Редактирование: Сортировка кучей

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
'''Сортировка кучей''', '''пирамидальная сортировка''' (англ. ''Heapsort'') {{---}} алгоритм сортировки, использующий структуру данных [[Двоичная куча|двоичная куча]]. Это неустойчивый алгоритм сортировки с временем работы <tex>O(n\log{n})</tex> , где <tex>n</tex> {{---}} количество элементов для сортировки, и использующий <tex>O(1)</tex> дополнительной памяти.
+
'''Сортировка кучей''', '''пирамидальная сортировка''' (англ. '''Heapsort''') {{---}} алгоритм сортировки, использующий структуру данных [[Двоичная куча|двоичная куча]]. Это неустойчивый алгоритм сортировки с временем работы <tex>O(n\log{n})</tex> , где <tex>n</tex> {{---}} количество элементов для сортировки, и использующий <tex>O(1)</tex> дополнительной памяти.
  
 
== Алгоритм ==
 
== Алгоритм ==
Необходимо отсортировать массив <tex>A</tex>, размером <tex>n</tex>. Построим на базе этого массива за <tex>O(n)</tex> кучу для максимума. Так как максимальный элемент находится в корне, то если поменять его местами с <tex>A[n - 1]</tex>, он встанет на своё место. Далее вызовем процедуру <tex> \mathrm{siftDown(0)} </tex>, предварительно уменьшив <tex> \mathrm{heapSize} </tex> на <tex>1</tex>. Она за <tex>O(\log{n})</tex> просеет <tex>A[0]</tex> на нужное место и сформирует новую кучу (так как мы уменьшили её размер, то куча располагается с <tex>A[0]</tex> по <tex>A[n - 2]</tex>, а элемент <tex>A[n-1]</tex> находится на своём месте). Повторим эту процедуру для новой кучи, только корень будет менять местами не с <tex>A[n - 1]</tex>, а с <tex>A[n-2]</tex>. Делая аналогичные действия, пока <tex> \mathrm{heapSize}  </tex> не станет равен <tex>1</tex>, мы будем ставить наибольшее из оставшихся чисел в конец не отсортированной части. Очевидно, что таким образом, мы получим отсортированный массив.
+
Необходимо отсортировать массив <tex>A</tex>, размером <tex>n</tex>. Построим на базе этого массива за <tex>O(n)</tex> невозрастающую кучу. Так как по свойству кучи максимальный элемент находится в корне, то, поменявшись его местами с <tex>A[n - 1]</tex>, он встанет на свое место. Далее вызовем процедуру <tex>sift\_down(0)</tex>, предварительно уменьшив <tex>heap\_size</tex> на <tex>1</tex>. Она за <tex>O(\log{n})</tex> просеет <tex>A[0]</tex> на нужное место и сформирует новую кучу (так как мы уменьшили ее размер, то куча располагается с <tex>A[0]</tex> по <tex>A[n - 2]</tex>, а элемент <tex>A[n-1]</tex> находится на своем месте). Повторим эту процедуру для новой кучи, только корень будет менять местами не с <tex>A[n - 1]</tex>, а с <tex>A[n-2]</tex>. Делая аналогичные действия, пока <tex>heap\_size</tex> не станет равен <tex>1</tex>, мы будем ставить наибольшее из оставшихся чисел в конец не отсортированной части. Очевидно, что таким образом, мы получим отсортированный массив.
  
 
== Реализация ==
 
== Реализация ==
*<tex>\mathrm{A}</tex> {{---}} массив, который необходимо отсортировать
+
<tex>A</tex> {{---}} массив, который необходимо отсортировать; <tex>n</tex> {{---}} количество элементов в нем; <tex>build\_heap(A)</tex> - процедура, которая строит из передаваемого массива невозрастающую кучу в этом же массиве; <tex>sift\_down(A, i, len)</tex> {{---}} процедура, которая просеивает вниз элемент <tex>A[i]</tex> в куче из <tex>len</tex> элементов, находящихся в начале массива <tex>A</tex>.
*<tex>\mathrm{n}</tex> {{---}} количество элементов в нём
+
<pre>
*<tex> \mathrm{buildHeap(A)} </tex> {{---}} процедура, которая строит из передаваемого массива кучу для максимума в этом же массиве
+
heapsort(A)
*<tex> \mathrm{siftDown(A, i, len)} </tex> {{---}} процедура, которая просеивает вниз элемент <tex> \mathrm{A[i]} </tex> в куче из <tex> \mathrm{len} </tex> элементов, находящихся в начале массива <tex> \mathrm{A} </tex>
+
  build_heap(A);
  '''fun''' heapSort(A : '''list <T>'''):
+
  heap_size = A.size;
    buildHeap(A)
+
  for i = 0 to n - 2
    heapSize = A.size
+
    swap(A[0], A[n - 1 - i]);
    '''for''' i = 0 '''to''' n - 2
+
    heap_size--;
      swap(A[0], A[n - 1 - i])
+
    sift_down(A, 0, heap_size);
      heapSize--
+
</pre>
      siftDown(A, 0, heapSize)
 
  
 
== Сложность ==
 
== Сложность ==
Операция <tex> \mathrm{siftDown} </tex> работает за <tex>O(\log{n})</tex>. Всего цикл выполняется <tex>(n - 1)</tex> раз. Таким образом сложность сортировки кучей является <tex>O(n\log{n})</tex>.
+
Операция <tex>sift\_down</tex> работает за <tex>O(\log{n})</tex>. Всего цикл выполняется <tex>(n - 1)</tex> раз. Таким образом сложность сортировки кучей является <tex>O(n\log{n})</tex>.
  
Достоинства:
 
* худшее время работы {{---}} <tex>O(n\log{n})</tex>,
 
* требует <tex>O(1)</tex> дополнительной памяти.
 
Недостатки:
 
* неустойчивая,
 
* на почти отсортированных данных работает столь же долго, как и на хаотических данных.
 
  
 
== Пример ==
 
== Пример ==
Строка 37: Строка 30:
 
  |[[Файл:heap4.png|155px|thumb|Второй проход]]
 
  |[[Файл:heap4.png|155px|thumb|Второй проход]]
 
  |[[Файл:heap5.png|155px|thumb|Третий проход]]
 
  |[[Файл:heap5.png|155px|thumb|Третий проход]]
  |[[Файл:heap6.png|155px|thumb|Четвёртый проход]]
+
  |[[Файл:heap6.png|155px|thumb|Четвертый проход]]
 
  |}
 
  |}
  
Строка 55: Строка 48:
 
|-
 
|-
 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''4''' 3 2 1 5
 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''4''' 3 2 1 5
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Строим кучу из первых четырёх элементов
+
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Строим кучу из первых четырех элементов
 
|-
 
|-
 
|colspan=3|''Второй проход''
 
|colspan=3|''Второй проход''
 
|-
 
|-
 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''1''' 3 2 '''4''' 5
 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''1''' 3 2 '''4''' 5
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Меняем местами первый и четвёртый элементы  
+
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Меняем местами первый и четвертый элементы  
 
|-
 
|-
 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''3''' 1 2 4 5
 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''3''' 1 2 4 5
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Строим кучу из первых трёх элементов
+
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Строим кучу из первых трех элементов
 
|-
 
|-
 
|colspan=3|''Третий проход''
 
|colspan=3|''Третий проход''
Строка 73: Строка 66:
 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Строим кучу из двух элементов
 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Строим кучу из двух элементов
 
|-
 
|-
|colspan=3|''Четвёртый проход''
+
|colspan=3|''Четвертый проход''
 
|-
 
|-
 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''1''' '''2''' 3 4 5
 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''1''' '''2''' 3 4 5
Строка 81: Строка 74:
 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Массив отсортирован
 
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Массив отсортирован
 
|}
 
|}
 
 
  
  
 
= JSort =
 
= JSort =
 
'''JSort''' является модификацией сортировки кучей, которую придумал Джейсон Моррисон (''Jason Morrison'').
 
'''JSort''' является модификацией сортировки кучей, которую придумал Джейсон Моррисон (''Jason Morrison'').
Алгоритм частично упорядочивает массив, строя на нём два раза кучу: один раз передвигая меньшие элементы влево, второй раз передвигая большие элементы вправо. Затем к массиву применяется
+
Алгоритм частично упорядочивает массив, строя на нем два раза кучу: один раз передвигая меньшие элементы влево, второй раз передвигая большие элементы вправо.
[[Сортировка вставками|сортировка вставками]], которая при почти отсортированных данных работает за <tex>O(n)</tex>.
+
Досортировав массив [[Сортировка вставками|сортировкой вставками]], можно получить временную сложность <tex>O(n)</tex> в лучшем случае.  
  
Достоинства:
 
*В отличие от сортировки кучей, на почти отсортированных массивах работает быстрее, чем на случайных.
 
*В силу использования сортировки вставками, которая просматривает элементы последовательно, использование кэша гораздо эффективнее.
 
Недостатки:
 
*На длинных массивах, возникают плохо отсортированные последовательности в середине массива, что приводит к ухудшению работы сортировки вставками.
 
 
 
=== Алгоритм ===
 
=== Алгоритм ===
Построим кучу для минимума на этом массиве.  
+
 
 +
Необходимо отсортировать массив.
 +
Построим невозрастающую кучу на этом массиве.  
 
Тогда наименьший элемент окажется на первой позиции, а левая часть массива окажется почти отсортированной, так как ей будут соответствовать верхние узлы кучи.
 
Тогда наименьший элемент окажется на первой позиции, а левая часть массива окажется почти отсортированной, так как ей будут соответствовать верхние узлы кучи.
Теперь построим на этом же массиве кучу так, чтобы немного упорядочить правую часть массива. Эта куча должна быть кучей для максимума и быть "зеркальной" к массиву, то есть чтобы её корень соответствовал последнему элементу массива.
+
Теперь построим на этом же массиве кучу так, чтобы немного упорядочить правую часть массива. Эта куча должна быть неубывающей и быть "зеркальной" к массиву, то есть чтобы ее корень соответствовал последнему элементу массива.
К получившемуся массиву применим сортировку вставками.
+
Получившийся почти отсортированный массив досортируем сортировкой вставками.
  
 
=== Сложность ===
 
=== Сложность ===
  
Построение кучи занимает <tex>O(n)</tex>. Почти упорядоченный массив сортировка вставками может отсортировать <tex> O(n)</tex>, но в худшем случае за <tex>O(n^2)</tex>.
+
Постройка кучи занимает <tex>O(n)</tex>.
 +
Сортировка вставками может отсортировать массив за <tex>O(n)</tex> в лучшем случае, и за <tex>O(n^2)</tex> в худшем.
  
Таким образом, наихудшая оценка Jsort {{---}} <tex>O(n^2)</tex>.
+
Таким образом временная сложность JSort является <tex>O(n^2)</tex>.
  
=== Пример ===
+
== Ссылки ==  
Рассмотрим, массив <tex> A </tex> = <tex> [1, 2, 8, 15, 17, 20, 31, 32, 30, 2, 3, 5, 10, 11, 24 ] </tex>
+
*[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%B4%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B0 Пирамидальная сортировка - Википедия]
 
+
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Heapsort Heapsort - Wikipedia]
Построим на этом массиве кучу для минимума:
+
*[http://en.wikipedia.org/wiki/JSort JSort - Wikipedia]
{| cellpadding="3" style="margin-left: left; margin-right: left;"
+
*[http://habrahabr.ru/post/221095/ Описание сортировки кучей и JSort - Хабрахабр]
| [[Файл:HeapW.png|400px]]
 
|}
 
Массив выглядит следующим образом:
 
{| cellpadding="3" style="margin-left: left; margin-right: left;"
 
| [[Файл:HeapM.png|400px]]
 
|}
 
Заметим, что начало почти упорядочено, что хорошо скажется на использовании сортировки вставками.
 
 
 
Построим теперь зеркальную кучу для максимума на этом же массиве.
 
{| cellpadding="3" style="margin-left: left; margin-right: left;"
 
| [[Файл:HeapWU.png|400px]]
 
|}
 
Массив будет выглядеть следующим образом:
 
{| cellpadding="3" style="margin-left: left; margin-right: left;"
 
| [[Файл:HeapMU.png|400px]]
 
|}
 
Теперь и конец массива выглядит упорядоченным, применим сортировку вставками и получим отсортированный массив.
 
  
== См. также ==
+
== Литература ==
* [[Сортировка слиянием]]
+
*''Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К.'' Алгоритмы: построение и анализ, 2-е издание. М.: Издательский дом "Вильямс", 2005. ISBN 5-8459-0857-4
* [[Быстрая сортировка]]
 
* [[Теорема о нижней оценке для сортировки сравнениями]]
 
  
== Источники информации ==
 
* Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р., Штайн К. Алгоритмы: построение и анализ, 2-е издание. Издательский дом "Вильямс", 2005. ISBN 5-8459-0857-4
 
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Heapsort Wikipedia {{---}} Heapsort]
 
*[http://en.wikipedia.org/wiki/JSort  Wikipedia {{---}} JSort]
 
*[http://habrahabr.ru/post/221095/ Хабрахабр {{---}} Описание сортировки кучей и JSort]
 
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/Пирамидальная_сортировка Википедия {{---}} Пирамидальная сортировка]
 
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Сортировки]]
 
[[Категория: Сортировки]]

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблон, используемый на этой странице: