Изменения

Назовем пару срезов {{Определение|definition='''Интервал''' — упорядоченная пара [[Срез, согласованный срез|срезысрезов]] (не обязательно согласованных) <tex>[G, H]</tex>такая, что <tex>G \subset le H</tex>, интервалом.<br>}}{{Определение|definition=Интервал $[G, H]$ является '''согласованныйсогласованным''', если <tex>\forall e, g : g \in G \land e \rightarrow g \Rightarrow e \in H</tex>.}}Это значит, что нет сообщений, которые пересекают весь согласованный интервал в обратную сторону (или, что то же самое, нет и "произошло-до" в обратную сторону).Если взять $[G, G]$, то получим в точности определение согласованного среза.

Это значитТеорема: "интервал $[G, H]$ согласован" равносильно "существует согласованный срез $X$ внутри интервала: $G \le X \le H$". В одну сторону очевидно: если внутри интервала есть согласованный срез, то этот срез в обратную сторону сообщенияпересекать не могут. Значит, что нет сообщений через не могут они пересекать и весь интервал. В обратную сторону (на экзамене не требуется): рассмотрим произвольный согласованный интервал <tex>[G, H]</tex>.В доказательстве ниже будем считать, что $a \to a$ для простоты (но можно переписать доказательство и без рефлексивности). <tex>G</tex> может не быть согласованным срезом (если есть стрелочка из <tex>H \setminus G</tex> в <tex>G</tex>), что печально.Но можно попробовать пойти по стрелочкам в обратную сторону. Отсюда следуетПридумаем формальное "замыкание" <tex>G</tex>: возьмём множество <tex>X = \{ e \mid \exists g \in G \colon e \rightarrow g \}</tex>.* $G \subseteq X$ по построению (тут пользуемся тем, что в согласованном интервале $a \to a$).* $X \subseteq H$, иначе есть стрелочка, пересекающая согласованный срез. Более того, интервал в обратную сторону тоже верно.* $X$ является срезом, так как если есть $a < b$ и $b \in X$, есть $g \in G$ такое, что $b \rightarrow g$. По транзитивности имеем $a \rightarrow g$, что и требуется.* $X$ является согласованным срезом. Пусть есть события $a \rightarrow b$, причём $b \in X$. Тогда есть такое $g \in G$, что $b \rightarrow g$. Следовательно, $a \rightarrow g$. Значит, $a \in X$, что и требовалось.