Сортировка подсчетом сложных объектов — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Переписал текст, удалил старую картинку, добавил новый раздел и новую картинку.)
(Добавлены иллюстрации-примеры)
Строка 18: Строка 18:
 
Здесь исходная последовательность из <tex>n</tex> структур хранится в массиве <tex>A</tex>, а отсортированная - в массиве <tex>B</tex> того же размера. Кроме того используется вспомогательный массив <tex>P</tex> с индексами от <tex>0</tex> до <tex>k-1</tex>.
 
Здесь исходная последовательность из <tex>n</tex> структур хранится в массиве <tex>A</tex>, а отсортированная - в массиве <tex>B</tex> того же размера. Кроме того используется вспомогательный массив <tex>P</tex> с индексами от <tex>0</tex> до <tex>k-1</tex>.
  
* Пройдем по исходному массиву <tex>A</tex> и запишем в <tex>P[i]</tex> количество структур, ключ которых равен <tex>i</tex>. Это можно сделать за <tex> O(n)</tex>.
+
* Пройдем по исходному массиву <tex>A</tex> и запишем в <tex>P[i]</tex> количество структур, ключ которых равен <tex>i</tex>.  
* Условно разобьем массив <tex>B</tex> на <tex>k</tex> блоков, длина каждого из которых равна соответственно <tex>P[1]</tex>, <tex>P[2]</tex>, ..., <tex>P[k]</tex>.
+
[[Файл:Building_P.png]]
* Теперь массив <tex>P</tex> нам больше не нужен. Превратим его в массив, хранящий в <tex>P[i]</tex> сумму элементов от <tex>0</tex> до <tex>i-1</tex> старого массива <tex>P</tex>. Это делается за один пробег по массиву <tex>P</tex>, то есть имеет сложность <tex> O(k)</tex>.
+
 
* Произведем саму сортировку. Еще раз пройдем по исходному массиву <tex>A</tex> и для всех <tex>i \in [0, n-1]</tex> будем помещать структуру <tex>A[i]</tex> в массив <tex>B</tex> на место <tex>P[A[i].key]-1</tex>. Здесь <tex>A[i].key</tex> {{---}} это ключ структуры, находящейся в массиве <tex>A</tex> на <tex>i</tex>-том месте. Затем увеличим <tex>P[A[i].key]</tex> на единицу.
+
* Мысленно разобьем массив <tex>B</tex> на <tex>k</tex> блоков, длина каждого из которых равна соответственно <tex>P[1]</tex>, <tex>P[2]</tex>, ..., <tex>P[k]</tex>.
 +
[[Файл:Splitting_B_w_colors.png]]
 +
 
 +
* Теперь массив <tex>P</tex> нам больше не нужен. Превратим его в массив, хранящий в <tex>P[i]</tex> сумму элементов от <tex>0</tex> до <tex>i-1</tex> старого массива <tex>P</tex>.  
 +
[[Файл:P_after_adding.png]]
 +
 
 +
* Теперь "сдвинем" массив <tex>P</tex> на элемент вперед: в новом массиве <tex>P[0] = 0</tex>, а для <tex>i > 0</tex> <tex>P[i] = P_{old}[i-1]</tex>, где <tex>P_{old}</tex> - старый массив <tex>P</tex>. <br> Это можно сделать за один проход по массиву <tex>P</tex>, причем одновременно с предыдущим шагом. <br> После этого действия в массиве <tex>P</tex> будут хранится индексы массива <tex>B</tex>. <tex>P[key]</tex> указывает на начало блока в <tex>B</tex>, соответствующего ключу <tex>key</tex>.
 +
[[Файл:P_as_array_of_pointers.png]]
 +
 
 +
* Произведем саму сортировку. Еще раз пройдем по исходному массиву <tex>A</tex> и для всех <tex>i \in [0, n-1]</tex> будем помещать структуру <tex>A[i]</tex> в массив <tex>B</tex> на место <tex>P[A[i].key]</tex>, а затем увеличивать <tex>P[A[i].key]</tex> на <tex>1</tex>. Здесь <tex>A[i].key</tex> {{---}} это ключ структуры, находящейся в массиве <tex>A</tex> на <tex>i</tex>-том месте.  
 +
[[Файл:Sorting_A.png]]
  
 
Таким образом после завершения алгоритма в <tex>B</tex> будет содержаться исходная последовательность в отсортированном виде (так как блоки расположены по возрастанию соответствующих ключей).
 
Таким образом после завершения алгоритма в <tex>B</tex> будет содержаться исходная последовательность в отсортированном виде (так как блоки расположены по возрастанию соответствующих ключей).

Версия 14:26, 17 мая 2012

Эта статья находится в разработке!

Иногда бывает очень желательно применить быстрый алгоритм сортировки подсчетом для упорядочивания набора каких-либо "сложных" данных. Под "сложными объектами" здесь подразумеваются структуры, содержащие в себе несколько полей. Одно из них мы выделим и назовем ключом, сортировка будет идти именно по нему (предполагается, что значения, принимаемые ключом - целые числа в диапазоне от [math]0[/math] до [math]k-1[/math]).

Мы не сможем использовать здесь в точности тот же алгоритм, что и для сортировки подсчетом обычных целых чисел, потому что в наборе могут быть различные структуры, имеющие одинаковые ключи. Существует два способа справиться с этой проблемой — использовать списки для хранения структур в отсортированном массиве или заранее посчитать количество структур с одинаковыми ключами для каждого значения ключа.

Использование списков

Пусть далее исходная последовательность из [math]n[/math] структур хранится в массиве [math]A[/math], а отсортированная - в массиве [math]P[/math] с индексами от [math]0[/math] до [math]k-1[/math].

Сделаем из каждой ячейки массива [math]B[/math] список, в который будем добавлять структуры с одинаковыми ключами.

List solution.png

Этот вариант плох тем, что надо поддерживать сам список, что не является самым простым решением. Еще придется хранить дополнительную информацию в виде ссылок на следующий элемент в списке. И кроме того, такое представление отсортированного массива неудобно в использовании. Избавиться от этих недостатков можно используя другую модификацию алгоритма сортировки подсчетом.

Подсчет числа различных ключей

Здесь исходная последовательность из [math]n[/math] структур хранится в массиве [math]A[/math], а отсортированная - в массиве [math]B[/math] того же размера. Кроме того используется вспомогательный массив [math]P[/math] с индексами от [math]0[/math] до [math]k-1[/math].

  • Пройдем по исходному массиву [math]A[/math] и запишем в [math]P[i][/math] количество структур, ключ которых равен [math]i[/math].

Building P.png

  • Мысленно разобьем массив [math]B[/math] на [math]k[/math] блоков, длина каждого из которых равна соответственно [math]P[1][/math], [math]P[2][/math], ..., [math]P[k][/math].

Splitting B w colors.png

  • Теперь массив [math]P[/math] нам больше не нужен. Превратим его в массив, хранящий в [math]P[i][/math] сумму элементов от [math]0[/math] до [math]i-1[/math] старого массива [math]P[/math].

P after adding.png

  • Теперь "сдвинем" массив [math]P[/math] на элемент вперед: в новом массиве [math]P[0] = 0[/math], а для [math]i \gt 0[/math] [math]P[i] = P_{old}[i-1][/math], где [math]P_{old}[/math] - старый массив [math]P[/math].
    Это можно сделать за один проход по массиву [math]P[/math], причем одновременно с предыдущим шагом.
    После этого действия в массиве [math]P[/math] будут хранится индексы массива [math]B[/math]. [math]P[key][/math] указывает на начало блока в [math]B[/math], соответствующего ключу [math]key[/math].

P as array of pointers.png

  • Произведем саму сортировку. Еще раз пройдем по исходному массиву [math]A[/math] и для всех [math]i \in [0, n-1][/math] будем помещать структуру [math]A[i][/math] в массив [math]B[/math] на место [math]P[A[i].key][/math], а затем увеличивать [math]P[A[i].key][/math] на [math]1[/math]. Здесь [math]A[i].key[/math] — это ключ структуры, находящейся в массиве [math]A[/math] на [math]i[/math]-том месте.

Sorting A.png

Таким образом после завершения алгоритма в [math]B[/math] будет содержаться исходная последовательность в отсортированном виде (так как блоки расположены по возрастанию соответствующих ключей).

Стоит также отметить, что эта сортировка является устойчивой, так как два элемента с одинаковыми ключами будут добавлены в том же порядке, в каком просматривались в исходном массиве [math]A[/math].

Источники