Изменения

=Описание=[[Файл:Merge-sort1.gif|right|380px|thumb|Действие алгоритма.]]'''Сортировка слиянием''' — (англ. ''Merge sort'') {{---}} алгоритм сортировки, хороший пример использования принципа «разделяй использующий <tex>O(n)</tex> дополнительной памяти и властвуй». Он был пред­ло­жен Джо­ном фон Ней­ма­ном в 1945 го­дуработающий за <tex>O(n\log(n))</tex> времени.

Это ста­биль­ный ал­го­ритм сор­ти­ров­ки, использующий <tex>O(n)</tex> дополнительной памяти и <tex>O(n</tex> <tex>log(n))</tex> времени==Принцип работы==[[Файл:Merging_two_arrays.png|270px|right|thumb|Пример работы процедуры слияния.]]

=Принцип [[Файл:Merge sort1.png|300px|right|thumb|Пример работы=Принцип «разделяй и властвуй» — сначала задача разбивается на несколько подзадач меньшего размера. Затем эти задачи решаются с помощью рекурсивного вызова или непосредственно, если их размер достаточно мал. Наконец, их решения комбинируются, и получается решение исходной задачи.алгоритма сортировки слиянием]]

Про­це­ду­ра слия­ния тре­бу­ет два от­сор­ти­ро­ван­ных мас­си­ва[[Файл:Merge sort itearative. За­ме­тив, что мас­сив из од­но­го эле­мен­та по опре­де­ле­нию яв­ля­ет­ся от­сор­ти­ро­ван­ным, мы мо­жем осу­ще­ствить сор­ти­ров­ку сле­дую­щим об­ра­зом:png|300px|right|thumb|Пример работы итеративного алгоритма сортировки слиянием]]

# Раз­бить имею­щие­ся эле­мен­ты мас­си­ва Алгоритм использует принцип «разделяй и властвуй»: задача разбивается на па­ры и осу­ще­ствить слия­ние эле­мен­тов каж­дой па­рыподзадачи меньшего размера, по­лу­чив от­сор­ти­ро­ван­ные це­поч­ки дли­ны 2 (кро­ме, быть мо­жет, од­но­го эле­мен­такоторые решаются по отдельности, после чего их решения комбинируются для ко­то­ро­го не на­шлось па­ры).# Раз­бить имею­щие­ся от­сор­ти­ро­ван­ные це­поч­ки на па­ры, и осу­ще­ствить слия­ние це­по­чек каж­дой па­ры.# Ес­ли чис­ло от­сор­ти­ро­ван­ных це­по­чек боль­ше еди­ни­цы, пе­рей­ти к ша­гу 2получения решения исходной задачи.Конкретно процедуру сортировки слиянием можно описать следующим образом:

==Слияние двух массивов==Допустим, у нас есть два отсортированных массива А и B размерами <tex>N_a </tex> и <tex>N_b </tex> со­ответственно, и мы хотим объединить их элементы # Если в рассматриваемом массиве один большой отсортирован­ный массив C размером <tex>N_a + N_b </tex> . Для этого можно применить процедуру слия­ния, суть которой заключается в повторяющемся «отделении» элемента, наи­меньшего из двух имеющихся в началах исходных массивовэлемент, и присоединении это­го элемента к концу результирующего массивато он уже отсортирован {{---}} алгоритм завершает работу. Элементы мы переносим до тех пор# Иначе массив разбивается на две части, пока один из исходных массивов не закончитсякоторые сортируются рекурсивно. # После этого оставшийся «хвост» одного из входных массивов дописывается в конец результирующего мас­сива. Пример работы процедуры показан на рисунке:[[Файл:Mergearr.png|right|300px|thumb|Пример работы процедуры сортировки двух частей массива к ним применяется процедура слияния, которая по двум отсортированным частям получает исходный отсортированный массив.]]<br>Алгоритм слияния формально можно записать следующим образом:

<pre>// слияние ===Слияние двух массивов с помощью временного===merge (array У нас есть два массива <tex>a, array </tex> и <tex>b) <// a - левая половина tex> (от l до m)фактически это будут две части одного массива, но для удобства будем писать, b - правая половина (от m + 1 до rчто у нас просто два массива) i = l, j = m + 1, k = 0; array temp; while i . Нам надо получить массив <= m and j tex>c<= r temp[k++] = (a[j] /tex> размером < b[i]) ? tex>|a[j++] : b[i++]; while i <= m temp[k+| +] = |b[i++]; while j |<= r temp[k++] = a[j++]; for /tex>. Для этого можно применить процедуру слияния. Эта процедура заключается в том, что мы сравниваем элементы массивов (int t = 0; t != k; t++начиная с начала) a[t] = temp[t]// и меньший из них записываем в финальный. И затем, в массиве у которого оказался меньший элемент, переходим к следующему элементу и сравниваем теперь его. В конце a[1, если один из массивов закончился, мы просто дописываем в финальный другой массив.После мы наш финальный массив записываем заместо двух исходных и получаем отсортированный участок.k] это будет отсортированный массив</pre>

Множество отсортированных списков с операцией <tex>\mathrm{merge}</tex> является [[Моноид|моноидом]], где нейтральным элементом будет пустой список. Ниже приведён псевдокод процедуры слияния, который сливает две части массива <tex>a</tex> {{---}} <tex>[left; mid)</tex> и <tex>[mid; right)</tex><code style="display: inline-block"> '''function''' merge(a : '''int[n]'''; left, mid, right : '''int'''): it1 =0 it2 =Рекурсивный алгоритм0 result : '''int[right - left]''' '''while''' left + it1 < mid '''and''' mid + it2 < right '''if''' a[left + it1] < a[mid + it2] result[it1 + it2] =a[left + it1] it1 +=1 '''else''' result[it1 + it2] = a[Файл:Merge sort1.png|300px|mid + it2] it2 += 1 '''while''' left + it1 < mid result[it1 + it2] = a[left + it1] it1 += 1 '''while''' mid + it2 < right|thumb|Пример работы рекурсивного алгоритма сортировки слиянием result[it1 + it2] = a[mid + it2] it2 += 1 '''for''' i = 0 '''to''' it1 + it2 a[left + i]= result[i]Проще всего формализовать этот </code> ===Рекурсивный алгоритм рекурсивным способом. ===Функция сортирует участок подотрезок массива от элемента с номером l до элемен­та с номером rиндексами в полуинтервале <tex>[left; right)</tex>.<code style="display: inline-block"> '''function''' mergeSortRecursive(a : '''int[n]'''; left, right : '''int'''): '''if''' left + 1 >= right '''return''' mid = (left + right) / 2 mergeSortRecursive(a, left, mid) mergeSortRecursive(a, mid, right) merge(a, left, mid, right)</code> ===Итеративный алгоритм===При итеративном алгоритме используется на <tex>O(\log n)</tex> меньше памяти, которая раньше тратилась на рекурсивные вызовы.<code style="display: inline-block"> '''function''' mergeSortIterative(a : '''int[n]'''): '''for''' i = 1 '''to''' n, i *= 2 '''for''' j = 0 '''to''' n - i, j += 2 * i merge(a, j, j + i, min(j + 2 * i, n))</code>

==Время работы==Чтобы оценить время работы этого алгоритма, составим рекуррентное соотношение. Пускай <pretex>T(n)<// r и l tex> {{--- правая и левая граница }} время сортировки массивадлины <tex>n</tex>, m - середина m тогда для сортировки слиянием справедливо <tex>T(n)= r 2T(n/ 2 )+O(n)<// делим на 2 половиныtex> <br> if m == r <tex>O(n)<// условие выхода tex> {{--- если массив стал состоять из 1 элемента return sort a[l..m] // рекурсивная сортировка правой и левой частей}} время, необходимое на то, в функцию передаются левая и правая границы чтобы слить два массива sort a[m+1..r] merge (a[l..m], a[m+1..r]) // делаем процедуру слияния 2х отсортированных половинокдлины <tex>n</pretex>. Распишем это соотношение:

=Время работы=Сравнение с другими алгоритмами==Достоинства:* устойчивая,* можно написать эффективную [[Многопоточная сортировка слиянием|многопоточную сортировку слиянием]],Чтобы оценить время работы этого алгоритма* сортировка данных, составим рекуррентное соотношение. Пускай расположенных на периферийных устройствах и не вмещающихся в оперативную память<texref>T(n)[http://en.wikipedia.org/wiki/External_sorting Wikipedia {{---}} External sorting]</texref> - время сортировки массива длины n, тогда для сортировки слиянием справедливо .Недостатки:* требуется дополнительно <tex>T(n)=2T(n/2)+O(n)</tex> <br>(памяти, но можно модифицировать до <tex>O(n1)</tex> - это время, необходимое на то, чтобы слить два массива). Распишем это соотношение:

<tex>T(n)</tex> <tex>=</tex> <tex>2T(n/2)</tex> <tex>+</tex> <tex>O(n)</tex> <tex>=</tex> <tex>4T(n/4)</tex> <tex>+</tex> <tex>2См. также==* [[Сортировка кучей]]* [[Быстрая сортировка]]* [[Timsort]]*[[Cортировка слиянием с использованием O(n)</tex> <tex>=</tex> <tex>...</tex> <tex>=</tex> <tex>2^kT(1)</tex> <tex>+</tex> <tex>kO(n).</tex>дополнительной памяти]]

Осталось оценить <tex>k</tex>. Мы знаем, что <tex>2^k=n</tex>, а значит <tex>k=\log(n)</tex>. Уравнение примет вид <tex>T(n)=nT(1)+ \log(n)O(n)</tex>. Так как <tex>T(1)</tex> - константа, то <tex>T(n)Примечания=O(n)+\log(n)O(n)=O(n\log(n))<references/tex>.