105
правок
Изменения
м
*Любые два слагаемых различаются как минимум в двух позициях
*Ни один из конъюнктов не содержится в другом. Например, <tex>(x \land y)</tex> содержится в <tex>(x \land y \land z)</tex>.
}}
Например, для |Для такой ДНФ: <tex>(X \wedge \neg Y \wedge Z) \vee </tex> <tex> (X \wedge Y \wedge Z) \vee </tex><tex> (\neg X \wedge Y \wedge Z) \vee </tex><tex> (\neg X \wedge Y \wedge \neg Z) \vee </tex><tex>( X \wedge Y \wedge \neg Z)</tex> мы получим следующий гиперкуб (риссм. 1рисунок) |- |Далее обработка гиперкуба идёт следующим образом:
* |- |Если в данном гиперкубе есть грань, все вершины на которой закрашены чёрным, то мы можем записать её в качестве конъюнкта, где будет только переменная с неизменяющейся соответствующей ей координатой, например, грань. |Грань, на которой лежат закрашенные вершины <tex>(0,1,1), (0,1,0), (1,1,0) </tex> и <tex>(1,1,1) </tex> мы можем записать как конъюнкт <tex>Y</tex>.* |- |Теперь мы смотрим, остались ли на рёбрах куба закрашенные и не отмеченные нами в ДНФ вершины. Если — да, то рёбра с такими вершинами мы можем записать в качестве конъюнкта, где будут только переменные с неизменяющимися соответствующим им координатами, например, ребро |Ребро, соединяющее закрашенные вершины <tex>(0,1,1) </tex> и <tex>(1,1,1) </tex> мы можем записать как конъюнкт <tex>(Y \wedge Z)</tex>.* |- |И если после такой обработки у нас остались свободные вершины, мы просто переписываем координаты каждой такой вершины в отдельный конъюнкт, равный <tex>1</tex>. Например, вершину |Вершину <tex>(1,0,1) </tex> мы бы переписали как конъюнкт <tex>(X \wedge \neg Y \wedge Z)</tex>. |}
<br>{| borderclass="wikitable" style="1background-color:#FFF; text-align:center" | colspan="2" rowspan="2" | !style="background-color:#F0F8FF;" |<tex> w </tex> !style="background-color:#F0F8FF;" |<tex> w </tex> !style="background-color:#F0F8FF;" |<tex> \neg {w}</tex> !style="background-color:#F0F8FF;" |<tex> \neg {w}</tex> |- | ! style="background-color:#F8F8FF;" | !<tex>z</tex> !style="background-color:#F8F8FF;" |<tex> \neg {z}</tex> !style="background-color:#F8F8FF;" |<tex> \neg {z}</tex> !style="background-color:#F8F8FF;" |<tex>z</tex> |- !style="background-color:#E0FFFF;" |<tex>y</tex> !style="background-color:#FFF5EE;" |<tex>x</tex> | | | | |- !style="background-color:#E0FFFF;" |<tex>y</tex> !style="background-color:#FFF5EE;" |<tex> \neg {x}</tex> | |<tex>1</tex> |<tex>1</tex> | |- !style="background-color:#E0FFFF;" |<tex> \neg {y}</tex> !style="background-color:#FFF5EE;" |<tex> \neg {x}</tex> | |<tex>1</tex> |<tex>1</tex> |1 |- !style="background-color:#E0FFFF;" |<tex> \neg {y}</tex> !style="background-color:#FFF5EE;" |<tex>x</tex> | | |<tex>1</tex> |<tex>1</tex> |}<br>*Теперь мы покрываем прямоугольниками (длины сторон которых {{---}} степени двойки (<tex>1, 2, 4</tex>)) те ячейки карт Карно, которые содержат в себе единицу (на каждом ходу мы выбираем такой прямоугольник, чтобы он покрывал наибольшее количество ещё не покрытых клеток) до тех пор, пока не покроем все такие ячейки (для . Для карт Карно на примере это выглядело бы так):<br>{| borderclass="wikitable" style="1background-color:#FFF; text-align:center" | colspan="2" rowspan="2" | !style="background-color:#F0F8FF;" |<tex> w </tex> !style="background-color:#F0F8FF;" |<tex> w </tex> !style="background-color:#F0F8FF;" |<tex> \neg {w}</tex> !style="background-color:#F0F8FF;" |<tex> \neg {w}</tex> |- | ! style="background-color:#F8F8FF;" | !<tex> z </tex> !style="background-color:#F8F8FF;" |<tex> \neg {z}</tex> !style="background-color:#F8F8FF;" |<tex> \neg {z}</tex> !style="background-color:#F8F8FF;" |<tex> z </tex> |- !style="background-color:#E0FFFF;" |<tex> y </tex> !style="background-color:#FFF5EE;" |<tex> x </tex> | | | | |- !style="background-color:#E0FFFF;" |<tex> y </tex> !style="background-color:#FFF5EE;" |<tex> \neg {x}</tex> | |style="background-color:#F4A460FFA07A;"|<tex>1</tex> |style="background-color:#F4A460FFA07A;"|<tex>1</tex> | |- !style="background-color:#E0FFFF;" |<tex> \neg {y}</tex> !style="background-color:#FFF5EE;" |<tex> \neg {x}</tex> | |style="background-color:#F4A460FFA07A;"|<tex>1</tex> |style="background-color:#B4D19A80D0BD;"|<tex>1</tex> |style="background-color:#7FFFD400FFFF;"|<tex>1</tex> |- !style="background-color:#E0FFFF;" |<tex> \neg {y}</tex> !style="background-color:#FFF5EE;" |<tex> x </tex> | | |style="background-color:#7FFFD400FFFF;"|<tex>1</tex> |style="background-color:#7FFFD400FFFF;"|<tex>1</tex>
<br>*После этого записываем каждый прямоугольник в виде конъюнкта, в котором будут указаны только те переменные, которые одинаковы для всех ячеек этого прямоугольника. То есть, в этом примере получаем: <tex>(\neg Z \wedge \neg X) \vee (\neg W \wedge \neg Y)</tex>
ИмпликантыЧлены сокращённой формы, не подлежащие исключению, образуют ядро. Такие импликанты члены определяются по вышеуказанной матрице. Для каждой из них имеется хотя бы один столбец, перекрываемый только этой импликантой.Для получения минимальной формы достаточно выбрать из импликантов, не входящих в ядро, такое минимальное их число с минимальным количеством букв в каждом из этих импликант, которое обеспечит перекрытие всех столбцов, не перекрытых членами ядраэтим членом.
| +|-|3|<tex>x\neg yz\neg w+</tex>| +
Дмитрий Мурзин переименовал страницу Сокращенная и минимальная ДНФ в Сокращённая и минимальная ДНФ: Ёфикация
{{Определение
|definition =
'''Сокращенная ДНФ: ''' (англ. ''reduced disjunctive normal form'') {{---}} форма записи функции, обладающая следующими свойствами:* любые два слагаемых различаются как минимум в двух позициях, * ни один из конъюнктов не содержится в другом.}}'''Например:'''<tex>(x \land y)</tex> содержится в <tex>(x \land y \land z)</tex>.
Функцию можно записать с помощью сокращенной ДНФ не единственным способом.
Так как <tex>z \land \lnot z = 0</tex>, то такой конъюнкт не влияет на значение выражения, и его можно опустить.
Получим в итоге формулу <tex>(x \land y) \lor (y \land z) \lor (x \land z)</tex>.
== Минимальная ДНФ ==
{{Определение
|definition =
'''Минимальная ДНФ ''' (англ. ''minimal disjunctive normal form'') {{---}} такая сокращенная ДНФ, в которой содержится минимальное количество вхождений переменных.
}}
Каждая минимальная ДНФ является сокращенной, но не каждая сокращенная {{---}} минимальна.
Например, запись <tex>(x \land y) \lor (y \land z) \lor (x \land z)</tex> является минимальной ДНФ для медианы (она же сокращенная, как видно в примере выше); а запись <tex>(x \land y \land \lnot z) \lor (\neg x \land y \land z) \lor (x \land z)</tex> {{- --}} не минимальная, но сокращенная ДНФ.<br>
== Минимизация ДНФ ==
=== Визуализация гиперкубами ===
[[Файл:Гиперкуб.PNG||right|рис. 1]]
Этот способ работает при количестве переменных не больше трёх (в противном необходимо вводить четвёртое или следующие за ним измерения для представления фигур).
Сначала мы рисуем куб в системе отсчёта <tex>Oxyz </tex> (названия координатных осей соответствуют названиям переменных). Затем каждую вершину обрабатываем следующим образом:*{| border="0" |'''Описание алгоритма''' |'''Пример''' |- |Если у нас конъюнкт, переменные в котором равны соответствующим координатам вершины (пример: вершине , то в эту вершину мы помещаем закрашенный чёрным кружок. |Вершине с координатами <tex>(0,1,1) </tex>соответствует конъюнкт <tex>(\neg X \wedge Y \wedge Z)</tex>, он равен единице при <tex>X=0, Y=1 </tex> и <tex>Z=1</tex>), то в эту вершину мы помещаем закрашенный чёрным кружок.* |- |В противном случае мы помещаем в вершину закрашенный белый кружок.
пока у нас есть незакрашенные вершины, мы выбираем грань, либо вершину, либо ребро, на которых больше всего закрашенных чёрным вершин и ещё не обработанных вершин.
В итоге нашу изначальную ДНФ можно записать как <tex>(Y) \vee (X \wedge Z)</tex>.
=== Карты Карно ===
Построим следующую таблицу <tex>n*\times n</tex>, где <tex>n </tex> {{---}} количество число переменных:{| borderclass="1wikitable" style="background-color:#FFF; text-align:center" | colspan="2" rowspan="2" | !style="background-color:#F0F8FF;" |<tex> w </tex> !style="background-color:#F0F8FF;" |<tex> w </tex> !style="background-color:#F0F8FF;" |<tex> \neg {w}</tex> !style="background-color:#F0F8FF;" |<tex> \neg {w}</tex> |- | ! style="background-color:#F8F8FF;" | !<tex>z</tex> !style="background-color:#F8F8FF;" |<tex> \neg {z}</tex> !style="background-color:#F8F8FF;" |<tex> \neg {z}</tex> !style="background-color:#F8F8FF;" |<tex>z</tex> |- !style="background-color:#E0FFFF;" |<tex>y</tex> !style="background-color:#FFF5EE;" |<tex>x</tex> | | | | |- !style="background-color:#E0FFFF;" |<tex>y</tex> !style="background-color:#FFF5EE;" |<tex> \neg {x}</tex> | | | | |- !style="background-color:#E0FFFF;" |<tex> \neg {y}</tex> !style="background-color:#FFF5EE;" |<tex> \neg {x}</tex> | | | | |- !style="background-color:#E0FFFF;" |<tex> \neg {y}</tex> !style="background-color:#FFF5EE;" |<tex>x</tex> | | | | |} Теперь для каждого конъюнкта мы помечаем соответствующую ему ячейку таблицы. Например, ДНФ
<br>
<br>
<tex>(\neg X \wedge Y \wedge \neg Z \wedge W) \vee (\neg X \wedge Y \wedge \neg Z \wedge \neg W) \vee (\neg X \wedge \neg Y \wedge \neg Z \wedge \neg W) \vee (\neg X \wedge \neg Y \wedge \neg Z \wedge \neg W) \vee (\neg X \wedge \neg Y \wedge Z \wedge \neg W) \vee (X \wedge \neg Y \wedge \neg Z \wedge \neg W) \vee (\neg X \wedge \neg Y \wedge \neg Z \wedge \neg W)</tex>
<br>
<br>
будет выглядеть на картах Карно так:
<br>
|}
===Метод Квайна===
Этот метод основан на применении двух основных соотношенийопераций:
*Операция попарного неполного склеивания:
:<tex>A x \lor A \neg x = A x \lor A \neg x \lor A</tex>
*Операция элементарного поглощения:
:<tex>A \tilde x \lor A = A </tex>
:(где <tex>A </tex> {{---}} любое элементарное произведениенекоторая элементарная конъюнкция, то есть конъюнкт, в который каждая из переменных входит не более одного раза.)'''Например:''' Пусть <tex>A = y\neg z\neg w</tex>, тогда:*Операция попарного неполного склеивания::<tex>y\neg z\neg w x \lor y\neg z\neg w \neg x = y\neg z\neg w x \lor y\neg z\neg w \neg x \lor y\neg z\neg w</tex>*Операция элементарного поглощения::<tex>y\neg z\neg w \tilde x \lor y\neg z\neg w = y\neg z\neg w</tex>
Метод состоит в последовательном выполнении всех возможных склеиваний и затем всех поглощений частей СДНФ пока это может быть осуществимо.
====Описание алгоритма====
*Исходным является множество пар вида <tex>Ax</tex> или <tex>A \neg x</tex>
*Выполняются все возможные операции неполного попарного склеивания для элементарных конъюнкций длины <tex> n </tex> (где <tex> n </tex> {{---}} количество число аргументов).*Выполняются все возможные операции элементарного поглощения для элементарных конъюнкций длины <tex> n-1 </tex> (общая часть "<tex>p</tex>" имеет длину <tex> n-1</tex>)*В результате получилось множество элементарных конъюнкций, разделяемых на два подмножества(по длине):**подмножество элементарных конъюнкций длины <tex> n </tex> (оставшиеся)**подмножество элементарных конъюнкций длины <tex> n-1</tex>*Если множество элементарных конъюнкций длины <tex> n-1 </tex> не пусто, то заново выполняются шаги со второго операции неполного попарного склеивания и элементарного поглощения для конъюнкций длины <tex> n-1 </tex> и т.дтак далее.
Алгоритм завершается, когда подмножество является пустым, либо нельзя выполнить ни одной операции неполного попарного склеивания.
После выполнения этого алгоритма будет получена сокращенная (но еще не минимальная ) форма.
Переход от сокращённой формы к минимальной осуществляется с помощью импликантной матрицыспециальной таблицы.Члены СДНФ заданной функции вписываются в столбцы, а в строки — простые импликанты, то есть члены сокращённой формы. Отмечаются столбцы членов СДНФ, которые поглощаются отдельными простыми импликантамиэлементами сокращённой формы.
Для получения минимальной формы достаточно выбрать из членов сокращённой формы, не входящих в ядро, такое минимальное их число с минимальным количеством букв в каждом из этих членов, которое обеспечит перекрытие всех столбцов, не перекрытых членами ядра.
====Пример==== Функция от четырёх аргументов задана следующей таблицей:{|borderclass="1wikitable" style="background-color:#FFF; text-align:center"|!Набор <tex>xyzw</tex>|<tex>0000</tex>|<tex>0001</tex>|<tex>0010</tex>|<tex>0011</tex>|<tex>0100</tex>|<tex>0101</tex>|<tex>0110</tex>|<tex>0111</tex>|<tex>1000</tex>|<tex>1001</tex>|<tex>1010</tex>|<tex>1011</tex>|<tex>1100</tex>|<tex>1101</tex>|<tex>1110</tex>|<tex>1111|-|Значение исходной функции|1|0|0|0|1|0|0|0|0|0|1|1|1|1|1|1</tex>
|-
!Значение
исходной
функции
|<tex>1</tex>
|<tex>0</tex>
|<tex>0</tex>
|<tex>0</tex>
|<tex>1</tex>
|<tex>0</tex>
|<tex>0</tex>
|<tex>0</tex>
|<tex>0</tex>
|<tex>0</tex>
|<tex>1</tex>
|<tex>1</tex>
|<tex>1</tex>
|<tex>1</tex>
|<tex>1</tex>
|<tex>1</tex>
|}
Проведём операции неполного склеивания и поглощения: {|borderclass="wikitable" style="1background-color:#FFF; text-align:center;"|!№|Эл. !Элементарная конъюнкция|!Поглощение
|-
|<tex>1</tex>
|<tex>\neg x\neg y\neg z\neg w</tex>
| <tex>+</tex>
|-
|<tex>2</tex>
|<tex>\neg xy\neg z\neg w</tex>
|-
|4<tex>3</tex>|<tex>x\neg y zwyz\neg w</tex>| <tex>+</tex>
|-
|5<tex>4</tex>|<tex>xy\neg zx\neg wy zw</tex>| <tex>+</tex>
|-
|6<tex>5</tex>|<tex> xy\neg zwz\neg w</tex>| <tex>+</tex>
|-
|7<tex>6</tex>|<tex>xyz xy\neg wzw</tex>| <tex>+</tex>
|-
|8<tex>7</tex>|<tex>xyzwxyz\neg w</tex>| <tex>+</tex>
|-
|<tex>8</tex>
|<tex> xyzw</tex>
|<tex>+</tex>
|}
{|borderclass="1wikitable" style="background-color:#FFF; text-align:center;"|№№ скл.!№ склеивания|!Результат
|-
| <tex>1 - 2</tex>
|<tex>\neg x \neg z\neg w</tex>
|-
| <tex>2 - 5</tex>
|<tex>y \neg z\neg w</tex>
|-
| <tex>3 - 4|<tex>x \neg yz</tex>|-| 3 - 7|<tex>\neg x \neg z\neg wyz</tex>
|-
| 4 <tex>3- 87</tex>|<tex> xzw\neg x \neg z\neg w</tex>
|-
| 5 <tex>4- 68</tex>|<tex>xy\neg z xzw</tex>
|-
| <tex>5 - 76</tex>|<tex>xy \neg wz</tex>
|-
| 6 <tex>5- 87</tex>|<tex>xyw xy \neg w</tex>
|-
| 7 <tex>6- 8</tex>|<tex>xyzxyw</tex>
|-
|<tex>7-8</tex>
|<tex> xyz</tex>
|}
На данном шаге все элементы вида <tex>Ax</tex> или <tex>A \neg x</tex> участвовали в операциях попарного неполного склеивания и были поглощены своими собственными частями. Поэтому элементы сокращённой ДНФ на этом шаге не получены. {|borderclass="1wikitable" style="background-color:#FFF;text-align:center;"|!№|Эл. !Элементарная конъюнкция|!Поглощение
|-
| <tex>1</tex>|<tex>\neg x \neg z\neg w</tex>
|
|-
| <tex>2</tex>|<tex>y \neg z\neg w</tex>
|
|-
| <tex>3</tex>|<tex>x \neg yz</tex>| <tex>+</tex>
|-
| <tex>4</tex>|<tex>\neg x \neg z\neg w</tex>| +|-| 5|<tex> xzw+</tex>| +
|-
| 6<tex>5</tex>|<tex>xy\neg z xzw</tex>| <tex>+</tex>
|-
| 7<tex>6</tex>|<tex> xy \neg wz</tex>| <tex>+</tex>
|-
| 8<tex>7</tex>|<tex>xywxy\neg w</tex>| <tex>+</tex>
|-
| 9<tex>8</tex>|<tex>xyzxyw</tex>| <tex>+</tex>
|-
|<tex>9</tex>
|<tex> xyz</tex>
|<tex>+</tex>
|}
{|borderclass="1wikitable" style="background-color:#FFF; text-align:center;"|№№ скл.!№ склеивания|!Результат
|-
| <tex>3 - 9</tex>
|<tex>xz</tex>
|-
| <tex>4 - 5</tex>
|<tex>xz</tex>
|-
| <tex>6 - 9|<tex>xy</tex>|-| 7 - 8|<tex>xy</tex>
|-
|<tex>7-8</tex>
|<tex> xy</tex>
|}
На данном этапе получаем элементы сокращённой ДНФ <tex>\neg x \land \neg z \land \neg w</tex> и <tex>y \land \neg z \land \neg w</tex> {|borderclass="wikitable" style="1background-color:#FFF;text-align:center;"|!№|Эл. !Элементарная конъюнкция|!Поглощение
|-
| <tex>1</tex>
|<tex>xz</tex>
|
|-
| <tex>2</tex>
|<tex>xy</tex>
|
|}
Обе элементарные конъюнкции на данном шаге являются элементами сокращённой ДНФ.
В результате выполнения алгоритма мы получаем следующую сокращённую ДНФ: <tex>(\neg x \land \neg z \land \neg w) \lor (y \land \neg z \land \neg w) \lor (x \land z) \lor (x \land y) </tex>
Переход от сокращённой формы к минимальной:
*Единицы ДНФ, покрываемые элементами <tex>Ax</tex> или <tex>A \neg x</tex> обозначаются "+". Пары <tex>Ax</tex> и <tex>A \neg x</tex>, попадающие в ядро помечаются "*".
*Единицы функции, которые покрываются только каким-то одним конъюнктом из системы элементов сокращённой ДНФ, помечаются “>”.
*Единицы функции, покрываемые ядром, но не покрываемые только каким-то одним конъюнктом из системы элементов сокращённой ДНФ помечаются “>>”.
{| class="wikitable" style="background-color:#FFF; text-align:center;"
|
!<tex>\neg x\neg y\neg z\neg w</tex><tex>></tex>
!<tex>\neg x y\neg z\neg w</tex><tex>>></tex>
!<tex>x\neg yz\neg w</tex><tex>></tex>
!<tex>x\neg yzw</tex><tex>></tex>
!<tex>xy\neg z\neg w</tex><tex>>></tex>
!<tex>xy\neg zw</tex><tex>></tex>
!<tex>xyz\neg w</tex><tex>>></tex>
!<tex>xyzw</tex><tex>>></tex>
|-
!<tex>\neg x\neg z\neg w^*</tex>
| style="background-color:#FF7F50;" | <tex>+</tex>
|<tex>+</tex>
|
|
|
|
|
|
|-
!<tex>y\neg z\neg w</tex>
|
|<tex>+</tex>
|
|
|<tex>+</tex>
|
|
|
|-
!<tex>xz^*</tex>
|
|
| style="background-color:#FF7F50;" | <tex>+</tex>
| style="background-color:#FF7F50;" | <tex>+</tex>
|
|
|<tex>+</tex>
|<tex>+</tex>
|-
!<tex>xy^*</tex>
|
|
|
|
|<tex>+</tex>
| style="background-color:#FF7F50;" | <tex>+</tex>
|<tex>+</tex>
|<tex>+</tex>
|}
На основе этой таблицы получим ядро <tex>(\neg x \land \neg z \land \neg w) \lor (x \land z) \lor (x \land y) </tex>, которое является также и минимальной ДНФ.
==СсылкиСм. также==* [[ДНФ]]* [[КНФ]] ==Источники информации==
<references/>
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B8%D0%B7%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F_%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D1%85_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9_%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D0%BC_%D0%9A%D1%83%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D0%B0 Минимизация логических функций методом Куайна — Википедия]
*[http://matrixcalc.org/pf1.htmlМетод Квайна]
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B0_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%BE Карта Карно — Википедия]
*[http://vuz.exponenta.ru/PDF/book/kv.htmlМинимизация булевых функций в классе ДНФ]*[http://tablica-istinnosti.ru/minimizatsiya-dnf-metodom-kvayna.htmlМинимизация ДНФ методом Квайна] [[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]] [[Категория: Комбинаторика ]] [[Категория: Булевы функции ]]
