105
правок
Изменения
м
Проверим сначала Покажем, что <tex>F_1</tex> -- подпространство <tex>F</tex>. Для этого нам осталось проверить замкнутость <tex>F_1</tex>:
Тогда по теореме Банаха об обратном операторе существует линейный ограниченный оператор Покажем, что <tex>\widetilde{A}^{-1}</tex>, — ограничен: <tex>\| \widetilde{A}^\| = \sup\limits_{-\|[x]\| = 1} \| \le m widetilde{A}[x]\|</tex>. Для этого перейдем от классов эквивалентности к их представителям. Так как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x \in [x]} \|yx\| = 1< 2m /tex>, найдется <tex>x \in [x]</tex>, такой, что <tex>\|yx\|\le 2</tex>(по определению инфимума), возьмем его в качестве представителя (мы можем это сделать, так как значение <tex>Ax</tex> одно и тоже для любого <tex>x\in[x]</tex>). ЗамечаниеТогда: строгое неравенство нам нужно для того, чтобы обеспечить существование такого <tex> \|\widetilde{A}\| = \sup\limits_{\|[x' ]\in | = 1} \|\widetilde{A^}[x]\| \le \sup\limits_{\|x\| \le 2} \|Ax\| \le \sup\limits_{-\|y\| \le 1}\|A(2 y) \| \le 2 \sup\limits_{\|y\| \le 1} \|Ay\| = 2 \|A\|</tex>, что так как <tex> \| x' A\| < 2m/tex> был ограничен, <tex>\| y \| widetilde{A}</tex>тоже окажется ограниченным.
Если Тогда по [[Теорема Банаха об обратном операторе#Теорема Банаха о гомеоморфизме|теореме Банаха об гомеоморфизме]] существует линейный ограниченный оператор <tex>\xi \in E/_{\operatornamewidetilde{KerA} A^{-1}, \xi = [x]</tex>, то <tex>\|\xiwidetilde{A}^{-1}(y) \| \le m \|y\| = < 2m \inf|y\limits_{|</tex>. Замечание: строгое неравенство нам нужно для того, чтобы обеспечить существование такого <tex> x' \in \xiA^{-1} (y) </tex>, что <tex> \|x' \| < 2m\| y \|</tex>.
Дмитрий Мурзин переименовал страницу Сопряженный оператор в Сопряжённый оператор: Ёфикация
{{В разработке}}
[[Спектр линейного оператора|<<]][[Компактный оператор |>>]]
Все рассматриваемые далее пространства считаем Банаховыми.
Для доказательства в обратную сторону используем [[Теорема Хана-Банаха#hbnorm|следствие из теоремы Хана-Банаха]]:
По определению нормыоператора: <tex> \forall \varepsilon > 0 \, \exists x: \| x \| = 1 \implies \| A \| - \varepsilon < \| Ax \| </tex>.
<tex> Ax \in F </tex>, по следствию из теоремы Хана-Банаха подберем <tex> \varphi_0 \in F^*, \| \varphi_0 \| = 1: \varphi_0 (Ax) = \| Ax \| </tex>.
<tex> \| A^*(\varphi_0, x) \| = | \varphi_0(Ax) | = \| Ax \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.
<tex> \| A^*(\varphi_0, x) \| \le \| A^*(\varphi_0) \| \| x \| = \| A^*(\varphi_0) \| \le \| A^* \| \| \varphi_0 \| = \| A^* \| </tex>.
Соединяя эти два неравенства, получаем, что <tex> \forall \varepsilon > 0: \| A^* \| > \| A \| - \varepsilon </tex>.
Построим сопряженный оператор:
По теореме об общем виде линейного функционала в <tex> L_p </tex> {{TODO|t=Ее у нас в курсе не было. Спросить у Додонова, что с ней делать.}},
<tex> \forall \varphi \in E^*, x \in E: \varphi(x) = \int\limits_0^1 y(t) x(t) dt, y \in L_q </tex>, где <tex> \frac 1p + \frac 1q = 1 </tex> (<tex> p </tex> и <tex> q </tex> называются '''сопряженными показателями''').
Получили, что <tex> A^*(\varphi, x) = \int\limits_0^1 ( \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds) x(t) dt </tex>. Обозначим <tex> z(t) = \int\limits_0^1 K(s, t) y(s) ds </tex>, тогда <tex> A^* (\varphi) \equiv z </tex>, аналогично <tex> \varphi \equiv y </tex>.
<tex> A^* </tex> {{---}} интегральный оператор из <tex> L_q </tex>, имеющий ядро <tex> K^*(s, t) = K(t, s) </tex>. В частности, если ядро симметрично (<tex> K(s, t) = K(t, s) </tex>) и <tex> k p = q = 2 </tex>, то <tex> A = A^* </tex>.
== Ортогональное дополнение ==
{{Утверждение
|statement= <tex> \{ 0 \} = (E^*)^{\bot}, \{ \mathbf{ 0 } \} = E^{\bot} </tex>.
|proof=
|statement= <tex> A \in \mathcal{L}(E,F) \implies \operatorname{Cl} R(A) = (\operatorname{Ker} A^*)^\perp </tex>.
|proof =
<tex>\Longrightarrowsubset</tex>:
<tex>\forall \varphi \in \operatorname{Ker}A^*</tex>, <tex>A^* \varphi = \mathbf{0}</tex>. <tex>\forall x \in E: A^*(\varphi, x) = 0, A^*(\varphi, x) = \varphi(A x) \implies \varphi(A x) = 0</tex>
Пусть <tex>y \in R(A) </tex>, тогда <tex> y = Ax </tex>.
<tex> \varphi (y) = \varphi(A x) = A^*(\varphi, x) = 0 </tex>, следовательно, <tex> R(A)\subset(\operatorname{Ker}A^*)^\perp</tex>.
Теперь, пусть <tex>y \in \operatorname{Cl} R(A)</tex>, тогда <tex> y = \lim y_n, y_n \in R(A)</tex>.
<tex>\varphi(y_n) = 0, \varphi(y_n) \xrightarrow[]{n \to \infty} \varphi(y) \implies \varphi(y) = 0</tex>, и <tex>\operatorname{Cl}(R(A)) \subset (\operatorname{Ker}(A^*))^\perp</tex>
<tex>\Longleftarrowsupset</tex>:
Надо показать, что <tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp \implies y \in \operatorname{Cl} R(A)</tex>. Пусть это не так: <tex> y \notin \operatorname{Cl} R(A)</tex>.
Рассмотрим <tex> F_1 = \left\{ z + ty \mid z \in \operatorname{Cl}(R(A)), y \notin \operatorname{Cl}(R(A)), t \in \mathbb{R} \right\} </tex>. <tex>F_1</tex> {{---}} линейное множество в силу линейности <tex>\operatorname{Cl}(R(A))</tex>. Покажем, что <tex>F_1</tex> -- подпространство <tex>F</tex>.
Пусть <tex>z_n+t_{n}y \to u = z + ty</tex>, хотим убедиться в том, что <tex>u \in \operatorname{Cl} R(F_1)</tex>.
Если <tex> |t_{n}| \le const </tex>, то выберем <tex>t_{n_k}</tex>, стремящееся к какому-то <tex>t</tex>. Из <tex>z_n+t_{n}y \to u, t_{n_k}y \to ty </tex> получаем <tex> z_n \to z \in \operatorname{Cl}(R(A))</tex>.
Таким образом, <tex>\operatorname{Cl}(F_1) = F_1</tex>.
Построим на <tex>F_1</tex> фунционал <tex>\varphi_0 : \varphi_0(z+ty) = t </tex>, <tex> \varphi_0(z) = 0</tex>. Он, очевидно, непрерывен, а по теореме Хана-Банаха с сохранением напрерывности непрерывности его можно продолжить на <tex>F: \widetilde{\varphivarphi_0} \in F^*</tex>, причем так, что <tex>\widetilde{\varphivarphi_0}\mid _{F_1} = \varphi_0</tex>.
Рассмотрим значение <tex>\widetilde{\varphi_0}(y)</tex>:
* С одной стороны, <tex>\widetilde{\varphi_0}(y) = \varphi_0(y) = \varphivarphi_0(0 + 1 y) = 1</tex>
* С другой стороны, <tex>y \in (\operatorname{Ker}A^*)^\perp</tex>, а значит, на любом функционале из ядра <tex>A^*</tex>, в том числе, и на <tex>\widetilde{\varphi_0}</tex>, должно выполняться <tex>\widetilde{\varphi_0}(y) = 0</tex>
<tex>(\operatorname{Ker}A )^\perp</tex> — набор таких <tex>f</tex>, что если <tex>Ax=0</tex>, то <tex>f(x)=0</tex>.
Надо показать, что <tex>f \in R(A^*)</tex>, т.е. проверить, что <tex>f = A^* \varphi = \varphi A</tex>.
Если найдем <tex>\varphi</tex>, заданный на <tex>R(A)</tex>, то сможем продолжить его на все <tex>F</tex> по теореме Хана-Банаха.
Рассмотрим <tex>E/_{\operatorname{Ker} A}</tex>, <tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to F</tex>, <tex>\widetilde{A}([x]) = Ax</tex>.
<tex>\widetilde{A} : E/_{\operatorname{Ker} A} \to R(A)</tex> — биекция, <tex>R(A)</tex> — замкнуто, <tex>F</tex> — банахово, поэтому <tex>R(A)</tex> — также банахово как подпространство в <tex>F</tex>. Введем норму для <tex>[x] \in E/_{\operatorname{Ker} A}</tex> как <tex>\|[x]\| = \inf\limits_{x\in [x]} \|x\|</tex>.
<tex>\widetilde{A}^{-1}(y) = \{ x: y = Ax \}</tex>
