Согласованный интервал — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Добавил доказательство наличия согласованного среза)
 
(не показана 1 промежуточная версия этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
 
[[Категория: Параллельное программирование]]
 
[[Категория: Параллельное программирование]]
Назовем пару [[Срез, согласованный срез|срезов]] <tex>[G, H]</tex>, <tex>G \subset H</tex>, интервалом.<br>
+
{{Определение
Интервал '''согласованный''', если <tex>\forall e, g: g \in G \land e \rightarrow g \Rightarrow e \in H</tex>.
+
|definition=
 +
'''Интервал''' — упорядоченная пара [[Срез, согласованный срез|срезов]] (не обязательно согласованных) <tex>[G, H]</tex> такая, что <tex>G \le H</tex>.
 +
}}
 +
{{Определение
 +
|definition=
 +
Интервал $[G, H]$ является '''согласованным''', если <tex>\forall e, g: g \in G \land e \rightarrow g \Rightarrow e \in H</tex>.
 +
}}
 +
Это значит, что нет сообщений, которые пересекают весь согласованный интервал в обратную сторону (или, что то же самое, нет и "произошло-до" в обратную сторону).
 +
Если взять $[G, G]$, то получим в точности определение согласованного среза.
  
Это значит, что нет сообщений через согласованный интервал в обратную сторону. Отсюда следует, что в согласованном интервале есть согласованный срез. Более того, в обратную сторону тоже верно.
+
Теорема: "интервал $[G, H]$ согласован" равносильно "существует согласованный срез $X$ внутри интервала: $G \le X \le H$".
  
В самом деле: рассмотрим произвольный согласованный интервал <tex>[G, H]</tex>.
+
В одну сторону очевидно: если внутри интервала есть согласованный срез, то этот срез в обратную сторону сообщения
 +
пересекать не могут. Значит, не могут они пересекать и весь интервал.
 +
 
 +
В обратную сторону (на экзамене не требуется): рассмотрим произвольный согласованный интервал <tex>[G, H]</tex>.
 
В доказательстве ниже будем считать, что $a \to a$ для простоты (но можно переписать доказательство и без рефлексивности).
 
В доказательстве ниже будем считать, что $a \to a$ для простоты (но можно переписать доказательство и без рефлексивности).
  
<tex>G</tex> может не быть срезом (если есть стрелочка из <tex>H \setminus G</tex> в <tex>G</tex>), что печально.
+
<tex>G</tex> может не быть согласованным срезом (если есть стрелочка из <tex>H \setminus G</tex> в <tex>G</tex>), что печально.
 
Но можно попробовать пойти по стрелочкам в обратную сторону.
 
Но можно попробовать пойти по стрелочкам в обратную сторону.
 
Придумаем формальное "замыкание" <tex>G</tex>: возьмём множество <tex>X = \{ e \mid \exists g \in G \colon e \rightarrow g \}</tex>.
 
Придумаем формальное "замыкание" <tex>G</tex>: возьмём множество <tex>X = \{ e \mid \exists g \in G \colon e \rightarrow g \}</tex>.

Текущая версия на 09:17, 3 июня 2019


Определение:
Интервал — упорядоченная пара срезов (не обязательно согласованных) [math][G, H][/math] такая, что [math]G \le H[/math].


Определение:
Интервал $[G, H]$ является согласованным, если [math]\forall e, g: g \in G \land e \rightarrow g \Rightarrow e \in H[/math].

Это значит, что нет сообщений, которые пересекают весь согласованный интервал в обратную сторону (или, что то же самое, нет и "произошло-до" в обратную сторону). Если взять $[G, G]$, то получим в точности определение согласованного среза.

Теорема: "интервал $[G, H]$ согласован" равносильно "существует согласованный срез $X$ внутри интервала: $G \le X \le H$".

В одну сторону очевидно: если внутри интервала есть согласованный срез, то этот срез в обратную сторону сообщения пересекать не могут. Значит, не могут они пересекать и весь интервал.

В обратную сторону (на экзамене не требуется): рассмотрим произвольный согласованный интервал [math][G, H][/math]. В доказательстве ниже будем считать, что $a \to a$ для простоты (но можно переписать доказательство и без рефлексивности).

[math]G[/math] может не быть согласованным срезом (если есть стрелочка из [math]H \setminus G[/math] в [math]G[/math]), что печально. Но можно попробовать пойти по стрелочкам в обратную сторону. Придумаем формальное "замыкание" [math]G[/math]: возьмём множество [math]X = \{ e \mid \exists g \in G \colon e \rightarrow g \}[/math].

  • $G \subseteq X$ по построению (тут пользуемся тем, что $a \to a$).
  • $X \subseteq H$, иначе есть стрелочка, пересекающая согласованный интервал в обратную сторону.
  • $X$ является срезом, так как если есть $a < b$ и $b \in X$, есть $g \in G$ такое, что $b \rightarrow g$. По транзитивности имеем $a \rightarrow g$, что и требуется.
  • $X$ является согласованным срезом. Пусть есть события $a \rightarrow b$, причём $b \in X$. Тогда есть такое $g \in G$, что $b \rightarrow g$. Следовательно, $a \rightarrow g$. Значит, $a \in X$, что и требовалось.