105
правок
Изменения
м
Покажем, что между {{Утверждение|statement=Между <tex> E </tex> и <tex> E^{**} </tex> существует так называемый '''естественный изоморфизм''', сохраняющий норму точки.|proof=
{{TODO|t=придумать нормальный заголовок}}
<wikitex>
Следующие две теоремы — условие разрешимости операторных уравнений. Смысл: $Ax = y$, $y$ — дано, то ответ на вопрос, есть ли решение, состоит в проверке $y \in R(A)$, но можно ограничиться $R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A) = (\operatorname{Ker}A^*)^\bot$, сопряженный оператор можно построить, ядро поддается конструктивному описанию: $y \in R(A) \iff y \perp \operatorname{Ker} A^*$.
Например, $A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$, $A^* = A^\top : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$. $R(A) = \operatorname{Cl} R(A)$, $Ax = y$, $y$ — дано. Надо смотреть $y \perp \operatorname{Ker} A^*$, то есть $A^\top y = 0$.
Далее введем класс бесконечномерных операторов, для которых $R(A)$ — замкнуто, в частности, в этот класс входят интегральные операторы.
$<tex>\subset</tex>: <tex>\forall \varphi \in \operatorname{Ker}A^*$</tex>, $<tex>A^* \varphi = 0$, $\forall x \in E: A^*(\varphi, x) = mathbf{0, A^*(\varphi, x) = \varphi(A x) \implies \varphi(A x) = 0$}</tex>.
$Пусть <tex>y \in R(A) \implies </tex>, тогда <tex> y = Ax, \varphi \in \operatorname{Ker} A^* \implies \varphi y = \varphi(A x) = 0 \implies R(A)\subset(\operatorname{Ker}A^*)^\perp$</tex>.
$y <tex> \in \operatorname{Cl} Rvarphi (Ay), y = \lim y_n, y_n \in Rvarphi(Ax), \varphi \in \operatorname {Ker}= A^* (A)$ $\varphi(y_n, x) = 0</tex>, \varphi(y_n) \xrightarrow[]{n \to \infty} \varphi(y) \implies \operatorname{Cl}(следовательно, <tex> R(A)) \subset (\operatorname{Ker}(A^*))^\perp$ $\implies y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp \implies(?) y \in \operatorname{Cl}(R(A))$</tex>.
Проверим обратное:$y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp \implies (?) Теперь, пусть <tex>y \in \operatorname{Cl} R(A)$. Пусть это не так: $ </tex>, тогда <tex> y = \notin lim y_n, y_n \operatorname{Cl} in R(A)$</tex>.
Рассмотрим <tex> F_1 \varphi(y_n) = 0, \varphi(y_n) \xrightarrow[]{ z + ty n \to \infty} \varphi(y) \mid z implies \in varphi(y) = 0</tex>, и <tex>\operatorname{Cl}(R(A)), t \in subset (\mathbboperatorname{RKer} (A^*))^\} perp</tex>. $F_1$ {{---}} линейное множество в силу линейности $\operatorname{Cl}(R(A))$.
Покажем, что это подпространство $F$. <tex>\supset</tex>:
$Надо показать, что <tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp \implies y \in \operatorname{Cl} R(A)</tex>. Пусть это не так: <tex> y \notin \operatorname{Cl}R(F_1A) = F_1 ?$</tex>.
Проверим: $z_тРассмотрим <tex> F_1 = \left\{ z +t_ty \mid z \in \operatorname{nCl}(R(A)), y \to u notin \implies operatorname{Cl}(?R(A)) u , t \in \mathbb{R} \right\} </tex>. <tex>F_1$, т.е. $u = z + ty$</tex> {{---}} линейное множество в силу линейности <tex>\operatorname{Cl}(R(A))</tex>.
Если Покажем, что <tex>F_1</tex> -- подпространство $\mid t_{n}\mid <= const \implies$ выберем $t_{n_k}$, стремящееся к какому-то $t$tex>F</tex>. Из $z_n+t_{n}y \to u, t_{n_k}y \to ty \implies z_n \to z \in \operatorname{Cl}(Для этого нам осталось проверить замкнутость <tex>F_1)$. </tex>:
$z_{n_k}+t_{n_k}y \to z+ty$ и $z_{n_k}Пусть <tex>z_n+t_{n_kn}y \to z+ty \implies u = z+ty$</tex>, хотим убедиться в том, что <tex>u \in F_1</tex>.
$z_{n_k}+t_{n_k}y \to u$. $z_{n_k}/Если допустить, что <tex>t_{n_k} + y \to 0 \implies z_{n_k}infty</t_{n_k} \to -y \implies -y \in \operatorname{Cl}(R(A)) \implies y \in \operatorname{Cl}(R(A))$ {{---}} противоречие. $\operatorname{Cl}(F_1) = F_1$.tex>:
Построим на $F_1$ фунционал $<tex>z_{n_k}+t_{n_k}y \varphi_0 : to u</tex>. <tex>z_{n_k}/t_{n_k} + y \varphi_0(z+ty) = t to 0 \implies \varphi_0(z) = 0$ z_{n_k}/t_{n_k} \to -y \implies --y \in \operatorname{Cl}} функционал, обнуляющийся на $(R(A)) \implies y \in \operatorname{Cl}(R(A))$. Он очевидно непрерывен, по теореме Хана</tex> {{---Банаха с сохранением напрерывности его можно продолжить на $F: \widetilde{\varphi} \in F^*$} противоречие.
$Таким образом, <tex>\widetildeoperatorname{\varphiCl}\mid _{(F_1} ) = \varphi_0$F_1</tex>.
$Построим на <tex>F_1</tex> фунционал <tex>\forall y varphi_0 : \in \operatorname{Cl}varphi_0(R(Az+ty)): = t </tex>, <tex> \varphi_0(yz) = 0$</tex>. Он, очевидно, непрерывен, а по теореме Хана-Банаха с сохранением непрерывности его можно продолжить на <tex>F: \widetilde{\varphi_0} \in F^*</tex>, причем так, что <tex>\widetilde{\varphi_0}\mid _{F_1} = \varphi_0</tex>.
C другой стороны $Рассмотрим значение <tex>\widetilde{\varphi_0(y) = 1$ {{---}} противоречие, т.к. $y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp \implies y \in \operatorname{Cl}(R(A))$</tex>:
Рассмотрим <tex>f \in (\operatorname{Ker}A )^\perp</tex> — набор таких <tex>f</tex>, что если <tex>Ax=0</tex>, то <tex>f(x)=0</tex>. Теперь надо Надо показать, что <tex>f \in R(A^*)</tex>, т.е. проверить, что <tex>f = A^* \varphi = \varphi A</tex>. Если найдем <tex>\varphi</tex>, заданный на <tex>R(A)</tex>, то сможем продолжить его на все <tex>F</tex> по теореме Хана-Банаха. Рассмотрим произвольное <tex>y \in R(A)</tex>, пусть <tex>y = Ax</tex> и <tex>y = Ax'</tex>. Тогда <tex>A(x - x') = 0</tex>, то есть <tex>x - x' \in \operatorname{Ker} A</tex>, <tex>f(x - x') = 0</tex>, и <tex>f(x) = f(x')</tex>, то есть, значение функционала не зависит от того, какой конкретно <tex>x</tex> (при <tex>Ax = y</tex>) был выбран. Тогда можно взять <tex>\varphi(y) = f(x)</tex>, где <tex>y = Ax</tex> — линейный функционал, <tex>f = \varphi A^*</tex>. Осталось проверить ограниченность <tex>\varphi</tex> на <tex>R(A)</tex>. Рассмотрим <tex>E/_{\operatorname{Ker} A}</tex>, <tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to F</tex>, <tex>\widetilde{A}([x]) = Ax</tex>. <tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to R(A)</tex> — биекция, <tex>R(A)</tex> — замкнуто, <tex>F</tex> — банахово, поэтому <tex>R(A)</tex> — также банахово как подпространство в <tex>F</tex>. Введем норму для <tex>[x] \in E/_{\operatorname{Ker} A}</tex> как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x\in [x]} \|x\|</tex>. Покажем, что <tex>\widetilde{A}</tex> — ограничен: <tex>\|\widetilde{A}\| = \sup\limits_{\|[x]\| = 1} \|\widetilde{A}[x]\|</tex>. Для этого перейдем от классов эквивалентности к их представителям. Так как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x \in [x]} \|x\| = 1</tex>, найдется <tex>x \in [x]</tex>, такой, что <tex>\|x\| \le 2</tex> (по определению инфимума), возьмем его в качестве представителя (мы можем это сделать, так как значение <tex>Ax</tex> одно и тоже для любого <tex>x\in[x]</tex>). Тогда: <tex>\|\widetilde{A}\| = \sup\limits_{TODO \|[x]\| t = Далее творится какой1} \|\widetilde{A}[x]\| \le \sup\limits_{\|x\| \le 2} \|Ax\| \le \sup\limits_{\|y\| \le 1} \|A(2 y)\| \le 2 \sup\limits_{\|y\| \le 1} \|Ay\| = 2 \|A\|</tex>, так как <tex>\|A\|</tex> был ограничен, <tex>\widetilde{A}</tex> тоже окажется ограниченным. Тогда по [[Теорема Банаха об обратном операторе#Теорема Банаха о гомеоморфизме|теореме Банаха об гомеоморфизме]] существует линейный ограниченный оператор <tex>\widetilde{A}^{-1}</tex>, <tex>\| \widetilde{A}^{-то ад с использованием т1}(y) \| \le m \|y\| < 2m \|y\|</tex>. ХЗамечание: строгое неравенство нам нужно для того, чтобы обеспечить существование такого <tex> x' \in A^{-Б1}(y) </tex>, кто прошаренный в матанечто <tex> \| x' \| < 2m\| y \| </tex>. <tex>\widetilde{A}^{-1}(y) = \{ x: y = Ax \}</tex> <tex>\|\widetilde{A}^{-1}(y)\| = \inf\limits_{x\in \widetilde{A}^{-1}(y)} \|x\| < 2m \|y\| </tex>, напишите пожалуйстаследовательно, особенно про факторизацию}существует <tex> x' = A^{-1}y, \|x'\| < 2m\|y\|</tex>. <tex> \|\varphi(y)\| = \|f(x')\| \le \|f\|\|x'\| < (2m\|f\|)\|y\| </tex>, то есть, получили ограниченность <tex> \varphi </tex>, теорема доказана.
Дмитрий Мурзин переименовал страницу Сопряженный оператор в Сопряжённый оператор: Ёфикация
{{В разработке}}
[[Спектр линейного оператора|<<]][[Компактный оператор |>>]]
Все рассматриваемые далее пространства считаем Банаховыми.
== Естественное вложение ==
Введем <tex> F_x </tex> следующим образом: <tex>\forall x \in E : F_x (f) = f(x), f \in E^{*} </tex>.
<tex> F_x : E^{*} \to \mathbb{R} </tex> — функционал, заданный на <tex>E^{*}</tex>, то есть <tex> F_x \in E^{**} </tex>.
Тогда само <tex> F </tex> отображает <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.
<tex> | F_x(f) | = |f(x)| \le \| f \| \| x \| </tex>, откуда <tex> \| F_x \| \le \| x \| </tex>.
С другой стороны, по теореме следствию из теоремы Хана-Банаха, для любого <tex> \forall x_0 \in E, \exists </tex> существует <tex> f_0 \in E^* </tex>, такое, что выполняются два условия:
# <tex> f_0(x_0) = \| x_0 \| </tex>
# <tex> \| f_0 \| = 1 </tex>.
Значит, получившееся преобразование <tex> x \mapsto F_x </tex> — изометрия, <tex> \| x \| = \| F_x \| </tex>, получили '''естественное вложение''' <tex> E </tex> в <tex> E^{**} </tex>.
}}
{{Определение
|definition=
<tex> E </tex> называется '''рефлексивным''', если <tex> E </tex> будет совпадать с <tex> E^{**} </tex> при таком отображении.
}}
Например, гильбертово пространство <tex> H </tex> рефлексивно (следует из теоремы Рисса об общем виде линейного функционала).
<tex> C[0, 1] </tex> — не является рефлексивным.
== Сопряженный оператор ==
Получили, что <tex> \| A^* (\varphi) \| \le \| A \| \| \varphi \| </tex>, откуда <tex> \| A^* \| \le \| A \| </tex>.
Для доказательства в обратную сторону используем [[Теорема Хана-Банаха#hbnorm|следствие из теоремы Хана-Банаха]]:
По определению нормыоператора: <tex> \forall \varepsilon > 0 \, \exists x: \| x \| = 1 \implies \| A \| - \varepsilon < \| Ax \| </tex>.
<tex> Ax \in F </tex>, по следствию из теоремы Хана-Банаха подберем <tex> \varphi_0 \in F^*, \| \varphi_0 \| = 1: \varphi_0 (Ax) = \| Ax \| </tex>.
<tex> \| A^*(\varphi_0, x) \| = | \varphi_0(Ax) | = \| Ax \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.
<tex> \| A^*(\varphi_0, x) \| \le \| A^*(\varphi_0) \| \| x \| = \| A^*(\varphi_0) \| \le \| A^* \| \| \varphi_0 \| = \| A^* \| </tex>.
Соединяя эти два неравенства, получаем, что <tex> \forall \varepsilon > 0: \| A^* \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.
Возьмем любое гильбертово пространство <tex> H </tex>, <tex> A : H \to H </tex>.
<tex> \forall \varphi \in H^* </tex> по теореме Рисса об общем виде линейного функционала в <tex> H </tex> существует единственный
<tex> z : \varphi (y) = \langle y, z \rangle, \| \varphi \| = \| z \| </tex>.
Построим сопряженный оператор:
По теореме об общем виде линейного функционала в <tex> L_p </tex> {{TODO|t=Ее у нас в курсе не было. Спросить у Додонова, что с ней делать.}},
<tex> \forall \varphi \in E^*, x \in E: \varphi(x) = \int\limits_0^1 y(t) x(t) dt, y \in L_q </tex>, где <tex> \frac 1p + \frac 1q = 1 </tex> (<tex> p </tex> и <tex> q </tex> называются '''сопряженными показателями''').
Получили, что <tex> A^*(\varphi, x) = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex>. Обозначим <tex> z(t) = \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds </tex>, тогда <tex> A^* (\varphi) \equiv z </tex>, аналогично <tex> \varphi \equiv y </tex>.
<tex> A^* </tex> {{---}} интегральный оператор из <tex> L_q </tex>, имеющий ядро <tex> K^*(s, t) = K(t, s) </tex>. В частности, если ядро симметрично (<tex> K(s, t) = K(t, s) </tex>) и <tex> k p = q = 2 </tex>, то <tex> A = A^* </tex>.
== Ортогональное дополнение ==
Важное значение имеет '''ортогональное дополнение''' (в любом нормированном пространстве):
{{Определение|definition=Пусть <tex> E </tex> {{---}} НП, <tex> S \subset E^* </tex>.
<tex> S^{\bot} = \{ x \in E \mid \forall f \in S: f(x) = 0 \} </tex> {{---}} '''ортогональное дополнение ''' <tex> S \subset E^* </tex>.
Аналогично определяется для , если <tex> T \subset E : </tex>, то <tex> T^{\bot} = \{ f \in E^* \mid \forall x \in T: f(x) = 0 \} </tex>.}}
{{Утверждение
|statement= <tex> \{ 0 \} = (E^*)^{\bot}, \{ \mathbf{ 0 } \} = E^{\bot} </tex>.
|proof=
Оба включения <tex> \subset </tex> очевидны по определению. В обратную сторону:
# Пусть <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>, тогда <tex> \forall f \in E^*: f(x) = 0 </tex> . Предположим, что <tex> x \neq 0 </tex>, тогда по теореме [[Теорема Хана-Банаха|следствию из теоремы Хана-Банаха]], для такого <tex>x</tex>, найдется функционал <tex> \exists f: f(x) = \| x \| \neq 0 </tex>, получили противоречие, что <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>. Второе включение в обратную сторону доказывается аналогично# Пусть <tex> f \in E^\bot </tex>, тогда <tex> \forall x \in E: f(x) = 0</tex>. Тогда <tex>f</tex> — нулевой функционал по определению.
}}
== Теоремы о множестве значений оператора ==
=== Теорема 1 ===
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp </tex>.
|proof =
Если допустить <tex> |t_{n}| \le const </tex>, то выберем <tex>t_{n_k}</tex>, стремящееся к какому-то <tex>t</tex>. Из <tex>z_n+t_{n}y \to u, что $ t_{n_k} y \to ty </tex> получаем <tex> z_n \to z \infty$:in \operatorname{Cl}(R(A))</tex>.
* С одной стороны, <tex>\widetilde{\varphi_0}(y) = \varphi_0(y) = \varphi_0(0 + 1 y) = 1</tex>* С другой стороны, <tex>y \in (\operatorname{TODO|t=ПроверьтеKer}A^*)^\perp</tex>, а значит, я сам не уверенна любом функционале из ядра <tex>A^*</tex>, особенно в доказательстве $том числе, и на <tex>\operatornamewidetilde{\varphi_0}</tex>, должно выполняться <tex>\widetilde{Cl\varphi_0}(F_1y) = F_1$ там как-то не оч}}0</tex>
Получили противоречие, следовательно, <tex> y \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex>.
}}
=== Теорема 2 ===
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F),~R(A) = \operatorname{Cl} R(A) \implies R(A^*) = (\operatorname{Ker}A )^\perp </tex>.
|proof =
1) <tex>f \in R(A^*) \implies f = \varphi A , \varphi \in F^*</tex>. Рассмотрим <tex> x \in (\operatorname{Ker}A). </tex>
<tex>f(x) = \varphi(Ax) = \varphi(0) = 0 \implies R(A^*) \subset (\operatorname{Ker}A )^\perp</tex>.
2) Докажем теперь обратное включение:
}}
Эти две теоремы являются наиболее общей формой записи условий разрешимости операторных уравнений. Смысл: рассмотрим уравнение <tex>Ax = y</tex>, где <tex>y</tex> — дано. Для того, чтобы понять, разрешимо ли уравнение, нужно проверить, что <tex>y \in R(A)</tex>. В общем случае, не существует способа это сделать, но можно ограничиться проверкой <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A)</tex>, и тогда <tex>R(A) = (\operatorname{Ker}A^*)^\bot</tex>, сопряженный оператор можно построить, ядро поддается конструктивному описанию: <tex>y \in R(A) \iff y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>. Например, <tex>A: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n</tex>, <tex>A^* = A^\top : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</tex>. <tex>R(A) = \operatorname{Cl} R(A)</tex>, <tex>Ax = y</tex>, <tex>y</tex> — дано. Надо смотреть <tex>y \perp \operatorname{Ker} A^*</tex>, то есть <tex>A^\top y = 0</tex>. В следующих параграфах мы введем класс бесконечномерных операторов, для которых <tex>R(A)</wikitextex>— замкнуто, в частности, в этот класс входят интегральные операторы. [[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]
