательность из терминалов и нетерминалов <tex>Y_1 Y_2 \ldots Y_k</tex>. В процессе следующих <tex>n - 1</tex> переходов автомат прочитает строку <tex>x</tex> и поочерёдно вытолкнет со стека <tex>Y_1 Y_2 \ldots Y_k</tex>. Разобьём <tex>w</tex> на подстроки <tex>x_1 x_2 \ldots x_k</tex>, где <tex>x_1</tex> {{---}} порция входа, прочитанная до выталкивания <tex>Y_1</tex> со стека, <tex>x_2</tex> {{---}} следующая порция входа, прочитанная до выталкивания <tex>Y_2</tex> со стека и так далее. Формально можно заключить, что <tex>(q, x_i x_{i + 1} \ldots x_k, Y_i) \vdash^* (q, x_{i + 1} \ldots x_k, \varepsilon)</tex>, причём менее чем за <tex>n</tex> шагов. Если <tex>Y_i</tex> {{---}} нетерминал, то по индукционному предположению имеем, что <tex>Y_i \Rightarrow^* x_i</tex>. Если же <tex>Y_i</tex> {{---}} терминал, то должен совершаться только один переход, в котором проверяется совпадение <tex>x_i</tex> и <tex>Y_i</tex>. Значит, <tex>Y_i \Rightarrow^* x_i</tex> за 0 шагов.<br> Таким образом, получаем, что <tex>M \Rightarrow Y_1 Y_2 \ldots Y_k \Rightarrow^* x_1 x_2 \ldots x_k = x</tex>.: Подставляя <tex>w</tex> вместо <tex>x</tex> и <tex>S</tex> вместо <tex>M</tex>, получаем, что <tex>S \Rightarrow^* w.</tex>}} === Пример ===Поскольку доказательство теоремы конструктивно, то используя правила перехода, описанные в ней, можно преобразовать любую КС-грамматику в МП-автомат. Рассмотрим грамматику слов над алфавитом <tex>\{0, 1\}</tex>, в которых одинаковое количество нулей и единиц:: <tex> S \rightarrow 0S1 </tex>: <tex> S \rightarrow 1S0 </tex>: <tex> S \rightarrow \varepsilon </tex>Множеством терминалов является <tex>\Sigma = \{0, 1\}</tex>, а нетерминалов {{---}} <tex>N = \{S\}</tex>. Таким образом, стековый алфавит состоит из <tex>0, 1, S</tex>. Функция переходов <tex>\delta</tex> определена следующим образом: : <tex>\delta(q, \varepsilon, S) = \{(q, 0S1), (q, 1S0), (q, \varepsilon)\}</tex> (в соответствии с первым пунктом построения <tex>\delta</tex>)

: <tex> \delta(q, 0, 0)=\{(q, \varepsilon)\}</tex>; <tex> \delta(q, 1, 1)=\{(q, \varepsilon)\}</tex> (в соответствии со вторым пунктом построения <tex>\delta</tex>) Получившийся автомат: [[Файл:Example1.png]] == Корректность построения Построение КС-грамматики по МП-автомату =={{Теорема|id =th2|statement = Класс языков, задаваемых автоматами с магазинной памятью <tex>(\mathrm{PDA})</tex>, является подмножеством класса контекстно-свободных языков <tex>(\mathrm{CFG})</tex>, то есть по любому МП-автомату можно построить КС-грамматику, задающую тот же язык, что и допускаемый автоматом.|proof =Пусть дан МП-автомат с допуском по пустому стеку <tex> wA = \langle \Sigma, \Pi, Q, q_0 \in LQ, z_0, \delta \rangle</tex>. Как отмечалось ранее, предположение о допуске по пустому стеку не умаляет общности. Построим эквивалентную ему КС-грамматику <tex>\Gamma = \langle \Sigma, N, S, P \rangle</tex>. В качестве нетерминалов будем использовать конструкции вида <tex>[pXq]</tex> (Gгде <tex> p, q \in Q</tex>, <tex>X \in \Pi</tex>), которая неформально означает, что в процессе изменения состояния автомата от <tex>p</tex> до <tex>q</tex> символ <tex>X</tex> удаляется с вершины стека, не затрагивая то, что находится ниже. Также введём стартовый нетерминал <tex>S</tex>. Таким образом, тогда <tex> w N = Q \times \Pi \times Q \cup S</tex>. Правила вывода <tex>P</tex> имеет следующее левое порождениепостроим следующим образом: * для каждого состояния <tex>p \in Q</tex> добавим правило <tex> S = \rightarrow [q_0 z_0 p]</tex>;* для каждого перехода <tex>(r_0, \gamma_1 \Rightarrow gamma_2 \ldots \gamma_k) \in \delta(p, a, X)</tex> сделаем следующее: для всех упорядоченных списков состояний <tex>[r_1, r_2 \ldots r_k] \in Q^k</tex> добавим правило <tex>[p X r_k] \rightarrow a [r_0 \gamma_1 r_1] [r_1 \gamma_2 r_2] \Rightarrow ... ldots [r_{k - 1} \Rightarrow gamma_k r_k]</tex>, если <tex>k > 0</tex>, и <tex>[p X r_0] \gamma_nrightarrow a</tex>, если <tex>k =w0</tex>.Покажем индукцией по Нетерминал <tex>[pXq]</tex> должен выводить только те строки <tex>w</tex>, которые переводят автомат из состояния <tex> i (p, X)</tex>в <tex>(q, что \varepsilon)</tex>. Формально это можно записать следующим образом: <tex> [pXq] \Rightarrow^* w \iff (p, w, X) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex>. Докажем это утверждение: ;Пусть <tex>(p,w,SX)\vdash^*(q,y_i\varepsilon,\alpha_ivarepsilon)</tex>.:Докажем, что <tex>[pXq] \Rightarrow^* w</tex>, используя индукцию по числу переходов в автомате.:*'''База:'''<br> Пусть выполняется только один переход. Очевидно<br> Тогда длина <tex>w</tex> не больше единицы и <tex>(q, \varepsilon) \in \delta(p, w, X)</tex>, поэтому правило <tex>[pXq] \rightarrow w</tex> по построению должно присутствовать в <tex>P</tex>.:*'''Индукционный переход:'''<br> Предположим, что <tex> (p, w, X) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex> за <tex>n > 1</tex> шагов. Первый переход имеет вид <tex>(p,w,SX) \vdash (r_0, x, \gamma_1 \gamma_2 \ldots \gamma_k)\vdash^*(q,\varepsilon, \varepsilon)</tex>, где <tex>w= ax</tex> (<tex>a</tex> {{---}} символ из <tex>\Sigma</tex> или <tex>\varepsilon</tex>). Значит, <tex>(r_0, \gamma_1 \gamma_2 \ldots \gamma_k) \in \delta(p, a,SX) </tex>*Переход. ПредположимПо построению в грамматике должно присутствовать правило <tex>[p X r_k] \rightarrow a [r_0 \gamma_1 r_1] [r_1 \gamma_2 r_2] \ldots [r_{k - 1} \gamma_k r_k]</tex> для любой последовательности состояний <tex>[r_1, \ldots r_k]</tex>. Пусть <tex>x = w_1 w_2 \ldots w_k</tex>, где <tex>w_i</tex> {{---}} входная цепочка, которая прочитывается до удаления <tex>\gamma_i</tex> со стека, то есть найдётся такая последовательность состояний <tex>[r_1, \ldots r_k]</tex>, что <tex> (qr_{i - 1},ww_i,S\gamma_i)\vdash^*(qr_i,w_i\varepsilon,\alpha_ivarepsilon) </tex>, причём заканчивается всё в <tex>q = r_k</tex>. Заметим, что шаг порождения все эти выводы содержат менее <tex>n</tex> переходов, а значит, по индукционному предположению <tex>[r_{i - 1} \gamma_i r_i] \Rightarrow^* w_i</tex> для всех <tex>i</tex>. <br> Собирая вышесказанное, получаем <tex> y_i [p X r_k] \Rightarrow y_a [r_0 \gamma_1 r_1] [r_1 \gamma_2 r_2] \ldots [r_{i+k - 1}\gamma_k r_k] \Rightarrow^* a w_1 w_2 \ldots w_k = w</tex>. Так как <tex>r_k = q</tex>, то <tex>[pXq] \Rightarrow^* w</tex>, тем самым индукционный переход доказан. ;Пусть <tex>[pXq] \Rightarrow^* w</tex> включает замену некоторой переменной .: Докажем, что <tex> A (p, w, X) \vdash^* (q, \varepsilon, \varepsilon)</tex> ее продукцией , используя индукцию по числу шагов в порождении.:*'''База:''' <br> Пусть <tex> [pXq] \beta Rightarrow^* w</tex>за один шаг. Правило 1 построения МП-автомата позволяет на заменить <br> Тогда в <tex> A \Gamma</tex> на вершине стека на цепочку должно быть правило вывода <tex> [pXq] \beta rightarrow w</tex>, а правило 2 позволяет затем сравнить любые терминалы на вершине со входными символамизначит, в автомате должен быть переход <tex>(q, \varepsilon) \in \delta(p, w, X)</tex> и <tex>w</tex> не может иметь длину больше единицы. В результате достигается МО Таким образом, <tex> (p, w, X) \vdash^* (q,y_\varepsilon, \varepsilon)</tex>.:*'''Индукционный переход:''' <br> Предположим, что <tex>[pXq] \Rightarrow^* w </tex> за <tex>n > 1</tex> шагов. По построению вывод должен иметь вид <tex>[p X r_k] \Rightarrow a [r_0 \gamma_1 r_1] [r_1 \gamma_2 r_2] \ldots [r_{k - 1} \gamma_k r_k] \Rightarrow^* w</tex>, где <tex>r_k = q</tex> и <tex>(r_0, \gamma_1 \gamma_2 \ldots \gamma_k) \in \delta(p, a, X)</tex>. Вновь представим <tex>w</tex> в виде <tex>w = a w_1 w_2 \ldots w_k</tex> так, что <tex>[r_{i+- 1}\gamma_i r_i] \Rightarrow^* w_i</tex>. Так как все эти выводы содержат менее <tex>n</tex> шагов,\alpha_то по индукционному предположению для всех <tex>i</tex> выполнено <tex>(r_{i+- 1}, w_i, \gamma_i) \vdash^* (r_i, \varepsilon, \varepsilon) </tex>.Собирая всё вместе, получаем <tex>(r_0, w_1 w_2 \ldots w_k, \gamma_1 \gamma_2 \ldots \gamma_k) \vdash^* (r_1, w_2 w_3 \ldots w_k, \gamma_2 \gamma_3 \ldots \gamma_k) \vdash^* \ldots \vdash^*Также заметим(r_k, \varepsilon, что \varepsilon)</tex>. Так как <tex> (r_0, \gamma_1 \gamma_2 \ldots \gamma_k) \alpha_n in \delta(p, a, X)</tex> и <tex>r_k = q</tex>, то в итоге <tex>(p, w, X) \vdash^* (q, \varepsilon, \epsilonvarepsilon)</tex>.  Таким образом , мы доказали, что <tex> [pXq] \Rightarrow^* w \iff (qp,w,SX)\vdash^*(q,\epsilonvarepsilon,\epsilonvarepsilon) </tex>. Заметим, что <tex>S \Rightarrow^* w</tex> тогда и только тогда, когда найдётся <tex>p</tex>, тчто <tex>[q_0 z_0 p] \Rightarrow^* w</tex>.е По доказанному выше это равносильно тому, что <tex>(q_0, w, z_0) \vdash^* (p, \varepsilon, \varepsilon)</tex>, то есть что <tex>A</tex> допускает <tex> P w</tex> по пустому стеку.Суммируя всё вышесказанное, получаем, что построенная грамматика <tex>\Gamma</tex> порождает слово <tex>w</tex> тогда и только тогда, когда оно допускается автоматом <tex>A</tex>.}} === Пример ===Пусть у нас имеется МП-автомат <tex>A = \langle \{i,e\}, \{Z\}, \{q\}, q, Z, \delta \rangle</tex>, функция <tex>\delta</tex> задана следующим образом::<tex>\delta(q, i, Z) = \{(q, ZZ)\}</tex>:<tex>\delta(q, e, Z) = \{(q, \varepsilon)\}</tex> [[Файл:Example2.png]] Так как стековый алфавит <tex>A</tex> содержит лишь один символ и одно состояние, то в построенной грамматике будет лишь 2 нетерминала: *<tex>S</tex> — стартовый нетерминал. *<tex>[qZq]</tex> — единственная тройка, которую можно собрать из состояний автомата и символов стекового алфавита. Также грамматика имеет следующие правила вывода:* Единственной продукцией для <tex>S</tex> является <tex>S \rightarrow [qZq]</tex>. Но если бы у автомата было <tex>n</tex> состояний, то тут бы имелось и <tex>n</tex> продукций.* Из того факта, что <tex>\delta(q, i, Z)</tex> содержит <tex>(q, ZZ)</tex>, получаем правило вывода <tex>[qZq] \rightarrow i[qZq][qZq]</tex>. Если бы у автомата было <tex>n</tex> состояний, то такой переход порождал бы <tex>n^2</tex> продукций.* Из <tex>\delta(q,e,Z)=\{(q,\varepsilon)\}</tex> получаем правило вывода <tex>[qZq] \rightarrow e</tex>Для удобства тройку <tex>[qZq]</tex> можно заменить символом <tex>A</tex>, в таком случае правила вывода в грамматике будут следующие::<tex>S \rightarrow A</tex>:<tex>A \rightarrow iAA</tex>:<tex>A \rightarrow e</tex>Упростим грамматику, заменив <tex>A</tex> на <tex>S</tex> (очевидно, она не поменяется), и получим в результате <tex>\Gamma = \langle\{i,e\}, \{S\}, S, \{S \rightarrow iSS | e\}\rangle</tex> == Эквивалентность языков МП-автоматов и КС-языков=={{Теорема|about = об эквивалентности языков МП-автоматов и КС-языков|statement = Множество языков, допускаемых МП-автоматами, совпадает с множеством контекстно-свободных языков.|proof = [[#th1 | Первая теорема]] гласит, что <tex> \mathrm{CFG} \subseteq \mathrm{PDA} </tex>, а [[#th2 | вторая]] {{---}} что <tex> \mathrm{PDA} \subseteq \mathrm{CFG} </tex>. Таким образом, <tex> \mathrm{PDA} = \mathrm{CFG} </tex>.}} == Следствия ==

|about=1|statement= Если Для любого МП-автомата с допуском по пустому стеку существует эквивалентный МП-автомат <tex> P </tex> построен по грамматике <tex> G </tex>, с использованием указанной выше конструкции, то <tex> L(G) \subseteq N(P) </tex>одним состоянием.|proof= Выше доказана корректность построения МППостроим КС-автомата грамматику по данному автомату, затем по любой КС-полученной грамматике. Значит множество языков КС-грамматик является подмножеством языков допускаемых построим МП-автоматамиавтомат, как указано выше. Заметим, что этот автомат будет иметь одно состояние, что и требовалось доказать.

|about=2|statement= Если КСДля любого МП-грамматика <tex> G </tex> построена автомата с допуском по пустому стеку существует эквивалентный МП-автомату <tex> P </tex>автомат, с использованием указанной выше конструкции, то <tex> N(P) \subseteq L(G) </tex>в любом переходе которого на стек кладётся не больше двух символов.|proof= Выше доказана корректность построения Построим КС-грамматики грамматику по МП-данному автоматуи приведём её к [[Нормальная форма Хомского | нормальной форме Хомского]]. Значит языки допускаемые Затем по полученной грамматике построим МП-автоматами являются подмножеством языковавтомат, как указано выше. Заметим, заданных КС-грамматикойчто в нормальной форме Хомского правые части всех правил имеют длину не больше двух, поэтому в любом переходе в полученном автомате на стек кладётся не больше двух символов.

=== Эквивалентность языков МП-автоматов и КС-языков==={{ТеоремаУтверждение|aboutstatement = Об эквивалентности языков Для любого МП-автоматов и КС-языков|statement= Множество языков, допускаемых автомата существует эквивалентный МП-автоматами совпадает с множеством языков, задаваемых автомат с помощью контекстно-свободных грамматик.|proof= Из утверждения 1 следует, что допуском по пустому стеку без <tex> L(G) \subseteq N(P) varepsilon</tex>-переходов.|proof = Построим КС-грамматику по данному автомату, затем по полученной грамматике построим МП-автомат, в свою очередь из утверждения 2 следуеткак указано выше. Заметим, что этот автомат не будет иметь <tex> N(P) \subseteq L(G) </tex>. Отсюда <tex> L(G)=N(P) varepsilon</tex>-переходов, что и требовалось доказать.