Изменения

'''Сортировка подсчётом''' (англ. ''counting sort'') {{---}} алгоритм сортировки целых чисел в диапазоне от <tex>0</tex> до некоторой константы <tex>k</tex>или сложных объектов, работающий за линейное время.== Сортировка целых чисел ==Это простейший вариант алгоритма.=== Описание ===Исходная последовательность чисел длины <tex>n</tex>, а в конце отсортированная, хранится в массиве <tex>A</tex>. Также используется вспомогательный массив <tex>C</tex> с индексами от <tex>0</tex> до <tex>\mathrm k - 1</tex>, изначально заполняемый нулями.

== Простой алгоритм ==Это простейший вариант алгоритма. Создать вспомогательный массив <tex>C[0..k - 1]</tex>, состоящий из нулей, затем последовательно прочитать элементы входного массива * Последовательно пройдём по массиву <tex>A</tex> и для каждого запишем в <tex>AC[i]</tex> увеличить количество чисел, равных <tex>C[A[i]]</tex> на единицу.  * Теперь достаточно пройти по массиву <tex>C</tex> и для каждого <tex>number \in \{0, ..., \mathrm k - 1\}</tex> в массив <tex>A</tex> последовательно записать число <tex>number\</tex> <tex> C[number]</tex> раз. === Псевдокод ===

SimpleCountingSort'''function''' simpleCountingSort(A: '''int[n]'''): '''for ''' number = 0 '''to ''' k - 1 C[number] = 0; '''for ''' i = 0 '''to length[A] ''' n - 1 C[A[i]] = C[A[i]] + 1;

'''for ''' number = 0 '''to ''' k - 1 '''for ''' i = 0 '''to ''' C[jnumber] - 1

== Устойчивый Сортировка сложных объектов ==Сортировка целых чисел за линейное время это хорошо, но недостаточно. Иногда бывает очень желательно применить быстрый алгоритм [[#Сортировка целых чисел|сортировки подсчетом]] для упорядочивания набора каких-либо "сложных" данных. Под "сложными объектами" здесь подразумеваются структуры, содержащие в себе несколько полей. Одно из них мы выделим и назовем ключом, сортировка будет идти именно по нему (предполагается, что значения, принимаемые ключом {{---}} целые числа в диапазоне от <tex>0</tex> до <tex>\mathrm k-1</tex>). Мы не сможем использовать здесь в точности тот же алгоритм, что и для сортировки подсчетом обычных целых чисел, потому что в наборе могут быть различные структуры, имеющие одинаковые ключи. Существует два способа справиться с этой проблемой {{---}} использовать списки для хранения структур в отсортированном массиве или заранее посчитать количество структур с одинаковыми ключами для каждого значения ключа.  === Описание ===Исходная последовательность из <tex>n</tex> структур хранится в массиве <tex>A</tex>, а отсортированная {{---}} в массиве <tex>B</tex> того же размера. Кроме того, используется вспомогательный массив <tex>P</tex> с индексами от <tex>0</tex> до <tex>\mathrm k-1</tex>. Идея алгоритма состоит в предварительном подсчете количества элементов с различными ключами в исходном массиве и разделении результирующего массива на части соответствующей длины (будем называть их блоками). Затем при повторном проходе исходного массива каждый его элемент копируется в специально отведенный его ключу блок, в первую свободную ячейку. Это осуществляется с помощью массива индексов <tex>P</tex>, в котором хранятся индексы начала блоков для различных ключей. <tex>P[key]</tex> {{---}} индекс в результирующем массиве, соответствующий первому элементу блока для ключа <tex>key</tex>.  * Пройдем по исходному массиву <tex>A</tex> и запишем в <tex>P[i]</tex> количество структур, ключ которых равен <tex>i</tex>. [[Файл:Building_P.png]] * Мысленно разобьем массив <tex>B</tex> на <tex>k</tex> блоков, длина каждого из которых равна соответственно <tex>P[0]</tex>, <tex>P[1]</tex>, ..., <tex>P[k]</tex>.[[Файл:Splitting_B_w_colors.png]] * Теперь массив <tex>P</tex> нам больше не нужен. Превратим его в массив, хранящий в <tex>P[i]</tex> сумму элементов от <tex>0</tex> до <tex>i-1</tex> старого массива <tex>P</tex>. [[Файл:P_after_adding.png]] * Теперь "сдвинем" массив <tex>P</tex> на элемент вперед: в новом массиве <tex>P[0] =0</tex>, а для <tex>i > 0</tex> <tex>P[i] =P_{old}[i-1]</tex>, где <tex>P_{old}</tex> {{---}} старый массив <tex>P</tex>. <br> Это можно сделать за один проход по массиву <tex>P</tex>, причем одновременно с предыдущим шагом. <br> После этого действия в массиве <tex>P</tex> будут хранится индексы массива <tex>B</tex>. <tex>P[key]</tex> указывает на начало блока в <tex>B</tex>, соответствующего ключу <tex>key</tex>.[[Файл:P_as_array_of_pointers.png]]

Основная идея состоит Таким образом после завершения алгоритма в том, чтобы для каждого элемента входного массива подсчитать количество элементов, меньших данного. Эта информация будет указывать на позиции элементов в отсортированном массиве. Например, если для элемента <tex>x</tex> количество таких элементов будет <tex>42</tex>, то <tex>xB</tex> будет занимать <tex>43</tex>-ю позицию содержаться исходная последовательность в отсортированном массиве. Если элементы могут иметь одинаковые значения, то необходимо модифицировать алгоритм, виде (так как нельзя разместить все такие элементы в одну позициюблоки расположены по возрастанию соответствующих ключей).

В этом варианте помимо входного массива === Псевдокод ===Здесь <tex>A</tex> потребуется два вспомогательных массива — и <tex>C[0..k - 1]B</tex> для счётчика и {{---}} массивы структур размера <tex>B[0..n - 1]</tex> для отсортированного массива. Сначала следует заполнить массив , с индексами от <tex>C0</tex> нулями, и, проходя по массиву до <tex>An-1</tex>, записываем сколько у нас есть чисел равных .<tex>A[i]P</tex> в {{---}} целочисленный массив размера <tex>Ck</tex> (строки 1 - 4). Далее подсчитывается число элементов меньше или равных текущему (строки 5 - 6). На последнем шаге алгоритма читается входной массив , с конца, а в массив индексами от <tex>0</tex> до <tex>Bk-1</tex> записываются элементы на те позиции, где они должны стоять; эта информация хранится в массиве <tex>Ck</tex> (строки 7 {{--- 9). Алгоритм устойчив. Устойчивость может потребоваться при [[Сортировка_подсчетом_сложных_объектов|сортировке сложных структур данных]]}} количество различных ключей.

StableCountingSort'''function''' complexCountingSort(A: '''int[n]''', B: '''int[n]'''): '''for number ''' i = 0 '''to ''' k - 1 C P[numberi] = 0; '''for ''' i = 0 '''to ''' length[A] - 1 C P[A[i].key] = CP[A[i].key] + 1; carry = 0; '''for number ''' i = 1 0 '''to ''' k - 1 C temporary = P[ji] = C; P[ji] = carry; carry = carry + C[j - 1]temporary; '''for ''' i = 0 '''to''' length[A] - 1 to 0 B[CP[A[i].key]] = A[i]; C P[A[i].key] = CP[A[i].key] - + 1;

Второй алгоритм состоит из двух проходов по массиву <tex>A</tex> размера <tex>n</tex> и одного прохода по массиву <tex>P</tex> размера <tex>k</tex>.Его трудоемкость, таким образом, равна <tex>\Theta(n + k)</tex>. На практике сортировку подсчетом имеет смысл применять, если <tex>k == Обобщение на произвольный целочисленный диапазон ==Если диапазон значений O(минимимум и максимумn) заранее не известен</tex>, поэтому можно найти их с помощью линейного поискасчитать время работы алгоритма равным <tex>\Theta(n)</tex>. <br>Как и в обычной сортировке подсчетом, что не повлияет требуется <tex>\Theta(n + k)</tex> дополнительной памяти {{---}} на асимптотику алгоритма. При работе с массивом хранение массива <tex>B</tex> размера <tex>n</tex> и массива <tex>CP</tex> из размера <tex>A[i]k</tex> необходимо вычитать минимум, а при обратной записи прибавлять.

== Анализ ==В первом алгоритме первые два цикла работают Алгоритм работает за <tex>\Theta(k)</tex> и <tex>\Theta(n)</tex>линейное время, соответственно; двойной цикл за <tex>\Theta(n + k)</tex>. Во втором алгоритме циклы занимают <tex>\Theta(k)</tex>, <tex>\Theta(n)</tex>, <tex>\Theta(k)</tex> и <tex>\Theta(n)</tex>, соответственно. Итого оба алгоритма имеют линейную временную трудоёмкость <tex>\Theta(n + k)</tex>. Используемая память в первом алгоритме равна <tex>\Theta(k)</tex>, а во втором <tex>\Theta(n + k)</tex>но является псевдополиномиальным.

Использование сортировки подсчётом целесообразно, когда == Поиск диапазона ключей ==Если диапазон возможных значений входных данных достаточно мал по сравнению не известен заранее, то его можно найти с количеством элементов помощью линейного поиска минимума и максимума в сортируемом множествеисходном массиве, что не повлияет на асимптотику алгоритма. <br>Нужно учитывать, напримерчто минимум может быть отрицательным, если в то время как в массиве <tex>n = 1000000P</tex> и все элементы натуральные числа меньшие индексы от <tex>10000</tex>, то время работы алгоритма равно до <tex>\Theta(n)k-1</tex>. Эффективность алгоритма падает, когда Поэтому при работе с массивом <tex>P</tex> из исходного <tex>A[i]</tex> необходимо сортировать различные элементывычитать минимум, попавшие а при обратной записи в одну ячейку<tex>B[i]</tex> прибавлять его.

== Источники информации ==* Томас Кормен, Чарльз Лейзерсон, Рональд Ривест, Клиффорд Штайн. «Алгоритмы. Построение и анализ» {{---}} «Вильямс», 2011 г. {{---}} 1296 стр. {{---}} ISBN 978-5-8459-0857-5, 5-8459-0857-4, 0-07-013151-1