Изменения

Покажем, что между {{Утверждение|statement=Между <tex> E </tex> и <tex> E^{**} </tex> существует так называемый '''естественный изоморфизм''', сохраняющий норму точки.|proof=

<tex> F_x : E^{*} \to \mathbb{R} </tex> — функционал, заданный на <tex>E^{*}</tex>, то есть <tex> F_x \in E^{**} </tex>.

С другой стороны, по теореме следствию из теоремы Хана-Банаха, для любого <tex> \forall x_0 \in E, \exists </tex> существует <tex> f_0 \in E^* </tex>, такое, что выполняются два условия:

<tex> C[0, 1] </tex> — не является рефлексивным.

Для доказательства в обратную сторону используем [[Теорема Хана-Банаха#hbnorm|следствие из теоремы Хана-Банаха]]:

По определению нормыоператора: <tex> \forall \varepsilon > 0 \, \exists x: \| x \| = 1 \implies \| A \| - \varepsilon < \| Ax \| </tex>.

<tex> \| A^*(\varphi_0, x) \| = | \varphi_0(Ax) | = \| Ax \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.

<tex> \| A^*(\varphi_0, x) \| \le \| A^*(\varphi_0) \| \| x \| = \| A^*(\varphi_0) \| \le \| A^* \| \| \varphi_0 \| = \| A^* \| </tex>.

<tex> \forall \varphi \in H^* </tex> по теореме Рисса об общем виде линейного функционала в <tex> H </tex> существует единственный

По теореме об общем виде линейного функционала в <tex> L_p </tex> {{TODO|t=Ее у нас в курсе не было. Спросить у Додонова, что с ней делать.}},

<tex> A^* </tex> {{---}} интегральный оператор из <tex> L_q </tex>, имеющий ядро <tex> K^*(s, t) = K(t, s) </tex>. В частности, если ядро симметрично (<tex> K(s, t) = K(t, s) </tex>) и <tex> k p = q = 2 </tex>, то <tex> A = A^* </tex>.

|statement= <tex> \{ 0 \} = (E^*)^{\bot}, \{ \mathbf{ 0 } \} = E^{\bot} </tex>.

# Пусть <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>, тогда <tex> \forall f \in E^*: f(x) = 0 </tex> . Предположим, что <tex> x \neq 0 </tex>, тогда по [[Теорема Хана-Банаха|следствию из теоремы Хана-Банаха]], для такого <tex>x</tex>, найдется функционал <tex> \exists f: f(x) = \| x \| \neq 0 </tex>, получили противоречие, что <tex> x \in (E^*)^{\bot} </tex>. Второе включение в обратную сторону доказывается аналогично# Пусть <tex> f \in E^\bot </tex>, тогда <tex> \forall x \in E: f(x) = 0</tex>. Тогда <tex>f</tex> — нулевой функционал по определению.

<tex>\varphi \in \operatorname{Ker}A^*subset</tex>, <tex>A^* \varphi = 0</tex>.:

<tex>\forall x \varphi \in E: \operatorname{Ker}A^*(\varphi, x) = 0</tex>, <tex>A^*(\varphi, x) = \varphi(A x) \implies \varphi(A x) = mathbf{0}</tex>.

<tex> \varphi (y ) = \varphi(A x) = A^*(\varphi, x) = 0 </tex>, следовательно, <tex> R(A)\subset(\operatorname{Ker}A^*)^\perp</tex>.

Проверим обратное включение:<tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp \implies y \in \operatorname{Cl} R(A)supset</tex>. Пусть это не так: <tex> y \notin \operatorname{Cl} R(A)</tex>.

Рассмотрим Надо показать, что <tex> F_1 = y \in (\operatorname{ z + ty Ker}A^*)^\mid z perp \implies y \in \operatorname{Cl}(R(A)), t \in \mathbb{R} \} </tex>. Пусть это не так: <tex>F_1</tex> {{---}} линейное множество в силу линейности <tex>y \notin \operatorname{Cl}(R(A))</tex>.

ПокажемРассмотрим <tex> F_1 = \left\{ z + ty \mid z \in \operatorname{Cl}(R(A)), y \notin \operatorname{Cl}(R(A)), что t \in \mathbb{R} \right\} </tex>. <tex>F_1</tex> {{--- подпространство }} линейное множество в силу линейности <tex>F\operatorname{Cl}(R(A))</tex>.

Проверим сначала Покажем, что <tex>F_1</tex> -- подпространство <tex>F</tex>. Для этого нам осталось проверить замкнутость <tex>F_1</tex>:

Пусть <tex>z_n+t_{n}y \to u = z + ty</tex>, хотим убедиться в том, что <tex>u \in \operatorname{Cl} R(F_1)</tex>.

Если <tex> |t_{n}| \le const </tex>, то выберем <tex>t_{n_k}</tex>, стремящееся к какому-то <tex>t</tex>. Из <tex>z_n+t_{n}y \to u, t_{n_k}y \to ty </tex> получаем <tex> z_n \to z \in \operatorname{Cl}(F_1R(A))</tex>.

Построим на <tex>F_1</tex> фунционал <tex>\varphi_0 : \varphi_0(z+ty) = t </tex>, <tex> \varphi_0(z) = 0</tex>. Этот функционал обнуляется Он, очевидно, непрерывен, а по теореме Хана-Банаха с сохранением непрерывности его можно продолжить на <tex>F: \operatornamewidetilde{Cl\varphi_0} \in F^*</tex>, причем так, что <tex>\widetilde{\varphi_0}\mid _{F_1}(R(A))= \varphi_0</tex>.

Он, очевидно, непрерывен, а по теореме Хана-Банаха с сохранением напрерывности его можно продолжить на Рассмотрим значение <tex>F: \widetilde{\varphivarphi_0} \in F^*(y)</tex>.:

* С одной стороны, <tex>\widetilde{\varphivarphi_0}(y) = \mid _{F_1} varphi_0(y) = \varphi_0(0 + 1 y) = 1</tex> * С другой стороны, <tex>\forall y \in (\operatorname{ClKer}(R(A^*)): ^\widetilde{\varphi_0}(y) = 0perp</tex>, а значит, на любом функционале из ядра <tex>A^*</tex>. C другой стороны, в том числе, и на <tex> \widetilde{\varphi_0}(y) = 1</tex> {{---}} противоречие, т.к. должно выполняться <tex>y \in (\operatornamewidetilde{Ker}A^*)^\perp \implies y \in \operatorname{Clvarphi_0}(R(A)y)= 0</tex>.

1) <tex>f \in R(A^*) \implies f = \varphi A , \varphi \in F^*</tex>.  Рассмотрим <tex> x \in (\operatorname{Ker}A). </tex>

Рассмотрим <tex>f \in (\operatorname{Ker}A )^\perp</tex> — набор таких <tex>f</tex>, что если <tex>Ax=0</tex>, то <tex>f(x)=0</tex>. Теперь надо  Надо показать, что <tex>f \in R(A^*)</tex>, т.е. проверить, что <tex>f = A^* \varphi = \varphi A</tex>. Если найдем <tex>\varphi</tex>, заданный на <tex>R(A)</tex>, то сможем продолжить его на все <tex>F</tex> по теореме Хана-Банаха. Рассмотрим произвольное <tex>y \in R(A)</tex>, пусть <tex>y = Ax</tex> и <tex>y = Ax'</tex>. Тогда <tex>A(x - x') = 0</tex>, то есть <tex>x - x' \in \operatorname{Ker} A</tex>, <tex>f(x - x') = 0</tex>, и <tex>f(x) = f(x')</tex>, то есть, значение функционала не зависит от того, какой конкретно <tex>x</tex> (при <tex>Ax = y</tex>) был выбран.  Тогда можно взять <tex>\varphi(y) = f(x)</tex>, где <tex>y = Ax</tex> — линейный функционал, <tex>f = \varphi A^*</tex>. Осталось проверить ограниченность <tex>\varphi</tex> на <tex>R(A)</tex>. Рассмотрим <tex>E/_{\operatorname{Ker} A}</tex>, <tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to F</tex>, <tex>\widetilde{A}([x]) = Ax</tex>. <tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to R(A)</tex> — биекция, <tex>R(A)</tex> — замкнуто, <tex>F</tex> — банахово, поэтому <tex>R(A)</tex> — также банахово как подпространство в <tex>F</tex>. Введем норму для <tex>[x] \in E/_{\operatorname{Ker} A}</tex> как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x\in [x]} \|x\|</tex>. Покажем, что <tex>\widetilde{A}</tex> — ограничен: <tex>\|\widetilde{A}\| = \sup\limits_{\|[x]\| = 1} \|\widetilde{A}[x]\|</tex>. Для этого перейдем от классов эквивалентности к их представителям. Так как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x \in [x]} \|x\| = 1</tex>, найдется <tex>x \in [x]</tex>, такой, что <tex>\|x\| \le 2</tex> (по определению инфимума), возьмем его в качестве представителя (мы можем это сделать, так как значение <tex>Ax</tex> одно и тоже для любого <tex>x\in[x]</tex>). Тогда: <tex>\|\widetilde{A}\| = \sup\limits_{TODO \|[x]\| t = Далее творится какой1} \|\widetilde{A}[x]\| \le \sup\limits_{\|x\| \le 2} \|Ax\| \le \sup\limits_{\|y\| \le 1} \|A(2 y)\| \le 2 \sup\limits_{\|y\| \le 1} \|Ay\| = 2 \|A\|</tex>, так как <tex>\|A\|</tex> был ограничен, <tex>\widetilde{A}</tex> тоже окажется ограниченным. Тогда по [[Теорема Банаха об обратном операторе#Теорема Банаха о гомеоморфизме|теореме Банаха об гомеоморфизме]] существует линейный ограниченный оператор <tex>\widetilde{A}^{-1}</tex>, <tex>\| \widetilde{A}^{-то ад с использованием т1}(y) \| \le m \|y\| < 2m \|y\|</tex>. ХЗамечание: строгое неравенство нам нужно для того, чтобы обеспечить существование такого <tex> x' \in A^{-Б1}(y) </tex>, кто прошаренный в матанечто <tex> \| x' \| < 2m\| y \| </tex>. <tex>\widetilde{A}^{-1}(y) = \{ x: y = Ax \}</tex> <tex>\|\widetilde{A}^{-1}(y)\| = \inf\limits_{x\in \widetilde{A}^{-1}(y)} \|x\| < 2m \|y\| </tex>, напишите пожалуйстаследовательно, особенно про факторизацию}существует <tex> x' = A^{-1}y, \|x'\| < 2m\|y\|</tex>. <tex> \|\varphi(y)\| = \|f(x')\| \le \|f\|\|x'\| < (2m\|f\|)\|y\| </tex>, то есть, получили ограниченность <tex> \varphi </tex>, теорема доказана.