Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Сокращённая и минимальная ДНФ

3007 байт добавлено, 23:49, 31 января 2019
м
Дмитрий Мурзин переименовал страницу Сокращенная и минимальная ДНФ в Сокращённая и минимальная ДНФ: Ёфикация
{{Определение
|definition =
'''Сокращенная ДНФ''' (англ. ''reduced disjunctive normal form'') {{---}} форма записи функции, обладающая следующими свойствами: * любые два слагаемых различаются как минимум в двух позициях, * ни один из конъюнктов не содержится в другом.
}}
'''Например:'''
Построим следующую таблицу <tex>n \times n</tex>, где <tex>n</tex> {{---}} число переменных:
{| borderclass="1wikitable" style="background-color:#FFF; text-align:center" | colspan="2" rowspan="2" | !style="background-color:#F0F8FF;" |<tex> w </tex> !style="background-color:#F0F8FF;" |<tex> w </tex> !style="background-color:#F0F8FF;" |<tex> \neg {w}</tex> !style="background-color:#F0F8FF;" |<tex> \neg {w}</tex> |- | ! style="background-color:#F8F8FF;" | !<tex>z</tex> !style="background-color:#F8F8FF;" |<tex> \neg {z}</tex> !style="background-color:#F8F8FF;" |<tex> \neg {z}</tex> !style="background-color:#F8F8FF;" |<tex>z</tex> |- !style="background-color:#E0FFFF;" |<tex>y</tex> !style="background-color:#FFF5EE;" |<tex>x</tex> | | | | |- !style="background-color:#E0FFFF;" |<tex>y</tex> !style="background-color:#FFF5EE;" |<tex> \neg {x}</tex> | | | | |- !style="background-color:#E0FFFF;" |<tex> \neg {y}</tex> !style="background-color:#FFF5EE;" |<tex> \neg {x}</tex> | | | | |- !style="background-color:#E0FFFF;" |<tex> \neg {y}</tex> !style="background-color:#FFF5EE;" |<tex>x</tex> | | | | |} 
Теперь для каждого конъюнкта мы помечаем соответствующую ему ячейку таблицы.
будет выглядеть на картах Карно так:
<br>
<br>{| borderclass="wikitable" style="1background-color:#FFF; text-align:center" | colspan="2" rowspan="2" | !style="background-color:#F0F8FF;" |<tex> w </tex> !style="background-color:#F0F8FF;" |<tex> w </tex> !style="background-color:#F0F8FF;" |<tex> \neg {w}</tex> !style="background-color:#F0F8FF;" |<tex> \neg {w}</tex> |- | ! style="background-color:#F8F8FF;" | !<tex>z</tex> !style="background-color:#F8F8FF;" |<tex> \neg {z}</tex> !style="background-color:#F8F8FF;" |<tex> \neg {z}</tex> !style="background-color:#F8F8FF;" |<tex>z</tex> |- !style="background-color:#E0FFFF;" |<tex>y</tex> !style="background-color:#FFF5EE;" |<tex>x</tex> | | | | |- !style="background-color:#E0FFFF;" |<tex>y</tex> !style="background-color:#FFF5EE;" |<tex> \neg {x}</tex> | |<tex>1</tex> |<tex>1</tex> | |- !style="background-color:#E0FFFF;" |<tex> \neg {y}</tex> !style="background-color:#FFF5EE;" |<tex> \neg {x}</tex> | |<tex>1</tex> |<tex>1</tex> |<tex>1</tex> |- !style="background-color:#E0FFFF;" |<tex> \neg {y}</tex> !style="background-color:#FFF5EE;" |<tex>x</tex> | | |<tex>1</tex> |<tex>1</tex> |}<br>
Теперь покрываем прямоугольниками (длины сторон которых {{---}} степени двойки (<tex>1, 2, 4</tex>)) те ячейки карт Карно, которые содержат в себе единицу (на каждом ходу мы выбираем такой прямоугольник, чтобы он покрывал наибольшее количество ещё не покрытых клеток) до тех пор, пока не покроем все такие ячейки.
Для карт Карно на примере это выглядело бы так:
<br>{| borderclass="wikitable" style="1background-color:#FFF; text-align:center" | colspan="2" rowspan="2" | !style="background-color:#F0F8FF;" |<tex> w </tex> !style="background-color:#F0F8FF;" |<tex> w </tex> !style="background-color:#F0F8FF;" |<tex> \neg {w}</tex> !style="background-color:#F0F8FF;" |<tex> \neg {w}</tex> |- | ! style="background-color:#F8F8FF;" | !<tex> z </tex> !style="background-color:#F8F8FF;" |<tex> \neg {z}</tex> !style="background-color:#F8F8FF;" |<tex> \neg {z}</tex> !style="background-color:#F8F8FF;" |<tex> z </tex> |- !style="background-color:#E0FFFF;" |<tex> y </tex> !style="background-color:#FFF5EE;" |<tex> x </tex> | | | | |- !style="background-color:#E0FFFF;" |<tex> y </tex> !style="background-color:#FFF5EE;" |<tex> \neg {x}</tex> | |style="background-color:#F4A460FFA07A;"|<tex>1</tex> |style="background-color:#F4A460FFA07A;"|<tex>1</tex> | |- !style="background-color:#E0FFFF;" |<tex> \neg {y}</tex> !style="background-color:#FFF5EE;" |<tex> \neg {x}</tex> | |style="background-color:#F4A460FFA07A;"|<tex>1</tex> |style="background-color:#B4D19A80D0BD;"|<tex>1</tex> |style="background-color:#7FFFD400FFFF;"|<tex>1</tex> |- !style="background-color:#E0FFFF;" |<tex> \neg {y}</tex> !style="background-color:#FFF5EE;" |<tex> x </tex> | | |style="background-color:#7FFFD400FFFF;"|<tex>1</tex> |style="background-color:#7FFFD400FFFF;"|<tex>1</tex>
|}
<br>
После этого записываем каждый прямоугольник в виде конъюнкта, в котором будут указаны только те переменные, которые одинаковы для всех ячеек этого прямоугольника.
*Операция попарного неполного склеивания:
:<tex>A x \lor A \neg x = A x \lor A \neg x \lor A</tex>
*Операция элементарного поглощения:
:<tex>A \tilde x \lor A = A </tex>
:(где <tex>A</tex> {{---}} любое элементарное произведениенекоторая элементарная конъюнкция, то есть конъюнкт, в который каждая из переменных входит не более одного раза)'''Например:''' Пусть <tex>A = y\neg z\neg w</tex>, тогда:*Операция попарного неполного склеивания::<tex>y\neg z\neg w x \lor y\neg z\neg w \neg x = y\neg z\neg w x \lor y\neg z\neg w \neg x \lor y\neg z\neg w</tex>*Операция элементарного поглощения::<tex>y\neg z\neg w \tilde x \lor y\neg z\neg w = y\neg z\neg w</tex> 
Метод состоит в последовательном выполнении всех возможных склеиваний и затем всех поглощений частей СДНФ пока это может быть осуществимо.
====Описание алгоритма====
Функция от четырёх аргументов задана следующей таблицей:
{|borderclass="1wikitable" style="background-color:#FFF; text-align:center"|!Набор <tex>xyzw</tex>
|<tex>0000</tex>
|<tex>0001</tex>
|<tex>1111</tex>
|-
|!Значение исходной  функции
|<tex>1</tex>
|<tex>0</tex>
|<tex>1</tex>
|<tex>1</tex>
|-
|}
Проведём операции неполного склеивания и поглощения:
{|borderclass="1wikitable" style="background-color:#FFF; text-align:center;"|!№|!Элементарная конъюнкция|!Поглощение
|-
|<tex>1</tex>
|<tex>\neg x\neg y\neg z\neg w</tex>
| <tex>+</tex>
|-
|<tex>2</tex>
|<tex>\neg xy\neg z\neg w</tex>
| <tex>+</tex>
|-
|<tex>3</tex>
|<tex>x\neg yz\neg w</tex>| <tex>+</tex>
|-
|<tex>4</tex>
|<tex>x\neg y zw</tex>| <tex>+</tex>
|-
|<tex>5</tex>
|<tex> xy\neg z\neg w</tex>| <tex>+</tex>
|-
|<tex>6</tex>
|<tex> xy\neg zw</tex>| <tex>+</tex>
|-
|<tex>7</tex>
|<tex>xyz\neg w</tex>| <tex>+</tex>
|-
|<tex>8</tex>
|<tex>xyzw</tex>| <tex>+|-</tex>
|}
 {|borderclass="wikitable" style="1background-color:#FFF; text-align:center;"|!№ склеивания|!Результат
|-
|<tex> 1 - 2</tex>
|<tex>\neg x \neg z\neg w</tex>
|-
|<tex> 2 - 5</tex>
|<tex>y \neg z\neg w</tex>
|-
|<tex> 3 - 4</tex>|<tex>x \neg yz</tex>|-|<tex> 3 - 7</tex>|<tex>\neg x \neg z\neg w</tex>
|-
|<tex> 4 3- 87</tex>|<tex> xzw\neg x \neg z\neg w</tex>
|-
|<tex> 5 4- 68</tex>|<tex>xy\neg z xzw</tex>
|-
|<tex> 5 - 76</tex>|<tex>xy \neg wz</tex>
|-
|<tex> 6 5- 87</tex>|<tex>xyw xy \neg w</tex>
|-
|<tex> 7 6- 8</tex>|<tex>xyzxyw</tex>
|-
|<tex>7-8</tex>
|<tex> xyz</tex>
|}
На данном шаге все элементы вида <tex>Ax</tex> или <tex>A \neg x</tex> участвовали в операциях попарного неполного склеивания и были поглощены своими собственными частями. Поэтому элементы сокращённой ДНФ на этом шаге не получены.
{|borderclass="1wikitable" style="background-color:#FFF;text-align:center;"|!№|!Элементарная конъюнкция|!Поглощение
|-
|<tex> 1</tex>|<tex>\neg x \neg z\neg w</tex>
|
|-
|<tex> 2</tex>|<tex>y \neg z\neg w</tex>
|
|-
|<tex> 3</tex>|<tex>x \neg yz</tex>| <tex>+</tex>
|-
|<tex> 4</tex>|<tex>\neg x \neg z\neg w</tex>| <tex>+</tex>
|-
|<tex> 5</tex>|<tex> xzw</tex>| <tex>+</tex>
|-
|<tex> 6</tex>|<tex> xy\neg z</tex>| <tex>+</tex>
|-
|<tex> 7</tex>|<tex>xy \neg w</tex>| <tex>+</tex>
|-
|<tex> 8</tex>|<tex>xyw</tex>| +|-|<tex> 9</tex>|<tex>xyz+</tex>| +
|-
|<tex>9</tex>
|<tex> xyz</tex>
|<tex>+</tex>
|}
 {|borderclass="wikitable" style="1background-color:#FFF; text-align:center;"|!№ склеивания|!Результат
|-
|<tex> 3 - 9</tex>
|<tex>xz</tex>
|-
|<tex> 4 - 5</tex>
|<tex>xz</tex>
|-
|<tex> 6 - 9</tex>|<tex>xy</tex>|-|<tex> 7 - 8</tex>|<tex>xy</tex>
|-
|<tex>7-8</tex>
|<tex> xy</tex>
|}
На данном этапе получаем элементы сокращённой ДНФ <tex>\neg x \land \neg z \land \neg w</tex> и <tex>y \land \neg z \land \neg w</tex>
{|borderclass="1wikitable" style="background-color:#FFF;text-align:center;"|!№|!Элементарная конъюнкция|!Поглощение
|-
|<tex> 1</tex>
|<tex>xz</tex>
|
|-
|<tex> 2</tex>
|<tex>xy</tex>
|
|-
|}
 
Обе элементарные конъюнкции на данном шаге являются элементами сокращённой ДНФ.
*Единицы функции, покрываемые ядром, но не покрываемые только каким-то одним конъюнктом из системы элементов сокращённой ДНФ помечаются “>>”.
{|borderclass="1wikitable" style="background-color:#FFF; text-align:center;"
|
|!<tex>\neg x\neg y\neg z\neg w</tex> <tex>></tex>|!<tex>\neg x y\neg z\neg w</tex><tex> >></tex>|!<tex>x\neg yz\neg w</tex> <tex>></tex>|!<tex>x\neg yzw</tex> <tex>></tex>|!<tex>xy\neg z\neg w</tex><tex> >></tex>|!<tex>xy\neg zw</tex> <tex>></tex>|!<tex>xyz\neg w</tex><tex> >></tex>|!<tex>xyzw</tex><tex> >></tex>
|-
|!<tex>\neg x\neg z\neg w^*</tex>*|style="background-color:#F4A460FF7F50;"| <tex>+</tex>| <tex>+</tex>
|
|
|
|-
|!<tex>y\neg z\neg w</tex>
|
| <tex>+</tex>
|
|
| <tex>+</tex>
|
|
|
|-
|!<tex>xz^*</tex>*
|
|
|style="background-color:#F4A460FF7F50;"| <tex>+</tex>|style="background-color:#F4A460FF7F50;"| <tex>+</tex>
|
|
| <tex>+</tex>| <tex>+</tex>
|-
|!<tex>xy^*</tex>*
|
|
|
|
| <tex>+</tex>|style="background-color:#F4A460FF7F50;"| <tex>+</tex>| <tex>+</tex>| <tex>+|-</tex>
|}
* [[ДНФ]]
* [[КНФ]]
 
 
==Источники информации==
Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Служебная:Сравнение_версий/59077...69788»

Навигация